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\def\thesection{\arabic{section})}
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\makeatletter
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Tronje Krabbe, Jim Martens, Julian Tobergte}
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\title{Hausaufgaben zum 22. Oktober}
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\maketitle
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\section{} %1
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\subsection{} %a
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\subsection{} %b
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\subsubsection{} %i
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Zu zeigen: für beliebige $b > 1$ gilt: $\log_{b}(n) \in \mathcal{\theta} (\log_{2}n)$\\
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Dies ist durch die Logarithmusgesetze einfach zu zeigen. $\log_{b}(n)$ kann demnach auch als $\frac{\log_{2}(n)}{\log_{2}(b)}$ dargestellt werden. Dabei geht dieser Term asymptotisch gegen $\log_{2}(n)$, da $\log_{2}(b)$ eine Konstante ist und daher nicht beachtet werden muss. Damit ist die Aussage gezeigt, dass $\log_{b}(n)$ für $b > 1$ asymptotisch genau so schnell wächst wie $\log_{2}(n)$.
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\subsubsection{} %ii
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Behauptung: $f \in \mathcal{O}(g) \Rightarrow g \in \omega (f)$\\
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Diese Behauptung gilt nicht. Dies kann mithilfe der Definition der Landau-Symbole erklärt werden. $f \in \mathcal{O}(g)$ besagt, dass $f$ maximal so schnell wie $g$ wächst. Dabei ist auch der Fall enthalten, dass $f$ und $g$ gleich schnell wachsen.
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Der zweite Teil der Behauptung erfordert jedoch, dass $g$ in jedem Fall schneller als $f$ wächst. Dies steht aber im Widerspruch zu dem ersten Teil der Behauptung. Damit ist die Behauptung widerlegt.
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\subsubsection{} %iii
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\section{} %2
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\subsection{} %a
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\subsection{} %b
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\section{} %3
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\subsection{} %a
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\subsection{} %b
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\subsection{} %c
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\end{document}
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