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Normales O durch Landau-O ersetzt.

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Jim Martens 2013-10-17 17:08:13 +02:00
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commit 883f83a030
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ad/Uebungsblatt01.tex
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@ -33,11 +33,11 @@
\subsection{} %a
\subsection{} %b
\subsubsection{} %i
Zu zeigen: für beliebige $b > 1$ gilt: $\log_{b}(n) \in \theta (\log_{2}n)$\\
Zu zeigen: für beliebige $b > 1$ gilt: $\log_{b}(n) \in \mathcal{\theta} (\log_{2}n)$\\
Dies ist durch die Logarithmusgesetze einfach zu zeigen. $\log_{b}(n)$ kann demnach auch als $\frac{\log_{2}(n)}{\log_{2}(b)}$ dargestellt werden. Dabei geht dieser Term asymptotisch gegen $\log_{2}(n)$, da $\log_{2}(b)$ eine Konstante ist und daher nicht beachtet werden muss. Damit ist die Aussage gezeigt, dass $\log_{b}(n)$ für $b > 1$ asymptotisch genau so schnell wächst wie $\log_{2}(n)$.
\subsubsection{} %ii
Behauptung: $f \in O(g) \Rightarrow g \in \omega (f)$\\
Diese Behauptung gilt nicht. Dies kann mithilfe der Definition der Landau-Symbole erklärt werden. $f \in O(g)$ besagt, dass $f$ maximal so schnell wie $g$ wächst. Dabei ist auch der Fall enthalten, dass $f$ und $g$ gleich schnell wachsen.
Behauptung: $f \in \mathcal{O}(g) \Rightarrow g \in \omega (f)$\\
Diese Behauptung gilt nicht. Dies kann mithilfe der Definition der Landau-Symbole erklärt werden. $f \in \mathcal{O}(g)$ besagt, dass $f$ maximal so schnell wie $g$ wächst. Dabei ist auch der Fall enthalten, dass $f$ und $g$ gleich schnell wachsen.
Der zweite Teil der Behauptung erfordert jedoch, dass $g$ in jedem Fall schneller als $f$ wächst. Dies steht aber im Widerspruch zu dem ersten Teil der Behauptung. Damit ist die Behauptung widerlegt.
\subsubsection{} %iii