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\begin{document}
\author{Tronje Krabbe, Jim Martens, Julian Tobergte}
\title{Hausaufgaben zum 22. Oktober}
\maketitle
\section{} %1
	\subsection{} %a
	\subsection{} %b
		\subsubsection{} %i
		Zu zeigen: für beliebige $b > 1$ gilt: $\log_{b}(n) \in \mathcal{\theta} (\log_{2}n)$\\
		Dies ist durch die Logarithmusgesetze einfach zu zeigen. $\log_{b}(n)$ kann demnach auch als $\frac{\log_{2}(n)}{\log_{2}(b)}$ dargestellt werden. Dabei geht dieser Term asymptotisch gegen $\log_{2}(n)$, da $\log_{2}(b)$ eine Konstante ist und daher nicht beachtet werden muss. Damit ist die Aussage gezeigt, dass $\log_{b}(n)$ für $b > 1$ asymptotisch genau so schnell wächst wie $\log_{2}(n)$.
		\subsubsection{} %ii
		Behauptung: $f \in \mathcal{O}(g) \Rightarrow g \in \omega (f)$\\
		Diese Behauptung gilt nicht. Dies kann mithilfe der Definition der Landau-Symbole erklärt werden. $f \in \mathcal{O}(g)$ besagt, dass $f$ maximal so schnell wie $g$ wächst. Dabei ist auch der Fall enthalten, dass $f$ und $g$ gleich schnell wachsen.
		
		Der zweite Teil der Behauptung erfordert jedoch, dass $g$ in jedem Fall schneller als $f$ wächst. Dies steht aber im Widerspruch zu dem ersten Teil der Behauptung. Damit ist die Behauptung widerlegt. 
		\subsubsection{} %iii
\section{} %2
	\subsection{} %a
	\subsection{} %b
\section{} %3
	\subsection{} %a
	\subsection{} %b
	\subsection{} %c
\end{document}
