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MATH1-ALA: Abgaben hinzugefügt
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cd9612c504
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@ -0,0 +1,165 @@
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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
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\polyset{style=C, div=:,vars=x}
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\pagenumbering{arabic}
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\def\thesection{\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\alph{subsection})}
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\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Jim Martens}
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\title{Hausaufgaben zum 11. April}
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\maketitle
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||||
\section{} %1
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\frac{3}{x+5} \geq 3
|
||||
\end{equation*}
|
||||
1. Fall $x > -5$:\\
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& \frac{3}{x+5} &\geq & 3 \\
|
||||
\Leftrightarrow && 3 &\geq & 3(x+5) \\
|
||||
\Leftrightarrow && 3 &\geq & 3x + 15 \\
|
||||
\Leftrightarrow && -12 &\geq & 3x \\
|
||||
\Leftrightarrow && -4 &\geq & x
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\\
|
||||
2. Fall $x < -5$:\\
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& \frac{3}{x+5} &\geq & 3 \\
|
||||
\Leftrightarrow && 3 &\leq & 3(x+5) \\
|
||||
\Leftrightarrow && 3 &\leq & 3x + 15 \\
|
||||
\Leftrightarrow && -12 &\leq & 3x \\
|
||||
\Leftrightarrow && -4 &\leq & x
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\\
|
||||
$L = [-4]$
|
||||
\section{} %2
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|3x-4| \geq 2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
1. Fall $x \geq \frac{4}{3}$:\\
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||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& |3x-4| &\geq & 2 \\
|
||||
\Leftrightarrow && 3x-4 &\geq & 2 \\
|
||||
\Leftrightarrow && 3x &\geq & 6 \\
|
||||
\Leftrightarrow && x &\geq & 2
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\\
|
||||
2. Fall $x < \frac{4}{3}$:\\
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& |3x-4| &\geq & 2 \\
|
||||
\Leftrightarrow && -(3x-4) &\geq & 2 \\
|
||||
\Leftrightarrow && -3x + 4 &\geq & 2 \\
|
||||
\Leftrightarrow && -3x &\geq & -2 \\
|
||||
\Leftrightarrow && x &\leq & \frac{2}{3}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\\
|
||||
$L = (-\infty,\frac{2}{3}] \cup [2,\infty)$
|
||||
\section{} %3
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& |a_{n} - a| &=& |\frac{2n-1}{n+3} - 2| \\
|
||||
\Leftrightarrow && &=& |\frac{2n-1}{n+3} - \frac{2(n+3)}{n+3}| \\
|
||||
\Leftrightarrow && &=& |\frac{2n-1 - 2n - 6}{n+3}| \\
|
||||
\Leftrightarrow && &=& |\frac{-7}{n+3}| \\
|
||||
\Leftrightarrow && &=& \frac{7}{n+3}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
Es sei $\varepsilon > 0$. Aufgrund von a) gilt:\\
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& |a_{n} - a| &<& \varepsilon \label{eq:1}\tag{1}\\
|
||||
\Leftrightarrow && |a_{n} - a| = |\frac{-7}{n+3}| = \frac{7}{n+3} &<& \varepsilon \\
|
||||
\Leftrightarrow && -7 &<& \varepsilon (n+3) \\
|
||||
\Leftrightarrow && \frac{-7}{\varepsilon} &<& n+3 \\
|
||||
\Leftrightarrow && \frac{-7}{\varepsilon} - 3 &<& n
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\\
|
||||
Wählt man $N > \frac{-7}{\varepsilon} - 3$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt. Das zeigt $(a_{n}) \rightarrow a = 2$.
|
||||
\subsection{} %c
|
||||
Es sei $\varepsilon = \frac{1}{10}$:\\
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& \frac{-7}{\frac{1}{10}} - 3 &<& n \\
|
||||
\Leftrightarrow && -70 - 3 &<& n \\
|
||||
\Leftrightarrow && -73 &<& n
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Wählt man $N = -72$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt.\\
|
||||
\\
|
||||
Es sei $\varepsilon = \frac{1}{100}$:\\
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& \frac{-7}{\frac{1}{100}} - 3 &<& n \\
|
||||
\Leftrightarrow && -700 - 3 &<& n \\
|
||||
\Leftrightarrow && -703 &<& n
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Wählt man $N = -702$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt.\\
|
||||
\\
|
||||
Es sei $\varepsilon = \frac{1}{100000}$:\\
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& \frac{-7}{\frac{1}{100000}} - 3 &<& n \\
|
||||
\Leftrightarrow && -700000 - 3 &<& n \\
|
||||
\Leftrightarrow && -700003 &<& n
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Wählt man $N = -700002$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt.
|
||||
\section{} %4
|
||||
\textbf{Behauptung:} Die folgende Aussage gilt für alle $n \in \mathbb{N}$:\\
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
0 \leq a_{n} < \frac{1}{2} \label{eq:2}\tag{2}
|
||||
\end{equation*}\\
|
||||
Die Folge ($a_{n}$) sei rekursiv definiert durch \\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
a_{1} &=& \frac{2}{5} \label{eq:3}\tag{3}\\
|
||||
a_{n+1} &=& a_{n}^{2} + \frac{1}{4} \label{eq:4}\tag{4}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\textbf{Beweis:} Durch vollständige Induktion.\\
|
||||
Mit $A(n)$ sei die Aussage \eqref{eq:2} bezeichnet.\\\\
|
||||
\underline{Induktionsanfang:} \\
|
||||
$A(1)$ ist richtig, da die Aussage \eqref{eq:2} für \eqref{eq:3} wie folgt gilt:
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
0 \leq \frac{2}{5} = \frac{4}{10} < \frac{1}{2} = \frac{5}{10}
|
||||
\end{alignat*}\\
|
||||
\underline{Induktionsannahme:}\\
|
||||
Die Aussage \eqref{eq:2} gilt für ein beliebig fest gewähltes $n \in \mathbb{N}$.\\\\
|
||||
\underline{Zu zeigen:}\\
|
||||
$A(n+1)$ gilt, d. h. Folgendes gilt für die Aussage \eqref{eq:4}:\\
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
0 \leq a_{n+1} < \frac{1}{2} \label{eq:5}\tag{5}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\underline{Induktionsschluss:}\\
|
||||
Aus \eqref{eq:5} folgt für $0 \leq a_{n+1}$ Folgendes:\\
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& 0 &\leq & a_{n}^{2} + \frac{1}{4}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Diese Aussage gilt, da $\frac{1}{4}$ auf triviale Weise die Aussage erfüllt und $a_{n}^{2}$ immer positiv oder gleich Null sein muss, da eine beliebige Zahl zum Quadrat immer größer gleich Null ist.\\
|
||||
Für $a_{n+1} < \frac{1}{2}$ ergibt sich Folgendes:\\
|
||||
\begin{alignat*}{5}
|
||||
&& a_{n}^{2} + \frac{1}{4} &<& \frac{1}{2} && \;&|& -\frac{1}{4} \\
|
||||
\Leftrightarrow && a_{n}^{2} &<& \frac{1}{4} && && \\
|
||||
\Leftrightarrow && a_{n} \cdot a_{n} &<& \frac{1}{4} && &&
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Aufgrund der Induktionsannahme gilt $a_{n} < \frac{1}{2}$. Daher ist das Quadrat von $a_{n}$ auf jeden Fall kleiner als $\frac{1}{4}$.\\
|
||||
Nach dem Induktionsprinzip folgt aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschluss die Behauptung. \hfill $\Box$\\
|
||||
Es ist zu zeigen, dass $a_{n+1} \geq a_{n}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt. Es ergibt sich Folgendes:\\
|
||||
\begin{alignat*}{5}
|
||||
&& a_{n+1} &\geq & a_{n} && && \\
|
||||
\Leftrightarrow && a_{n}^{2} + \frac{1}{4} &\geq & a_{n} && \;&|& -a_{n} \\
|
||||
\Leftrightarrow && a_{n}^{2} - a_{n} + \frac{1}{4} &\geq & 0 && \;&|& \text{Binomische Formel erzeugen} \\
|
||||
\Leftrightarrow && (a_{n} - \frac{1}{2})^{2} &\geq & 0 && &&
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Diese Aussage gilt, da ein Quadrat einer beliebigen Zahl immer größer gleich Null ist.
|
||||
\end{document}
|
|
@ -0,0 +1,253 @@
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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
|
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{gauss}
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\usepackage{pgfplots}
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\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
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\usepackage{polynom}
|
||||
\polyset{style=C, div=:,vars=x}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.8}
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\pagenumbering{arabic}
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||||
\def\thesection{\arabic{section})}
|
||||
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
|
||||
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
|
||||
\makeatletter
|
||||
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
|
||||
\hskip -\arraycolsep
|
||||
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
|
||||
\array{#1}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\author{Jim Martens (6420323)}
|
||||
\title{Hausaufgaben zum 27. Juni}
|
||||
\maketitle
|
||||
\section{} %1
|
||||
\subsubsection{} %i
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& 2x^{2}y^{2} - 3xy + 4x + 2 \\
|
||||
f_{x} &=& 4xy^{2} - 3y + 4 \\
|
||||
f_{y} &=& 4x^{2}y - 3x
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %ii
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& \cos(x^{2}y) \cdot e^{xy} \\
|
||||
f_{x} &=& -\sin(x^{2}y) \cdot 2xy + \cos(x^{2}y) \cdot e^{xy} \cdot y \\
|
||||
f_{y} &=& -\sin(x^{2}y) \cdot x^{2} + \cos(x^{2}y) \cdot e^{xy} \cdot x \\
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %iii
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& \frac{\sin x + \cos y}{x^{2} + y^{2}} \\
|
||||
f_{x} &=& \frac{\cos x \cdot (x^{2} + y^{2}) - (\sin x + \cos y) \cdot 2x}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \\
|
||||
f_{y} &=& \frac{-\sin y \cdot (x^{2} + y^{2}) - (\sin x + \cos y) \cdot 2y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %iv
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} = (1 - x^{2} - y^{2})^{\frac{1}{2}} \\
|
||||
f_{x} &=& \frac{1}{2}(1 - x^{2} - y^{2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) \\
|
||||
f_{y} &=& \frac{1}{2}(1 - x^{2} - y^{2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2y)
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %2
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& x^{2}y^{3} + y \cdot e^{x^{2}y} \\
|
||||
f_{x} &=& 2xy^{3} + y \cdot e^{x^{2}y} \cdot 2xy\\
|
||||
&=& 2xy^{3} + e^{x^{2}y} \cdot 2xy^{2} \\
|
||||
f_{y} &=& 3x^{2}y^{2} + e^{x^{2}y} + y \cdot e^{x^{2}y} \cdot x^{2} \\
|
||||
f_{xx} &=& 2y^{3} + e^{x^{2}y} \cdot 2xy \cdot 2xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2y^{2}\\
|
||||
&=& 2y^{3} + e^{x^{2}y} \cdot 4x^{2}y^{3} + e^{x^{2}y} \cdot 2y^{2} \\
|
||||
f_{yx} &=& 6xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot x^{2} \cdot 2xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 4xy\\
|
||||
&=& 6xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2x^{3}y^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 4xy \\
|
||||
f_{xy} &=& 6xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2xy + y \cdot (e^{x^{2}y} \cdot 2xy \cdot x^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2x)\\
|
||||
&=& 6xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2x^{3}y^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 4xy \\
|
||||
f_{yy} &=& 6x^{2}y + e^{x^{2}y} \cdot x^{2} + e^{x^{2}y} \cdot x^{2} + y \cdot e^{x^{2}y} \cdot x^{2} \cdot x^{2} \\
|
||||
&=& 6x^{2}y + e^{x^{2}y} \cdot 2x^{2} + e^{x^{2}y} \cdot x^{4}y
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %3
|
||||
\setcounter{subsubsection}{0}
|
||||
\subsubsection{} %i
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& 2x^{2} + y^{2} - 2xy -2x -4y + 5 \\
|
||||
I f_{x} &=& 4x - 2y - 2 = 0 \\
|
||||
II f_{y} &=& 2y - 2x - 4 = 0 \\
|
||||
f_{xx} &=& 4 \\
|
||||
f_{xy} &=& - 2 \\
|
||||
f_{yx} &=& - 2 \\
|
||||
f_{yy} &=& 2 \\
|
||||
I + II &=& 2x -6 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 2x = 6 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x = 3 \\
|
||||
\intertext{in II einsetzen}
|
||||
&\Rightarrow & 2y - 2 \cdot 3 -4 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 2y - 6 - 4 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 2y - 10 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 2y = 10 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y = 5 \\
|
||||
\intertext{Einsetzen von beiden Werten in I}
|
||||
&\Rightarrow & 4 \cdot 3 - 2 \cdot 5 - 2 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 12 - 10 - 2 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 0 = 0 \\
|
||||
\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an (3,5). Aufstellen der Hesse-Matrix}
|
||||
H &=& \begin{pmatrix} 4 & -2 \\
|
||||
-2 & 2 \end{pmatrix} \\
|
||||
\bigtriangleup_{1} &=& 4 > 0 \\
|
||||
\bigtriangleup_{2} &=& 4 > 0 \\
|
||||
\intertext{Die Hesse-Matrix ist positiv definit und damit befindet sich an der kritischen Stelle ein lokales Minimum.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %ii
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& x^{2} + 2y^{2} - 3xy -x -y +7 \\
|
||||
I f_{x} &=& 2x - 3y - 1 = 0 \\
|
||||
II f_{y} &=& 4y - 3x - 1 = 0 \\
|
||||
f_{xx} &=& 2 \\
|
||||
f_{xy} &=& -3 \\
|
||||
f_{yx} &=& -3 \\
|
||||
f_{yy} &=& 4 \\
|
||||
II + I &=& -x + y -2 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y = x + 2 \\
|
||||
\intertext{Einsetzen in I}
|
||||
&\Rightarrow & 2x - 3(x+2) - 1 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 2x - 3x - 6 - 1 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & -x - 7 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x = -7 \\
|
||||
\intertext{Einsetzen in I}
|
||||
&\Rightarrow & 2 \cdot (-7) - 3y - 1 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & -14 - 3y - 1 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 3y = -15 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y = -5 \\
|
||||
\intertext{Einsetzen beider Werte in II}
|
||||
&\Rightarrow & 4 \cdot (-5) - 3 \cdot (-7) - 1 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & -20 + 21 - 1 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 0 = 0 \\
|
||||
\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an (-7, -5). Aufstellen der Hesse-Matrix}
|
||||
H &=& \begin{pmatrix} 2 & -3 \\
|
||||
-3 & 4 \end{pmatrix} \\
|
||||
\bigtriangleup_{1} &=& 2 > 0 \\
|
||||
\bigtriangleup_{2} &=& -1 < 0 \\
|
||||
\intertext{Die Hesse-Matrix ist damit weder positiv noch negativ definit und daher infinit. Daher liegt an der kritischen Stelle kein lokales Extremum vor.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %iii
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& 2x^{3} + y^{3} - 12x -27y +2 \\
|
||||
I f_{x} &=& 6x^{2} -12 = 0\\
|
||||
II f_{y} &=& 3y^{2} - 27 = 0\\
|
||||
f_{xx} &=& 12x \\
|
||||
f_{xy} &=& 0 \\
|
||||
f_{yx} &=& 0 \\
|
||||
f_{yy} &=& 6y \\
|
||||
I &\Rightarrow & 6x^{2} - 12 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 6x^{2} = 12 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x^{2} = 2 \\
|
||||
&\Rightarrow & x_{1} = \sqrt{2} \\
|
||||
&\Rightarrow & x_{2} = -\sqrt{2} \\
|
||||
I + II &=& 6x^{2} + 3y^{2} - 39 = 0 \\
|
||||
\intertext{Einsetzen von den x-Werten und berechnen von y}
|
||||
x_{1} &\Rightarrow & 6 \cdot 2 + 3y^{2} -39 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 3y^{2} - 27 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 3y^{2} = 27 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y^{2} = 9 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y \pm 3 \\
|
||||
x_{2} &\Rightarrow & 6 \cdot 2 + 3y^{2} - 39 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 3y^{2} = 27 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y \pm 3 \\
|
||||
\intertext{Es gibt also vier kritische Stellen: $(\sqrt{2}, 3), (\sqrt{2}, -3), (-\sqrt{2}, 3)$ und $(-\sqrt{2},-3)$. Aufstellen der Hesse-Matrix}
|
||||
H &=& \begin{pmatrix}12x & 0 \\
|
||||
0 & 6y\end{pmatrix} \\
|
||||
\intertext{Berechnen der Definitheit für erste kritische Stelle:}
|
||||
\bigtriangleup_{1} &=& 12 \cdot \sqrt{2} > 0 \\
|
||||
\bigtriangleup_{2} &=& 12 \cdot \sqrt{2} \cdot 18 \\
|
||||
&=& 216 \cdot \sqrt{2} > 0 \\
|
||||
\intertext{Die Hesse-Matrix ist für die erste kritische Stelle positiv definit. An der ersten kritischen Stelle liegt also ein lokales Minimum vor. Berechnen der Definitheit für die zweite kritische Stelle:}
|
||||
\bigtriangleup_{1} &=& 12 \cdot \sqrt{2} > 0 \\
|
||||
\bigtriangleup_{2} &=& 12 \cdot \sqrt{2} \cdot (-18) \\
|
||||
&=& -216 \cdot \sqrt{2} < 0 \\
|
||||
\intertext{Die Hesse-Matrix ist für die zweite kritische Stelle infinit. An der zweiten kritischen Stelle liegt also kein lokales Extremum vor. Berechnen der Definitheit für die dritte kritische Stelle:}
|
||||
\bigtriangleup_{1} &=& -12 \cdot \sqrt{2} < 0 \\
|
||||
\bigtriangleup_{2} &=& -12 \cdot \sqrt{2} \cdot 18 \\
|
||||
&=& -216 \cdot \sqrt{2} < 0 \\
|
||||
\intertext{Die Hesse-Matrix ist für die dritte kritische Stelle infinit. An der dritten kritischen Stelle liegt also kein lokales Extremum vor. Berechnen der Definitheit für die vierte kritische Stelle:}
|
||||
\bigtriangleup_{1} &=& -12 \cdot \sqrt{2} < 0 \\
|
||||
\bigtriangleup_{2} &=& -12 \cdot \sqrt{2} \cdot (-18) \\
|
||||
&=& 216 \cdot \sqrt{2} > 0 \\
|
||||
\intertext{Die Hesse-Matrix ist für die vierte kritische Stelle negativ definit. An der vierten kritischen Stelle liegt also ein lokales Maximum vor.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %4
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
C(x,y) &=& 0.01x^{2} + 0.02xy + 0.16y^{2} + 5x + 6y + 120 \\
|
||||
&=& \frac{1}{100}x^{2} + \frac{1}{50}xy + \frac{4}{25}y^{2} + 5x + 6y + 120 \\
|
||||
\intertext{Aufstellen der Gewinnfunktion}
|
||||
G(x,y) &=& 12x + 28y - C(x,y) \\
|
||||
&=& 12x + 28y - \frac{1}{100}x^{2} - \frac{1}{50}xy - \frac{4}{25}y^{2} - 5x - 6y - 120 \\
|
||||
&=& -\frac{1}{100}x^{2} - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{1}{50}xy + 7x + 22y - 120 \\
|
||||
I\, G_{x} &=& -\frac{1}{50}x - \frac{1}{50}y + 7 = 0 \\
|
||||
II\, G_{y} &=& -\frac{8}{25}y - \frac{1}{50}x + 22 = 0 \\
|
||||
G_{xx} &=& -\frac{1}{50} \\
|
||||
G_{xy} &=& 0 \\
|
||||
G_{yx} &=& 0 \\
|
||||
G_{yy} &=& -\frac{8}{25} \\
|
||||
I &\Rightarrow & -\frac{1}{50}x - \frac{1}{50}y + 7 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{1}{50}x = 7 - \frac{1}{50}y \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x = 350 - y \\
|
||||
\intertext{Einsetzen in II}
|
||||
II &\Rightarrow & -\frac{8}{25}y - \frac{1}{50} (350-y) + 22 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{8}{25}y = 22 - \frac{1}{50} (350 - y) \\
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{8}{25}y = 22 - 7 + \frac{1}{50}y \\
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{15}{50}y = 15 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{3}{10}y = 15 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y = 50 \\
|
||||
\intertext{Einsetzen in I}
|
||||
&\Rightarrow & x = 350 - 50 = 300
|
||||
\intertext{Die einige kritische Stelle von G(x,y) befindet sich an $\left(300, 50\right)$. Aufstellen der Hesse-Matrix:}
|
||||
H &=& \begin{pmatrix}-\frac{1}{50} & 0 \\
|
||||
0 & -\frac{8}{25} \end{pmatrix} \\
|
||||
\bigtriangleup_{1} &=& -\frac{1}{50} < 0 \\
|
||||
\bigtriangleup_{2} &=& \frac{4}{625} > 0 \\
|
||||
\intertext{Die Hesse-Matrix ist an der kritischen Stelle negativ definit. An der kritischen Stelle befindet sich daher ein Maximum. Der höchste Gewinn ist demnach mit 300 Einheiten des Gutes A und 50 Einheiten des Gutes B zu erreichen.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
G(x,y) &=& -\frac{1}{100}x^{2} - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{1}{50}xy + 7x + 22y - 120 \\
|
||||
n(x,y) &=& x + 2y = 320 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x= 320 - 2y \\
|
||||
\intertext{Einsetzen in G(x,y)}
|
||||
G(y) &=& -\frac{1}{100} \cdot (320-2y)^{2} - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{1}{50} \cdot (320 - 2y)y + 7(320-2y) + 22y - 120 \\
|
||||
&=& -\frac{1}{100} \cdot (102400 -1280y + 4y^{2}) - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{1}{50} \cdot (320y -2y^{2}) + 2240 - 14y + 22y - 120 \\
|
||||
&=& -1024 + \frac{128}{10}y - \frac{1}{25}y^{2} - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{32}{5}y + \frac{1}{25}y^{2} + 8y + 2120 \\
|
||||
&=& \frac{64}{5}y - \frac{5}{25}y^{2} - \frac{32}{5} + \frac{1}{25}y^{2} + 1096 + 8y \\
|
||||
&=& -\frac{4}{25}y^{2} + \frac{72}{5}y + 1096 \\
|
||||
G'(y) &=& -\frac{8}{25}y + \frac{72}{5} = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{8}{25}y = \frac{72}{5} \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y = 45 \\
|
||||
G''(y) &=& -\frac{8}{25} < 0 \\
|
||||
\intertext{Unter der Nebenbedingung n(x,y) gibt es ein lokales Maximum für 45 Einheiten von Gut B.
|
||||
Einsetzen von y in die Nebenbedingung:}
|
||||
n(x) &=& x + 2 \cdot 45 = 320 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x + 90 = 320 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x = 230
|
||||
\intertext{Die optimalen Mengen des Outputs liegen bei 230 Einheiten von Gut A und 45 Einheiten von Gut B.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %c
|
||||
Berechnen des maximalen Gewinns für Fall a)\\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
G(300,50) &=& -\frac{1}{100} \cdot 300^{2} - \frac{4}{25} \cdot 50^{2} - \frac{1}{50} \cdot 300 \cdot 50 + 7 \cdot 300 + 22 \cdot 50 - 120 \\
|
||||
&=& -900 - \frac{4}{25} \cdot 2500 - 300 + 2100 + 1100 - 120 \\
|
||||
&=& 1880 - 400 \\
|
||||
&=& 1480 \\
|
||||
\intertext{Der maximale Gewinn im Fall a) beträgt 1480 Geldeinheiten.}
|
||||
\end{alignat*}\\
|
||||
Berechnen des maximalen Gewinns für Fall b)\\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
G(230,45) &=& -\frac{1}{100} \cdot 230^{2} - \frac{4}{25} \cdot 45^{2} - \frac{1}{50} \cdot 230 \cdot 45 + 7 \cdot 230 + 22 \cdot 45 - 120 \\
|
||||
&=& -529 - \frac{4}{25} \cdot 2025 - \frac{1}{50} \cdot 10350 + 1610 + 990 - 120 \\
|
||||
&=& 1951 - 324 - 207 \\
|
||||
&=& 1420
|
||||
\intertext{Der maximale Gewinn im Fall b) beträgt 1420 Geldeinheiten.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\end{document}
|
|
@ -0,0 +1,222 @@
|
|||
\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
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|
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\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
|
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\usepackage{polynom}
|
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\polyset{style=C, div=:,vars=x}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.8}
|
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\pagenumbering{arabic}
|
||||
\def\thesection{\arabic{section})}
|
||||
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
|
||||
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
|
||||
\makeatletter
|
||||
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
|
||||
\hskip -\arraycolsep
|
||||
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
|
||||
\array{#1}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\author{Jim Martens (6420323)}
|
||||
\title{Hausaufgaben zum 4. Juli}
|
||||
\maketitle
|
||||
\section{} %1
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y,z) &=& 2x^{2} + y^{2} + 4z^{2} - 2yz - 2x - 6y + 8 \\
|
||||
I f_{x} &=& 4x - 2 = 0\\
|
||||
II f_{y} &=& 2y - 7z - 6 = 0\\
|
||||
III f_{z} &=& 8z - 2y = 0 \\
|
||||
I &\Rightarrow & 4x - 2 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 4x = 2 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x = \frac{1}{2} \\
|
||||
III &\Rightarrow & 8z - 2y = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 8z = 2y \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 4z = y \\
|
||||
II &\Rightarrow & 2 \cdot 4z - 7z - 6 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 8z - 7z = 6 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & z = 6 \\
|
||||
III &\Rightarrow & 4 \cdot 6 = y \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 24 = y \\
|
||||
\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an ($\frac{1}{2}, 24, 6$).}
|
||||
f_{xx} &=& 4 \\
|
||||
f_{yx} &=& 0 \\
|
||||
f_{zx} &=& 0 \\
|
||||
f_{xy} &=& 0 \\
|
||||
f_{yy} &=& 2 \\
|
||||
f_{zy} &=& -7 \\
|
||||
f_{xz} &=& 0 \\
|
||||
f_{yz} &=& -2 \\
|
||||
f_{zz} &=& 8 \\
|
||||
\intertext{Aufstellen der Hesse-Matrix}
|
||||
H &=& \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 2 & -7 \\
|
||||
0 & -2 & 8\end{pmatrix} \\
|
||||
\bigtriangleup_{1} &=& 4 > 0\\
|
||||
\bigtriangleup_{2} &=& 8 > 0\\
|
||||
\bigtriangleup_{3} &=& 64 - 56 = 8 > 0\\
|
||||
\intertext{Die Hesse-Matrix ist positiv definit. Daher liegt an der kritischen Stelle ein Minimum vor.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
grad\,f(1,1,1) &=& (4 - 2, 2 - 7 - 6, 8 - 2) \\
|
||||
&=& (2, -11, 6) \\
|
||||
||grad\,f(1,1,1)|| &=& \sqrt{2^{2} + 11^{2} + 6^{2}} \\
|
||||
&=& \sqrt{4 + 121 + 36} \\
|
||||
&=& \sqrt{161} \\
|
||||
\intertext{In Richtung von (2, -11, 6) steigt die Temperatur von (1,1,1) aus am stärksten an. In Richtung (-2, 11, -6) sinkt die Temperatur am stärksten. Die Größe des stärksten Anstiegs beträgt $\sqrt{161}$.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %2
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
A &=& \begin{pmatrix}-i & -1 \\
|
||||
3 & i \end{pmatrix} \\
|
||||
B &=& \begin{pmatrix} i \\
|
||||
1 + i\end{pmatrix} \\
|
||||
C &=& \begin{pmatrix}-i & i \end{pmatrix} \\
|
||||
AB &=& \begin{pmatrix}-i \cdot i + (1+i)\cdot (-1) \\
|
||||
3i + i(1+i) \end{pmatrix} \\
|
||||
&=& \begin{pmatrix}-i^{2} - 1 - i \\
|
||||
3i + i + i^{2} \end{pmatrix} \\
|
||||
&=& \begin{pmatrix}- 1 - i \\
|
||||
4i - 1 \end{pmatrix} \\
|
||||
\intertext{AC existiert nicht, da A mehr Spalten hat, als C Zeilen hat.}
|
||||
BC &=& \begin{pmatrix}i \cdot (-i) & i \cdot i \\
|
||||
(1+i) \cdot (-i) & (1+i)i \end{pmatrix} \\
|
||||
&=& \begin{pmatrix}-i^{2} & i^{2} \\
|
||||
-i - i^{2} & i + i^{2} \end{pmatrix} \\
|
||||
&=& \begin{pmatrix}1 & -1 \\
|
||||
-i +1 & i -1 \end{pmatrix} \\
|
||||
CB &=& \begin{pmatrix}-i \cdot i + i(1+i) \end{pmatrix} \\
|
||||
&=& \begin{pmatrix}-i^{2} + i + i^{2} \end{pmatrix} \\
|
||||
&=& \begin{pmatrix}1 + i -1 \end{pmatrix} \\
|
||||
&=& \begin{pmatrix}i \end{pmatrix}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\overline{z} &=& \frac{3 + 2i}{4 - 3i} \\
|
||||
&=& \frac{(3 + 2i)(4+3i)}{(4 - 3i)(4+3i)} \\
|
||||
&=& \frac{12 + 9i + 8i + 6i^{2}}{16 + 12i - 12i - 9i^{2}} \\
|
||||
&=& \frac{12 - 6 + 17i}{16 + 9} \\
|
||||
&=& \frac{6 + 17i}{25} \\
|
||||
&=& \frac{6}{25} + \frac{17}{25}i \\
|
||||
z &=& \frac{6}{25} - \frac{17}{25}i \\
|
||||
a &=& \frac{6}{25} \\
|
||||
b &=& \frac{17}{25}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %c
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
z_{1} &=& -1 - i = (-1, -1) \\
|
||||
z_{2} &=& \sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot i \cdot \sin \frac{\pi}{4} \\
|
||||
&=& \sqrt{2} \cdot \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) + \sqrt{2} \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) \\
|
||||
&=& 1 + i = (1, 1) \\
|
||||
z_{3} &=& (-1 -i)(1+ i) \\
|
||||
&=& -1 - i - i - i^{2} \\
|
||||
&=& -1 + 1 - 2i = 0 - 2i = (0, -2) \\
|
||||
z_{4} &=& -1 + i = (-1, 1)
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
ymin=-5,ymax=5,
|
||||
x=1cm,
|
||||
y=1cm,
|
||||
axis x line=middle,
|
||||
axis y line=middle,
|
||||
axis line style=->,
|
||||
xlabel={$\Re$},
|
||||
ylabel={$\Im$},
|
||||
xmin=-5,xmax=5
|
||||
]
|
||||
|
||||
\node at (axis cs: -1,-1) {$z_{1}$};
|
||||
\node at (axis cs: 1,1) {$z_{2}$};
|
||||
\node at (axis cs: 0,-2) {$z_{3}$};
|
||||
\node at (axis cs: -1,1) {$z_{4}$};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\subsection{} %d
|
||||
\subsubsection{} %i
|
||||
In dieser Teilmenge sind alle komplexen Zahlen enthalten, die sich auf der Geraden befinden, die durch die Punkte (1,1) und (2,0) geht.
|
||||
\subsubsection{} %ii
|
||||
In der Teilmenge sind alle komplexen Zahlen enthalten, die sich auf der Kreislinie eines Kreises mit dem Radius 1 um den Punkt (1,1) befinden.
|
||||
\section{} %3
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - xy - \frac{25}{10}y^{2} + 48x + 235y - 88 \\
|
||||
g(x,y) &=& \frac{1}{5}x + y = 40
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
g_{x} &=& \frac{1}{5} \\
|
||||
g_{y} &=& 1 \\
|
||||
\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial g}{\partial y} (x,y)\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}\frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix} \\
|
||||
\intertext{Der Rang dieser Matrix ist für alle $x,y$ gleich 2. Damit ist die Regularitätsbedingung erfüllt.}
|
||||
L(x,y,\lambda) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - xy - \frac{25}{10}y^{2} + 48x + 235y - 88 + \lambda(\frac{1}{5}x + y - 40) \\
|
||||
I L_{x} &=& - \frac{2}{5}x - y + 48 + \lambda \cdot \frac{1}{5} = 0 \\
|
||||
II L_{y} &=& - x - 5y + 235 + \lambda = 0 \\
|
||||
III L_{\lambda} &=& \frac{1}{5}x + y - 40 = 0 \\
|
||||
II &\Rightarrow & \lambda = x + 5y - 235 \\
|
||||
I &\Rightarrow & - \frac{2}{5}x - y + 48 + (x + 5y - 235) \cdot \frac{1}{5} = 0\\
|
||||
&\Leftrightarrow & - \frac{2}{5}x - y + 48 + \frac{1}{5}x + y - 47 = 0 \\
|
||||
\intertext{Beachten der dritten Gleichung}
|
||||
&\Leftrightarrow & - \frac{1}{5}x - \frac{1}{5}x - y + 48 - 7 = 0\\
|
||||
&\Leftrightarrow & - \frac{1}{5}x + 1=\frac{1}{5}x + y - 40 \\
|
||||
\intertext{Beachten der dritten Gleichung}
|
||||
&\Leftrightarrow & - \frac{1}{5}x + 1 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{1}{5}x = 1 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x = 5 \\
|
||||
\intertext{Einsetzen in I}
|
||||
&\Rightarrow & - \frac{1}{5} \cdot 5 - \frac{1}{5} \cdot 5 - y + 48 - 7 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & - 1 - 1 - y + 41 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & -y + 39 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y = 39 \\
|
||||
\intertext{Einsetzen in III}
|
||||
\lambda &=& \frac{1}{5} \cdot 5 + 39 - 40 \\
|
||||
&=& 1 + 39 - 40 \\
|
||||
&=& 0
|
||||
\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an (5, 39).}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
L_{xx} &=& - \frac{2}{5} \\
|
||||
L_{yx} &=& - 1 \\
|
||||
L_{xy} &=& - 1 \\
|
||||
L_{yy} &=& - 5 \\
|
||||
\overline{H} &=& \begin{pmatrix}0 & \frac{1}{5} & 1 \\
|
||||
\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & -1\\
|
||||
1 & -1 & -5 \end{pmatrix} \\
|
||||
det \, \overline{H} &=& -\frac{1}{5} - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \\
|
||||
&=& \frac{1}{5} > 0 \\
|
||||
\intertext{An der kritischen Stelle liegt ein Maximum vor.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %4
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x,y) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - xy - \frac{25}{10}y^{2} + 48x + 235y - 88 \\
|
||||
g(x,y) &=& \frac{1}{5}x + y -40 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y = -\frac{1}{5}x + 40 \\
|
||||
\intertext{Einsetzen in f(x,y)}
|
||||
f(x) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - x \cdot (-\frac{1}{5}x + 40) - \frac{25}{10} \cdot (-\frac{1}{5}x + 40)^{2} + 48x + 235 \cdot (-\frac{1}{5}x + 40) - 88 \\
|
||||
&=& -\frac{1}{5}x^{2} + \frac{1}{5}x^{2} - 40x - \frac{25}{10} \cdot (\frac{1}{25}x^{2} -16x + 1600) + 48x -47x + 9400 - 88 \\
|
||||
&=& - 40x - \frac{1}{10}x^{2} + 40x - 4000 + 48x -47x + 9400 - 88 \\
|
||||
&=& - \frac{1}{10}x^{2} + x + 5312 \\
|
||||
f'(x) &=& -\frac{1}{5}x + 1 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{1}{5}x = 1 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & x = 5 \\
|
||||
f''(x) &=& -\frac{1}{5} < 0 \\
|
||||
\intertext{Unter der Nebenbedingung g(x,y) gibt es ein lokales Maximum für x = 5.
|
||||
Einsetzen von x in die Nebenbedingung:}
|
||||
g(y) &=& \frac{1}{5} \cdot 5 + y -40 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & 1 + y - 40 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y - 39 = 0 \\
|
||||
&\Leftrightarrow & y = 39 \\
|
||||
\intertext{An der Stelle (5, 39) ist der Gewinn maximal.}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\end{document}
|
|
@ -0,0 +1,102 @@
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|||
\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
|
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{gauss}
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\usepackage{pgfplots}
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||||
\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
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\usepackage{tikz}
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||||
\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
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\usepackage{polynom}
|
||||
\polyset{style=C, div=:,vars=x}
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||||
\pgfplotsset{compat=1.8}
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||||
\pagenumbering{arabic}
|
||||
\def\thesection{\arabic{section})}
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||||
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
|
||||
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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||||
\makeatletter
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||||
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
|
||||
\hskip -\arraycolsep
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||||
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
|
||||
\array{#1}}
|
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\makeatother
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||||
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||||
\begin{document}
|
||||
\author{Jim Martens (6420323)}
|
||||
\title{Hausaufgaben zum 11. Juli}
|
||||
\maketitle
|
||||
\section{} %1
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\iint\limits_{I} f(x,y)\, d(x,y) &=& \iint\limits_{I} (2x^{2}y)\, d(x,y) \\
|
||||
\intertext{Version 1}
|
||||
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( \int\limits_{-1}^{3} (2x^{2}y) \, dy \right) \, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \int\limits_{-1}^{3} y \, dy \right)\, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{-1}^{3} \right)\, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \left[\frac{9}{2} - \frac{1}{2}\right] \right)\, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \cdot 4 \right)\, dx \\
|
||||
&=& 8 \int\limits_{1}^{2} x^{2}\, dx \\
|
||||
&=& 8 \left[\frac{1}{3}x^{3} \right]_{1}^{2} \\
|
||||
&=& 8 \left[\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right] \\
|
||||
&=& 8 \cdot \frac{7}{3} = \frac{56}{3} \\
|
||||
\intertext{Version 2}
|
||||
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( \int\limits_{1}^{2} (2x^{2}y) \, dx \right) \, dy \\
|
||||
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y\int\limits_{1}^{2} x^{2} \, dx \right) \, dy \\
|
||||
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y\left[\frac{1}{3}x^{3} \right]_{1}^{2} \right) \, dy \\
|
||||
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y\left[\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right] \right) \, dy \\
|
||||
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y \cdot \frac{7}{3} \right) \, dy \\
|
||||
&=& \frac{14}{3}\int\limits_{-1}^{3} y \, dy \\
|
||||
&=& \frac{14}{3}\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{-1}^{3} \\
|
||||
&=& \frac{14}{3}\left[\frac{9}{2} - \frac{1}{2}\right] \\
|
||||
&=& \frac{14}{3} \cdot 4 = \frac{56}{3}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %2
|
||||
\subsubsection{} %i
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\iint\limits_{G} f(x,y) \, d(x,y) &=& \iint\limits_{G} (xy^{2}) \, d(x,y) \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(\int\limits_{0}^{3x} xy^{2}\, dy \right) \, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x\int\limits_{0}^{3x} y^{2}\, dy \right) \, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{1}{3}y^{3} \right]_{0}^{3x} \right) \, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{1}{3} \cdot 27x^{3} \right] \right) \, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \cdot 9x^{3} \right) \, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(9x^{4} \right) \, dx \\
|
||||
&=& 9\int\limits_{0}^{1} x^{4} \, dx \\
|
||||
&=& 9\left[\frac{1}{5}x^{5} \right]_{0}^{1} \\
|
||||
&=& 9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %ii
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\iint\limits_{G} f(x,y) \, d(x,y) &=& \iint\limits_{G} (xy^{2}) \, d(x,y) \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(\int\limits_{3x}^{3} xy^{2} \, dy \right)\, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x\int\limits_{3x}^{3} y^{2} \, dy \right)\, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{1}{3}y^{3} \right]_{3x}^{3} \right)\, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{27}{3} - \frac{27}{3}x^{3} \right] \right)\, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(9x - 9x^{4} \right)\, dx \\
|
||||
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(9(x - x^{4}) \right)\, dx \\
|
||||
&=& 9\int\limits_{0}^{1} x - x^{4}\, dx \\
|
||||
&=& 9\int\limits_{0}^{1} x \, dx - 9\int\limits_{0}^{1} x^{4}\, dx \\
|
||||
&=& 9 \left[\frac{1}{2}x^{2} \right]_{0}^{1} - 9\left[\frac{1}{5}x^{5} \right]_{0}^{1} \\
|
||||
&=& 9 \cdot \frac{1}{2} - 9 \cdot \frac{1}{5} \\
|
||||
&=& \frac{9}{2} - \frac{9}{5} \\
|
||||
&=& \frac{45}{10} - \frac{18}{10} = \frac{27}{10}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %3
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
Klarerweise gilt $f_{4}(n) = O(f_{5}(n))$. Ebenfalls gilt $f_{3}(n) = O(f_{1}(n))$. Außerdem ist klar, dass $f_{1}(n) = O(f_{4}(n))$ gilt.
|
||||
Damit ergibt sich die Reihenfolge $f_{3}, f_{1}, f_{4}, f_{5}$.
|
||||
Es müssen noch $f_{2}$ und $f_{6}$ eingeordnet werden. $f_{2}(n) = O(f_{1}(n))$ gilt ebenso wie $f_{3}(n) = O(f_{2}(n))$. $f_{2}$ kann demnach zwischen $f_{3}$ und $f_{1}$ eingeordnet werden, womit sich die Reihenfolge $f_{3}, f_{2}, f_{1}, f_{4}, f_{5}$ ergibt.
|
||||
|
||||
Abschließend muss noch $f_{6}(n)$ eingeordnet werden. $n^{2}$ kommt als Faktor auch in $f_{1}$ vor. Es bleibt daher die Frage, ob $\sqrt{n}$ schneller wächst als $\log_{2}(n)$. Dem ist so, da Wurzelfunktionen allgemein schneller wachsen als Logarithmusfunktionen. Daher gilt $f_{6}(n) = O(f_{1}(n))$. Gleichzeitig gilt, dass $\sqrt{2n}$ langsamer wächst als $f_{6}(n)$, womit auch $f_{2}(n) = O(f_{6}(n))$ gilt. Die fertige Reihenfolge ist daher $f_{3}, f_{2}, f_{6}, f_{1}, f_{4}, f_{5}$.
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\section{} %4
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\intertext{Es gilt $n = \lfloor x \rfloor, x \geq 1$ für beide Funktionen:}
|
||||
f(n) &=& n \\
|
||||
g(n) &=& n^{1+ \lceil \sin (x) \rceil}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\end{document}
|
|
@ -0,0 +1,216 @@
|
|||
\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[ngerman]{babel}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{paralist}
|
||||
\usepackage{gauss}
|
||||
\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
|
||||
\usepackage{polynom}
|
||||
\polyset{style=C, div=:,vars=x}
|
||||
\pagenumbering{arabic}
|
||||
\def\thesection{\arabic{section})}
|
||||
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
|
||||
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
|
||||
\makeatletter
|
||||
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
|
||||
\hskip -\arraycolsep
|
||||
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
|
||||
\array{#1}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\author{Jim Martens (6420323)}
|
||||
\title{Hausaufgaben zum 18. April}
|
||||
\maketitle
|
||||
\section{} %1
|
||||
\subsubsection{} %(i)
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{-3n^{4}+2n^{2}+n+1}{-7n^{4}+25} \right) &\Rightarrow & \frac{-3n^{4}+2n^{2}+n+1}{-7n^{4}+25} && \\
|
||||
\intertext{Ausklammern von $n^{4}$}
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{-3 + \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}}{-7 + \frac{25}{n^{4}}} &\rightarrow & \frac{3}{7}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %(ii)
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{-3n^{4}+2n^{2}+n+1}{-7n^{5}+25} \right) &\Rightarrow & \frac{-3n^{4}+2n^{2}+n+1}{-7n^{5}+25} && \\
|
||||
\intertext{Ausklammern von $n^{4}$ im Zähler und $n^{5}$ im Nenner}
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{1}{n} \cdot \frac{-3 + \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}}{-7 + \frac{25}{n^{5}}} &\rightarrow & 0
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %(iii)
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{-3n^{5}+2n^{2}+n+1}{-7n^{4}+25} \right) &\Rightarrow & \frac{-3n^{5}+2n^{2}+n+1}{-7n^{4}+25} && \\
|
||||
\intertext{Ausklammern von $n^{5}$ im Zähler und $n^{4}$ im Nenner}
|
||||
&\Leftrightarrow & n \cdot \frac{-3 + \frac{2}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}{-7 + \frac{25}{n^{4}}} &\rightarrow & \infty
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %(iv)
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
\hspace{-2.5cm}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{6n^{3}+2n-3}{9n^{2}+2} - \frac{2n^{3}+5n^{2}+7}{3n^{2}+3} \right) &\Rightarrow & \frac{6n^{3}+2n-3}{9n^{2}+2} - \frac{2n^{3}+5n^{2}+7}{3n^{2}+3} && \\
|
||||
\intertext{Auf gleichen Nenner bringen}
|
||||
\hspace{-2.5cm}
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{(6n^{3}+2n-3)(3n^{2}+3) - (2n^{3}+5n^{2}+7)(9n^{2}+2)}{(9n^{2}+2)(3n^{2}+3)} && \\
|
||||
\intertext{Klammern auflösen und zusammenfassen}
|
||||
\hspace{-2.5cm}
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{-45n^{4} + 20n^{3}-82n^{2}+6n-23}{27n^{4}+33n^{2}+6} && \\
|
||||
\intertext{Ausklammern von $n^{4}$}
|
||||
\hspace{-2.5cm}
|
||||
&\Leftrightarrow & \frac{-45 + \frac{20}{n}-\frac{82}{n^{2}}+\frac{6}{n^{3}}-\frac{23}{n^{4}}}{27+\frac{33}{n^{2}}+\frac{6}{n^{4}}} &\rightarrow & \frac{-45}{27} = \frac{-5}{3}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %(v)
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{\sqrt{9n^{4}+n^{2}+1}-2n^{2}+3}{\sqrt{2n^{2}+1} \cdot \sqrt{2n^{2}+n+1}} \right) &\Rightarrow & \frac{\sqrt{9n^{4}+n^{2}+1}-2n^{2}+3}{\sqrt{2n^{2}+1} \cdot \sqrt{2n^{2}+n+1}} && \\
|
||||
\intertext{Anwendung der Wurzelgesetze}
|
||||
&\Leftrightarrow &\frac{\sqrt{9n^{4}+n^{2}+1}-2n^{2}+3}{\sqrt{(2n^{2}+1) \cdot (2n^{2}+n+1)}} && \\
|
||||
\intertext{Zusammenfassen}
|
||||
&\Leftrightarrow &\frac{\sqrt{9n^{4}+n^{2}+1}-2n^{2}+3}{\sqrt{4n^{4}+2n^{3}+4n^{2} + 1}} && \\
|
||||
\intertext{$n^{2}$ ausklammern}
|
||||
&\Leftrightarrow &\frac{\sqrt{9+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}}-2+\frac{3}{n^{2}}}{\sqrt{4+\frac{2}{n}+\frac{4}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}} &\rightarrow & \frac{7}{2}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %2
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\subsubsection{} %i
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
a_{0} &=& 1 &&&\\
|
||||
a_{1} &=& \frac{2}{5} &&& \\
|
||||
a_{2} &=& \left(\frac{2}{5}\right)^{2} = \frac{4}{25} &&& \\
|
||||
a_{3} &=& \left(\frac{2}{5}\right)^{3} = \frac{8}{125} &&& \\
|
||||
a_{4} &=& \left(\frac{2}{5}\right)^{4} = \frac{16}{625} &&& \\
|
||||
s_{0} &=& a_{0} &=&& 1 \\
|
||||
s_{1} &=& a_{0} + a_{1} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} &=&& 1.4 \\
|
||||
s_{2} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} = \frac{7}{5} + \frac{4}{25} = \frac{39}{25} &=&& 1.56 \\
|
||||
s_{3} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{39}{25} + \frac{8}{125} = \frac{203}{125} &=&& 1.624 \\
|
||||
s_{4}&=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \frac{203}{125} + \frac{16}{625} = \frac{1031}{625} &=&& 1.6496
|
||||
\end{alignat*}\\
|
||||
Bestimmung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(\frac{2}{5}\right)^{i} \right) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{2}{5}\right)} \right) \\
|
||||
&=& \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %ii
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
a_{0} &=& 1 &&& \\
|
||||
a_{1} &=& \frac{5}{2}&&& \\
|
||||
a_{2} &=& \left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4} &&&\\
|
||||
a_{3} &=& \left(\frac{5}{2}\right)^{3} = \frac{125}{8} &&& \\
|
||||
a_{4} &=& \left(\frac{5}{2}\right)^{4} = \frac{625}{16} &&& \\
|
||||
s_{0} &=& a_{0} &=& 1 \\
|
||||
s_{1} &=& a_{0} + a_{1} = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2} &=&& 3.5 \\
|
||||
s_{2} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} = \frac{7}{2} + \frac{25}{4} = \frac{39}{4} &=&& 9.75 \\
|
||||
s_{3} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{39}{4} + \frac{125}{8} = \frac{203}{8} &=&& 25.375 \\
|
||||
s_{4}&=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \frac{203}{8} + \frac{625}{16} = \frac{1031}{16} &=&& 64,4375
|
||||
\end{alignat*}\\
|
||||
Die Reihe divergiert, da geometrische Reihen immer divergieren, wenn der Betrag von q größer als $1$ ist. Dies ist mit $\frac{5}{2}$ der Fall.
|
||||
\subsubsection{} %iii
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
a_{0} &=& 1 &&&\\
|
||||
a_{1} &=& -\frac{2}{5} &&& \\
|
||||
a_{2} &=& \left(-\frac{2}{5}\right)^{2} = \frac{4}{25} &&& \\
|
||||
a_{3} &=& \left(-\frac{2}{5}\right)^{3} = -\frac{8}{125} &&& \\
|
||||
a_{4} &=& \left(-\frac{2}{5}\right)^{4} = \frac{16}{625} &&& \\
|
||||
s_{0} &=& a_{0} &=&& 1 \\
|
||||
s_{1} &=& a_{0} + a_{1} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} &=&& 0.6 \\
|
||||
s_{2} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} = \frac{3}{5} + \frac{4}{25} = \frac{19}{25} &=&& 0.76 \\
|
||||
s_{3} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{19}{25} - \frac{8}{125} = \frac{87}{125} &=&& 0.696 \\
|
||||
s_{4}&=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \frac{87}{125} + \frac{16}{625} = \frac{451}{625} &=&& 0.7216
|
||||
\end{alignat*} \\
|
||||
Bestimmung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(-\frac{2}{5}\right)^{i} \right) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1-\left(-\frac{2}{5}\right)^{n+1}}{1+\left(\frac{2}{5}\right)} \right) \\
|
||||
&=& \frac{1}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\subsubsection{} %i
|
||||
Bestimmung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(-\frac{3}{10}\right)^{i} \right) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1-\left(-\frac{3}{10}\right)^{n+1}}{1+\left(\frac{3}{10}\right)} \right) \\
|
||||
&=& \frac{1}{\frac{13}{10}} = \frac{10}{13}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Die Reihe konvergiert gegen den Wert $\frac{10}{13} \approx 0.769$.
|
||||
\subsubsection{} %ii
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
&& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} x^{i} \right) &=& \frac{5}{8} \\
|
||||
\Rightarrow && \frac{1}{1-x} &=& \frac{5}{8} \\
|
||||
\overset{\cdot (1-x)}{\Leftrightarrow} && 1 &=& \frac{5}{8} - \frac{5}{8}x \\
|
||||
\overset{-\frac{5}{8}}{\Leftrightarrow} && \frac{3}{8} &=& -\frac{5}{8}x \\
|
||||
\overset{\cdot -\frac{8}{5}}{\Leftrightarrow} && -\frac{3}{5} &=& x
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
$x$ ist gleich $-\frac{3}{5}$.
|
||||
\section{} %3
|
||||
\subsection{}
|
||||
\subsubsection{} %(i)
|
||||
Die Reihe konvergiert, da der Betrag von $q = \frac{7}{9}$ kleiner als $1$ ist.\\
|
||||
Berechnung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(\frac{7}{9}\right)^{i} \right) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1-\left(\frac{7}{9}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{7}{9}\right)} \right) \\
|
||||
&=& \frac{1}{\frac{2}{9}} = \frac{9}{2}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %(ii)
|
||||
Die Reihe konvergiert, da der Betrag von $q = -\frac{7}{9}$ kleiner als $1$ ist.\\
|
||||
Berechnung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\sum\limits_{i=1}^{\infty} \left(-\frac{7}{9}\right)^{i} &=& \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left(-\frac{7}{9}\right)^{i} - \left(-\frac{7}{9}\right)^{0} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(-\frac{7}{9}\right)^{i} - \left(-\frac{7}{9}\right)^{0} \right) \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(-\frac{7}{9}\right)^{i} \right) - 1 \\
|
||||
&=& \frac{1}{1 + \frac{7}{9}} - 1 = \frac{1}{\frac{16}{9}} \\
|
||||
&=& \frac{9}{16} - 1 = -\frac{7}{16}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Der Grenzwert ist $-\frac{7}{16}$.
|
||||
\subsubsection{} %(iii)
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\sum\limits_{i=2}^{\infty} (-1)^{i} \cdot \left( \frac{7}{9} \right)^{i+1} &=& \sum\limits_{i=2}^{\infty} (-1)^{i} \cdot \left( \frac{7}{9} \right)^{i} \cdot \left( \frac{7}{9} \right) \\
|
||||
&=& \sum\limits_{i=2}^{\infty} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} \cdot \left( \frac{7}{9} \right) \\
|
||||
&=& \left( \frac{7}{9} \right) \cdot \sum\limits_{i=2}^{\infty} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \sum\limits_{i=2}^{n} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} \right) \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} - \left( -\frac{7}{9} \right)^{0} - \left( -\frac{7}{9} \right)^{1} \right) \right) \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} - 1 + \frac{7}{9} \right) \right) \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \left( \frac{1- \left(-\frac{7}{9} \right)^{n+1}}{1 - \left(-\frac{7}{9} \right)} - 1 + \frac{7}{9} \right) \right) \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \left( \frac{1- \left(-\frac{7}{9} \right)^{n+1}}{1 + \frac{7}{9}} - 1 + \frac{7}{9} \right) \right)\\
|
||||
&\rightarrow & \frac{7}{9} \cdot \left( \frac{1}{1 + \frac{7}{9}} - 1 + \frac{7}{9} \right) \\
|
||||
&=& \frac{7}{9} \cdot \left( \frac{9}{16} - 1 + \frac{7}{9} \right) \\
|
||||
&=& \frac{7}{9} \cdot \left( -\frac{7}{16} + \frac{7}{9} \right) \\
|
||||
&=& \frac{7}{9} \cdot \frac{49}{144} \\
|
||||
&=& \frac{343}{1296} \approx 0.26
|
||||
\end{alignat*}\\
|
||||
Der Grenzwert beträgt $\frac{343}{1296}$.
|
||||
\subsubsection{} %(iv)
|
||||
|
||||
\begin{alignat*}{3}
|
||||
\sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{1}{(i+1)i} &=& \sum\limits_{i=2}^{\infty} \left( \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1} \right) \\
|
||||
&=& \sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{1}{i} - \sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{1}{i+1} \\
|
||||
&=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - ... - \frac{1}{n+1} \\
|
||||
&\Rightarrow & \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{2}
|
||||
\end{alignat*}\\
|
||||
Der Grenzwert ist $\frac{1}{2}$.
|
||||
\section{} %4
|
||||
\subsection{}
|
||||
\subsubsection{} %(i)
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+3} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{3} \\
|
||||
&=& e \cdot 1 = e
|
||||
\end{alignat*}\\
|
||||
\subsubsection{} %(ii)
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{3n} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \\
|
||||
&=& e \cdot e \cdot e \\
|
||||
&=& e^{3}
|
||||
\end{alignat*}\\
|
||||
\subsubsection{} %(iii)
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{3} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right) \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right) \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right) \\
|
||||
&=& 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %(iv)
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{3n} \right)^{3n} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \left(1 + \frac{1}{3n} \right)^{3} \right)^{n} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \left(1 + \frac{1}{3n} \right)^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{3n} \right) \right)^{n} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \left(1 + \frac{2}{3n} + \frac{1}{9n^{2}} \right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3n} \right) \right)^{n} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( 1 + \frac{1}{3n} + \frac{2}{3n} + \frac{2}{9n^{2}} + \frac{1}{9n^{2}} + \frac{1}{27n^{3}} \right)^{n} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( 1 + \frac{3}{3n} + \frac{3}{9n^{2}} + \frac{1}{27n^{3}} \right)^{n} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{3n^{2}} + \frac{1}{27n^{3}} \right)^{n} \\
|
||||
&\rightarrow & 1
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\end{document}
|
|
@ -0,0 +1,105 @@
|
|||
\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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|
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|
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\usepackage{amssymb}
|
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\usepackage{paralist}
|
||||
\usepackage{gauss}
|
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\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
|
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\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
|
||||
\usepackage{polynom}
|
||||
\polyset{style=C, div=:,vars=x}
|
||||
\pagenumbering{arabic}
|
||||
\def\thesection{\arabic{section})}
|
||||
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
|
||||
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
|
||||
\makeatletter
|
||||
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
|
||||
\hskip -\arraycolsep
|
||||
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
|
||||
\array{#1}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\author{Jim Martens (6420323)}
|
||||
\title{Hausaufgaben zum 25. April}
|
||||
\maketitle
|
||||
\section{} %1
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\vspace{11cm}
|
||||
Die Unstetigkeitsstellen sind $x=2$ und $x=6$.
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\vspace{4cm}
|
||||
Die Funktion $g(x)$ ist periodisch. Betrachtet man die Periode für $x=0$ bis $x=1$, so ist ersichtlich, dass sowohl $x=0$ als auch $x=1$ Unstetigkeitsstellen sind. Nähert man sich an die beiden Stellen von links an, so stimmt der Grenzwert nicht mit dem Funktionswert überein. Nähert man sich von rechts an, stimmt er überein.\\
|
||||
Stetigkeit erfordert jedoch, dass der Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist, unabhängig von der Folge mit der man sich annähert.
|
||||
Daher ist $g(x)$ in diesen beiden Stellen unstetig. Aufgrund der Periodizität der Funktion ist $g(x)$ an allen Stellen $x \in \mathbb{Z}$ unstetig.\\
|
||||
\\
|
||||
Betrachtet man hingegen eine andere Stelle in der Periode, so stimmen Grenzwert und Funktionswert überein, unabhängig davon ob man sich von rechts oder links annähert. Daher ist $g(x)$ in allen Stellen der Periode mit $x \neq 0$ und $x \neq 1$ stetig. Aufgrund der Periodizität der Funktion ist $g(x)$ an allen Stellen $x \not\in \mathbb{Z}$ stetig.
|
||||
\section{} %2
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} a_{n} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\sqrt{3n^{2}-2n+5}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^{2}-n+1}+4n} \\
|
||||
\intertext{Ausklammern von $n^{2}$ unterhalb der Wurzeln}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\sqrt{n^{2} (3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}})} - \sqrt{n^{2} \cdot \frac{1}{n}}}{\sqrt{n^{2} (1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})} + 4n} \\
|
||||
\intertext{Wurzelgesetze anwenden}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - \sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{n}}}{\sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 4n} \\
|
||||
\intertext{Wurzel auflösen}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{n \cdot \sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - n \cdot \sqrt{\frac{1}{n}}}{n \cdot \sqrt{1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 4n} \\
|
||||
\intertext{$n$ ausklammern}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{n \cdot (\sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - \sqrt{\frac{1}{n}})}{n \cdot (\sqrt{1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 4)} \\
|
||||
\intertext{$n$ kürzen}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - \sqrt{\frac{1}{n}}}{\sqrt{1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 4} \\
|
||||
\intertext{lim mit Wurzelfunktion vertauschen, da Wurzelfunktion stetig}
|
||||
&=& \frac{\sqrt{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}})} - \sqrt{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}}(\frac{1}{n})}}{\sqrt{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})} + 4} \\
|
||||
\intertext{limes anwenden und Nullfolgen entfernen}
|
||||
&=& \frac{\sqrt{3} - \sqrt{0}}{\sqrt{1} + 4} \\
|
||||
\intertext{Zusammenfassen}
|
||||
&=& \frac{\sqrt{3}}{5}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
&& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{\sqrt{10n^{2}-n}-n}{2n+3} \right) \right) \\
|
||||
\intertext{Ausklammern von $n^{2}$ unter der Wurzel}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{\sqrt{n^{2} (10-\frac{1}{n})}-n}{2n+3} \right) \right) \\
|
||||
\intertext{Wurzelgesetze anwenden}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{\sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{10-\frac{1}{n}}-n}{2n+3} \right) \right) \\
|
||||
\intertext{Wurzel auflösen}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{n \cdot \sqrt{10-\frac{1}{n}}-n}{2n+3} \right) \right) \\
|
||||
\intertext{Ausklammern von $n$ in Zähler und Nenner}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{n \cdot (\sqrt{10 - \frac{1}{n}} - 1)}{n \cdot (2 + \frac{3}{n})} \right) \right) \\
|
||||
\intertext{Kürzen von $n$}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{\sqrt{10 - \frac{1}{n}} - 1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right) \\
|
||||
\intertext{cos mit lim vertauschen, da Cosinusfunktion stetig}
|
||||
&=& \text{cos} \left( \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{\sqrt{10 - \frac{1}{n}} - 1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right) \\
|
||||
\intertext{lim in Wurzel ziehen, da Wurzelfunktion stetig}
|
||||
&=& \text{cos} \left( \frac{\sqrt{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (10 - \frac{1}{n})} - \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (1) }{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (2 + \frac{3}{n})} \right) \\
|
||||
&=& \text{cos} \left( \frac{\sqrt{10} - 1}{2} \right)\\
|
||||
&\approx & 0.47
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %3
|
||||
$g \circ f$ kann auch so geschrieben werden $g(f(x))$. Vereinfacht gesagt, liefert $g$ den Funktionswert an der Stelle, die dem Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$ entspricht.\\
|
||||
Das berücksichtigend wissen wir, dass $f$ an der Stelle $x_{0}$ stetig ist. Der Funktionswert für diese Stelle ist $f(x_{0}) = y_{0}$. Wir wissen ferner, dass $g$ an der Stelle $y_{0}$ stetig ist.\\
|
||||
\\
|
||||
Da der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x_{0}$ der Stelle entspricht, an der $g$ bekanntermaßen stetig ist, werden hier zwei stetige Funktionen nacheinander ausgeführt. Und die Nacheinanderausführung von zwei stetigen Funktionen ist selbst wiederum stetig.\\
|
||||
Es ist somit ersichtlich, dass $g(f(x_{0}))$ den soeben beschrieben Fall darstellt und damit klarstellt, dass $g \circ f$ ebenfalls an der Stelle $x_{0}$ stetig ist.
|
||||
\section{} %4
|
||||
$g(x)$:\\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} g(x) &\Rightarrow & \underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} (x^{2} \cdot 1 ) \geq \underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} \left(x^{2} \cdot \text{sin} \left(\frac{1}{x}\right) \right) \geq \underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} (x^{2} \cdot -1) \\
|
||||
&\Rightarrow & 0 \geq \underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} \left(x^{2} \cdot \text{sin} \left(\frac{1}{x} \right) \right) \geq 0
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Daraus folgt, dass $g(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ stetig ist. \\
|
||||
|
||||
$h(x)$:\\
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} h(x_{n}) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \text{sin} \left( \frac{1}{x_{n}} \right) \\
|
||||
\intertext{$x_{n}$ sei $\frac{1}{2\pi n}, n \in \mathbb{N}$}
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \text{sin} \left(\frac{1}{\frac{1}{2 \pi n}}\right) \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \text{sin} (2 \pi n) \\
|
||||
&=& \text{sin} \left( \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (2 \pi n) \right) = 0
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
$h(x)$ ist stetig für alle $x = x_{n} = \frac{1}{2\pi n}$. Die Funktion ist nicht stetig für andere $x$.
|
||||
\end{document}
|
|
@ -0,0 +1,284 @@
|
|||
\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
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\usepackage[utf8]{inputenc}
|
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\usepackage[ngerman]{babel}
|
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\usepackage{amsmath}
|
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\usepackage{amsfonts}
|
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\usepackage{amssymb}
|
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|
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\usepackage{pgfplots}
|
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\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
|
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\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
|
||||
\usepackage{polynom}
|
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\polyset{style=C, div=:,vars=x}
|
||||
\pagenumbering{arabic}
|
||||
\def\thesection{\arabic{section})}
|
||||
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
|
||||
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
|
||||
\makeatletter
|
||||
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
|
||||
\hskip -\arraycolsep
|
||||
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
|
||||
\array{#1}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\author{Jim Martens (6420323)}
|
||||
\title{Hausaufgaben zum 2. Mai}
|
||||
\maketitle
|
||||
\section{} %1
|
||||
\subsection{} %a
|
||||
\subsubsection{} %i
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x) &=& 7x^{5} + 3x^{3} + x + 1 \\
|
||||
f'(x) &=& 35x^{4} + 9x^{2} + 1
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %ii
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x) &=& (3x^{7} - 4x^{3} + x^{2} - 3x + 1)^{8} \\
|
||||
f'(x) &=& 8 \cdot (3x^{7} - 4x^{3} + x^{2} - 3x + 1)^{7} \cdot (21x^{6} - 12x^{2} + 2x - 3)
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %iii
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x) &=& (3x^{4} + 2x) \cdot \sqrt{x^{2} + 1} \\
|
||||
f'(x) &=& (12x^{3} + 2) \cdot \sqrt{x^{2} + 1} + (3x^{4} + 2x) \cdot \frac{2x}{2 \cdot \sqrt{x^{2} + 1}}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %iv
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x) &=& (x^{3} + 1) \cdot \ln (x^{4} + 3x^{2} + 1) \\
|
||||
f'(x) &=& 3x \cdot \ln (x^{4} + 3x^{2} + 1) + (x^{3} + 1) \cdot \frac{4x^{3} + 6x}{x^{4} + 3x^{2} + 1}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %v
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x) &=& e^{x^{3} + x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x} \\
|
||||
f'(x) &=& e^{x^{3} + x^{2} + 1} \cdot (3x^{2} + 2x) \cdot \sqrt{x} + e^{x^{3} + x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %vi
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x) &=& \sqrt{x^{4} + 1} \cdot \ln x \\
|
||||
f'(x) &=& \frac{4x^{3}}{2 \cdot \sqrt{x^{4} + 1}} \cdot \ln x + \sqrt{x^{4} + 1} \cdot \frac{1}{x}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
q(x) &=& \frac{5x^{2} + 1}{x - 3} \\
|
||||
q'(x) &=& \frac{10x \cdot (x-3) - (5x^{2} + 1) \cdot 1}{(x-3)^{2}} \\
|
||||
\intertext{Ausmultiplizieren}
|
||||
&=& \frac{10x^{2} - 30x - (5x^{2} + 1)}{x^{2} - 6x + 9}\\
|
||||
\intertext{Zusammenfassen}
|
||||
&=& \frac{5x^{2} - 30x - 1}{x^{2} - 6x + 9}\\
|
||||
q''(x) &=& \frac{(10x-30) \cdot (x^{2} - 6x + 9) - (5x^{2} - 30x - 1) \cdot (2x - 6)}{(x^{2} - 6x + 9)^{2}} \\
|
||||
\intertext{Ausmultiplizieren}
|
||||
&=& \frac{10x^{3} - 60x^{2} + 90x - 30x^{2} + 180x - 270 - (10x^{3} - 30x^{2} - 60x^{2} + 180x -x^{2} - 9)}{x^{4} - 6x^{3} + 9x^{2} - 6x^{3} + 36x^{2} - 54x + 9x^{2} - 54x + 81} \\
|
||||
\intertext{Zusammenfassen}
|
||||
&=& \frac{10x^{3} - 90x^{2} + 270x - 270 -10x^{3} + 91x^{2} - 180x + 9}{x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81} \\
|
||||
\intertext{Zusammenfassen}
|
||||
&=& \frac{x^{2} + 90x - 261}{x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81} \\
|
||||
q'''(x) &=& \frac{(2x + 90) \cdot (x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81) - (x^{2} + 90x - 261) \cdot (4x^{3} - 36x^{2} + 108x - 108)}{(x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81)^{2}} \\
|
||||
\intertext{Ausmultiplizieren und Zusammenfassen}
|
||||
&=& \frac{-2x^{5} - 258x^{4} + 3204x^{3} - 14364x^{2} +28350x - 20898}{x^{8} - 24x^{7} + 252x^{6} -1404x^{5} +5670x^{4} - 13716x^{3} + 20412x^{2} -8748x - 2187}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\section{} %2
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x) &=& \left| 3 - \frac{1}{2}x \right| \\
|
||||
\intertext{Sei $x_{n} = 6 + \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}$}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{f(x_{n}) - f(x_{0})}{x_{n} - x_{0}} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - \frac{1}{2} \cdot (6 + \frac{1}{n}) \right| - \left| 3 - \frac{1}{2} \cdot 6 \right|}{6 + \frac{1}{n} - 6} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - 3 - \frac{1}{2n} \right| - \left| 3 - 3 \right|}{\frac{1}{n}} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left|-\frac{1}{2n} \right|}{\frac{1}{n}} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{n}} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{n}{2n} = \frac{1}{2} \\
|
||||
\intertext{Sei $x_{n} = 6 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}$}
|
||||
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{f(x_{n}) - f(x_{0})}{x_{n} - x_{0}} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - \frac{1}{2} \cdot (6 - \frac{1}{n}) \right| - \left| 3 - \frac{1}{2} \cdot 6 \right|}{6 - \frac{1}{n} - 6} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - 3 + \frac{1}{2n} \right| - \left| 3 - 3 \right|}{-\frac{1}{n}} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left|\frac{1}{2n} \right|}{-\frac{1}{n}} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\frac{1}{2n}}{-\frac{1}{n}} \\
|
||||
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} -\frac{n}{2n} = -\frac{1}{2}
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Der Grenzwert existiert an der Stelle $x _{0} = 6$ nicht. Daher ist die Funktion $f$ an der Stelle $x_{0} = 6$ nicht differenzierbar.
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||||
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||||
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
ymin=-10,ymax=10,
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||||
x=1em,
|
||||
y=1em,
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||||
axis x line=middle,
|
||||
axis y line=middle,
|
||||
axis line style=->,
|
||||
xlabel={$x$},
|
||||
ylabel={$y$},
|
||||
]
|
||||
\addplot[no marks, black, -] expression[domain=-10:6,samples=100]{3 - (1/2)*x} node[pos=0.65,anchor=north]{};
|
||||
\addplot[no marks, black, -] expression[domain=6:10,samples=100]{-1*(3 - (1/2)*x)} node[pos=0.65,anchor=north]{};
|
||||
|
||||
\draw (16em, 10em) circle (2pt);
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\section{} %3
|
||||
\subsection{} %a
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||||
\begin{alignat*}{2}
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||||
f(x) &=& (x^{4}+1)^{x+2} \\
|
||||
&=& e^{ln\left((x^{4}+1)^{x+2}\right)} \\
|
||||
&=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \\
|
||||
f'(x) &=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \cdot \left((x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)\right)' \\
|
||||
&=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \cdot \left((x+2)' \cdot \ln(x^{4}+1) + (x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)'\right) \\
|
||||
&=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \cdot \left(1 \cdot \ln(x^{4}+1) + (x+2) \cdot \frac{1}{x^{4}+1} \cdot (x^{4}+1)'\right) \\
|
||||
&=& (x^{4}+1)^{x+2} \cdot \left(\ln(x^{4}+1) + (x+2) \cdot \frac{4x^{3}}{x^{4}+1}\right)
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %b
|
||||
\begin{alignat*}{2}
|
||||
f(x) &=& x^{\frac{1}{2}} \\
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||||
&=& e^{\ln \left(x^{\frac{1}{2}} \right)} \\
|
||||
&=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \\
|
||||
f'(x) &=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \ln (x) \right)' \\
|
||||
&=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot (x)' \\
|
||||
&=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \cdot \frac{1}{2x} \\
|
||||
&=& x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2x} \\
|
||||
&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} \\
|
||||
&=& \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\
|
||||
g(x) &=& \left( \frac{1}{2}\right)^{x} \\
|
||||
&=& e^{\ln \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{x} \right)} \\
|
||||
&=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \\
|
||||
g'(x) &=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right) \right)' \\
|
||||
&=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \cdot (x)' \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right) \\
|
||||
&=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \cdot 1 \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right) \\
|
||||
&=& \left( \frac{1}{2}\right)^{x} \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsection{} %c
|
||||
\subsubsection{} %i
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||||
\begin{alignat*}{2}
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||||
g(x) &=& (x^{2}+1)^{4x+1} \\
|
||||
&=& e^{\ln \left( (x^{2}+1)^{4x+1}\right)} \\
|
||||
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \\
|
||||
g'(x) &=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left((4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1) \right)' \\
|
||||
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left((4x+1)' \cdot \ln (x^{2}+1) + (4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)' \right) \\
|
||||
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left(4 \cdot \ln (x^{2}+1) + (4x+1) \cdot \frac{1}{x^{2}+1} \cdot (x^{2}+1)' \right) \\
|
||||
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left(4 \cdot \ln (x^{2}+1) + (4x+1) \cdot \frac{2x}{x^{2}+1} \right) \\
|
||||
&=& (x^{2}+1)^{4x+1} \cdot \left(4 \cdot \ln (x^{2}+1) + \frac{8x^{2} + 2x}{x^{2}+1} \right)
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
\subsubsection{} %ii
|
||||
\begin{alignat*}{2}
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||||
h(x) = (x-3)^{3x^{4}+5} \\
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||||
&=& e^{\ln \left((x-3)^{3x^{4}+5} \right)} \\
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||||
&=& e^{(3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)} \\
|
||||
h'(x) &=& e^{(3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)} \cdot \left((3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3) \right)' \\
|
||||