MATH1-ALA: Abgaben hinzugefügt

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Jim Martens 2014-12-10 23:04:13 +01:00
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\def\thesection{\arabic{section})}
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
\hskip -\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
\array{#1}}
\makeatother
\begin{document}
\author{Jim Martens}
\title{Hausaufgaben zum 11. April}
\maketitle
\section{} %1
\begin{equation*}
\frac{3}{x+5} \geq 3
\end{equation*}
1. Fall $x > -5$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{3}{x+5} &\geq & 3 \\
\Leftrightarrow && 3 &\geq & 3(x+5) \\
\Leftrightarrow && 3 &\geq & 3x + 15 \\
\Leftrightarrow && -12 &\geq & 3x \\
\Leftrightarrow && -4 &\geq & x
\end{alignat*}
\\
2. Fall $x < -5$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{3}{x+5} &\geq & 3 \\
\Leftrightarrow && 3 &\leq & 3(x+5) \\
\Leftrightarrow && 3 &\leq & 3x + 15 \\
\Leftrightarrow && -12 &\leq & 3x \\
\Leftrightarrow && -4 &\leq & x
\end{alignat*}
\\
$L = [-4]$
\section{} %2
\begin{equation*}
|3x-4| \geq 2
\end{equation*}
1. Fall $x \geq \frac{4}{3}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& |3x-4| &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && 3x-4 &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && 3x &\geq & 6 \\
\Leftrightarrow && x &\geq & 2
\end{alignat*}
\\
2. Fall $x < \frac{4}{3}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& |3x-4| &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && -(3x-4) &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && -3x + 4 &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && -3x &\geq & -2 \\
\Leftrightarrow && x &\leq & \frac{2}{3}
\end{alignat*}
\\
$L = (-\infty,\frac{2}{3}] \cup [2,\infty)$
\section{} %3
\subsection{} %a
\begin{alignat*}{3}
&& |a_{n} - a| &=& |\frac{2n-1}{n+3} - 2| \\
\Leftrightarrow && &=& |\frac{2n-1}{n+3} - \frac{2(n+3)}{n+3}| \\
\Leftrightarrow && &=& |\frac{2n-1 - 2n - 6}{n+3}| \\
\Leftrightarrow && &=& |\frac{-7}{n+3}| \\
\Leftrightarrow && &=& \frac{7}{n+3}
\end{alignat*}
\subsection{} %b
Es sei $\varepsilon > 0$. Aufgrund von a) gilt:\\
\begin{alignat*}{3}
&& |a_{n} - a| &<& \varepsilon \label{eq:1}\tag{1}\\
\Leftrightarrow && |a_{n} - a| = |\frac{-7}{n+3}| = \frac{7}{n+3} &<& \varepsilon \\
\Leftrightarrow && -7 &<& \varepsilon (n+3) \\
\Leftrightarrow && \frac{-7}{\varepsilon} &<& n+3 \\
\Leftrightarrow && \frac{-7}{\varepsilon} - 3 &<& n
\end{alignat*}
\\
Wählt man $N > \frac{-7}{\varepsilon} - 3$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt. Das zeigt $(a_{n}) \rightarrow a = 2$.
\subsection{} %c
Es sei $\varepsilon = \frac{1}{10}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{-7}{\frac{1}{10}} - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -70 - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -73 &<& n
\end{alignat*}
Wählt man $N = -72$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt.\\
\\
Es sei $\varepsilon = \frac{1}{100}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{-7}{\frac{1}{100}} - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -700 - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -703 &<& n
\end{alignat*}
Wählt man $N = -702$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt.\\
\\
Es sei $\varepsilon = \frac{1}{100000}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{-7}{\frac{1}{100000}} - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -700000 - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -700003 &<& n
\end{alignat*}
Wählt man $N = -700002$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt.
\section{} %4
\textbf{Behauptung:} Die folgende Aussage gilt für alle $n \in \mathbb{N}$:\\
\begin{equation*}
0 \leq a_{n} < \frac{1}{2} \label{eq:2}\tag{2}
\end{equation*}\\
Die Folge ($a_{n}$) sei rekursiv definiert durch \\
\begin{alignat*}{2}
a_{1} &=& \frac{2}{5} \label{eq:3}\tag{3}\\
a_{n+1} &=& a_{n}^{2} + \frac{1}{4} \label{eq:4}\tag{4}
\end{alignat*}
\textbf{Beweis:} Durch vollständige Induktion.\\
Mit $A(n)$ sei die Aussage \eqref{eq:2} bezeichnet.\\\\
\underline{Induktionsanfang:} \\
$A(1)$ ist richtig, da die Aussage \eqref{eq:2} für \eqref{eq:3} wie folgt gilt:
\begin{alignat*}{2}
0 \leq \frac{2}{5} = \frac{4}{10} < \frac{1}{2} = \frac{5}{10}
\end{alignat*}\\
\underline{Induktionsannahme:}\\
Die Aussage \eqref{eq:2} gilt für ein beliebig fest gewähltes $n \in \mathbb{N}$.\\\\
\underline{Zu zeigen:}\\
$A(n+1)$ gilt, d. h. Folgendes gilt für die Aussage \eqref{eq:4}:\\
\begin{equation*}
0 \leq a_{n+1} < \frac{1}{2} \label{eq:5}\tag{5}
\end{equation*}
\underline{Induktionsschluss:}\\
Aus \eqref{eq:5} folgt für $0 \leq a_{n+1}$ Folgendes:\\
\begin{alignat*}{3}
&& 0 &\leq & a_{n}^{2} + \frac{1}{4}
\end{alignat*}
Diese Aussage gilt, da $\frac{1}{4}$ auf triviale Weise die Aussage erfüllt und $a_{n}^{2}$ immer positiv oder gleich Null sein muss, da eine beliebige Zahl zum Quadrat immer größer gleich Null ist.\\
Für $a_{n+1} < \frac{1}{2}$ ergibt sich Folgendes:\\
\begin{alignat*}{5}
&& a_{n}^{2} + \frac{1}{4} &<& \frac{1}{2} && \;&|& -\frac{1}{4} \\
\Leftrightarrow && a_{n}^{2} &<& \frac{1}{4} && && \\
\Leftrightarrow && a_{n} \cdot a_{n} &<& \frac{1}{4} && &&
\end{alignat*}
Aufgrund der Induktionsannahme gilt $a_{n} < \frac{1}{2}$. Daher ist das Quadrat von $a_{n}$ auf jeden Fall kleiner als $\frac{1}{4}$.\\
Nach dem Induktionsprinzip folgt aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschluss die Behauptung. \hfill $\Box$\\
Es ist zu zeigen, dass $a_{n+1} \geq a_{n}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt. Es ergibt sich Folgendes:\\
\begin{alignat*}{5}
&& a_{n+1} &\geq & a_{n} && && \\
\Leftrightarrow && a_{n}^{2} + \frac{1}{4} &\geq & a_{n} && \;&|& -a_{n} \\
\Leftrightarrow && a_{n}^{2} - a_{n} + \frac{1}{4} &\geq & 0 && \;&|& \text{Binomische Formel erzeugen} \\
\Leftrightarrow && (a_{n} - \frac{1}{2})^{2} &\geq & 0 && &&
\end{alignat*}
Diese Aussage gilt, da ein Quadrat einer beliebigen Zahl immer größer gleich Null ist.
\end{document}

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@ -0,0 +1,253 @@
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\pagenumbering{arabic}
\def\thesection{\arabic{section})}
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
\hskip -\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
\array{#1}}
\makeatother
\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 27. Juni}
\maketitle
\section{} %1
\subsubsection{} %i
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& 2x^{2}y^{2} - 3xy + 4x + 2 \\
f_{x} &=& 4xy^{2} - 3y + 4 \\
f_{y} &=& 4x^{2}y - 3x
\end{alignat*}
\subsubsection{} %ii
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& \cos(x^{2}y) \cdot e^{xy} \\
f_{x} &=& -\sin(x^{2}y) \cdot 2xy + \cos(x^{2}y) \cdot e^{xy} \cdot y \\
f_{y} &=& -\sin(x^{2}y) \cdot x^{2} + \cos(x^{2}y) \cdot e^{xy} \cdot x \\
\end{alignat*}
\subsubsection{} %iii
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& \frac{\sin x + \cos y}{x^{2} + y^{2}} \\
f_{x} &=& \frac{\cos x \cdot (x^{2} + y^{2}) - (\sin x + \cos y) \cdot 2x}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \\
f_{y} &=& \frac{-\sin y \cdot (x^{2} + y^{2}) - (\sin x + \cos y) \cdot 2y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %iv
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} = (1 - x^{2} - y^{2})^{\frac{1}{2}} \\
f_{x} &=& \frac{1}{2}(1 - x^{2} - y^{2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) \\
f_{y} &=& \frac{1}{2}(1 - x^{2} - y^{2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2y)
\end{alignat*}
\section{} %2
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& x^{2}y^{3} + y \cdot e^{x^{2}y} \\
f_{x} &=& 2xy^{3} + y \cdot e^{x^{2}y} \cdot 2xy\\
&=& 2xy^{3} + e^{x^{2}y} \cdot 2xy^{2} \\
f_{y} &=& 3x^{2}y^{2} + e^{x^{2}y} + y \cdot e^{x^{2}y} \cdot x^{2} \\
f_{xx} &=& 2y^{3} + e^{x^{2}y} \cdot 2xy \cdot 2xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2y^{2}\\
&=& 2y^{3} + e^{x^{2}y} \cdot 4x^{2}y^{3} + e^{x^{2}y} \cdot 2y^{2} \\
f_{yx} &=& 6xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot x^{2} \cdot 2xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 4xy\\
&=& 6xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2x^{3}y^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 4xy \\
f_{xy} &=& 6xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2xy + y \cdot (e^{x^{2}y} \cdot 2xy \cdot x^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2x)\\
&=& 6xy^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 2x^{3}y^{2} + e^{x^{2}y} \cdot 4xy \\
f_{yy} &=& 6x^{2}y + e^{x^{2}y} \cdot x^{2} + e^{x^{2}y} \cdot x^{2} + y \cdot e^{x^{2}y} \cdot x^{2} \cdot x^{2} \\
&=& 6x^{2}y + e^{x^{2}y} \cdot 2x^{2} + e^{x^{2}y} \cdot x^{4}y
\end{alignat*}
\section{} %3
\setcounter{subsubsection}{0}
\subsubsection{} %i
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& 2x^{2} + y^{2} - 2xy -2x -4y + 5 \\
I f_{x} &=& 4x - 2y - 2 = 0 \\
II f_{y} &=& 2y - 2x - 4 = 0 \\
f_{xx} &=& 4 \\
f_{xy} &=& - 2 \\
f_{yx} &=& - 2 \\
f_{yy} &=& 2 \\
I + II &=& 2x -6 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 2x = 6 \\
&\Leftrightarrow & x = 3 \\
\intertext{in II einsetzen}
&\Rightarrow & 2y - 2 \cdot 3 -4 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 2y - 6 - 4 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 2y - 10 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 2y = 10 \\
&\Leftrightarrow & y = 5 \\
\intertext{Einsetzen von beiden Werten in I}
&\Rightarrow & 4 \cdot 3 - 2 \cdot 5 - 2 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 12 - 10 - 2 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 0 = 0 \\
\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an (3,5). Aufstellen der Hesse-Matrix}
H &=& \begin{pmatrix} 4 & -2 \\
-2 & 2 \end{pmatrix} \\
\bigtriangleup_{1} &=& 4 > 0 \\
\bigtriangleup_{2} &=& 4 > 0 \\
\intertext{Die Hesse-Matrix ist positiv definit und damit befindet sich an der kritischen Stelle ein lokales Minimum.}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %ii
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& x^{2} + 2y^{2} - 3xy -x -y +7 \\
I f_{x} &=& 2x - 3y - 1 = 0 \\
II f_{y} &=& 4y - 3x - 1 = 0 \\
f_{xx} &=& 2 \\
f_{xy} &=& -3 \\
f_{yx} &=& -3 \\
f_{yy} &=& 4 \\
II + I &=& -x + y -2 = 0 \\
&\Leftrightarrow & y = x + 2 \\
\intertext{Einsetzen in I}
&\Rightarrow & 2x - 3(x+2) - 1 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 2x - 3x - 6 - 1 = 0 \\
&\Leftrightarrow & -x - 7 = 0 \\
&\Leftrightarrow & x = -7 \\
\intertext{Einsetzen in I}
&\Rightarrow & 2 \cdot (-7) - 3y - 1 = 0 \\
&\Leftrightarrow & -14 - 3y - 1 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 3y = -15 \\
&\Leftrightarrow & y = -5 \\
\intertext{Einsetzen beider Werte in II}
&\Rightarrow & 4 \cdot (-5) - 3 \cdot (-7) - 1 = 0 \\
&\Leftrightarrow & -20 + 21 - 1 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 0 = 0 \\
\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an (-7, -5). Aufstellen der Hesse-Matrix}
H &=& \begin{pmatrix} 2 & -3 \\
-3 & 4 \end{pmatrix} \\
\bigtriangleup_{1} &=& 2 > 0 \\
\bigtriangleup_{2} &=& -1 < 0 \\
\intertext{Die Hesse-Matrix ist damit weder positiv noch negativ definit und daher infinit. Daher liegt an der kritischen Stelle kein lokales Extremum vor.}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %iii
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& 2x^{3} + y^{3} - 12x -27y +2 \\
I f_{x} &=& 6x^{2} -12 = 0\\
II f_{y} &=& 3y^{2} - 27 = 0\\
f_{xx} &=& 12x \\
f_{xy} &=& 0 \\
f_{yx} &=& 0 \\
f_{yy} &=& 6y \\
I &\Rightarrow & 6x^{2} - 12 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 6x^{2} = 12 \\
&\Leftrightarrow & x^{2} = 2 \\
&\Rightarrow & x_{1} = \sqrt{2} \\
&\Rightarrow & x_{2} = -\sqrt{2} \\
I + II &=& 6x^{2} + 3y^{2} - 39 = 0 \\
\intertext{Einsetzen von den x-Werten und berechnen von y}
x_{1} &\Rightarrow & 6 \cdot 2 + 3y^{2} -39 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 3y^{2} - 27 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 3y^{2} = 27 \\
&\Leftrightarrow & y^{2} = 9 \\
&\Leftrightarrow & y \pm 3 \\
x_{2} &\Rightarrow & 6 \cdot 2 + 3y^{2} - 39 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 3y^{2} = 27 \\
&\Leftrightarrow & y \pm 3 \\
\intertext{Es gibt also vier kritische Stellen: $(\sqrt{2}, 3), (\sqrt{2}, -3), (-\sqrt{2}, 3)$ und $(-\sqrt{2},-3)$. Aufstellen der Hesse-Matrix}
H &=& \begin{pmatrix}12x & 0 \\
0 & 6y\end{pmatrix} \\
\intertext{Berechnen der Definitheit für erste kritische Stelle:}
\bigtriangleup_{1} &=& 12 \cdot \sqrt{2} > 0 \\
\bigtriangleup_{2} &=& 12 \cdot \sqrt{2} \cdot 18 \\
&=& 216 \cdot \sqrt{2} > 0 \\
\intertext{Die Hesse-Matrix ist für die erste kritische Stelle positiv definit. An der ersten kritischen Stelle liegt also ein lokales Minimum vor. Berechnen der Definitheit für die zweite kritische Stelle:}
\bigtriangleup_{1} &=& 12 \cdot \sqrt{2} > 0 \\
\bigtriangleup_{2} &=& 12 \cdot \sqrt{2} \cdot (-18) \\
&=& -216 \cdot \sqrt{2} < 0 \\
\intertext{Die Hesse-Matrix ist für die zweite kritische Stelle infinit. An der zweiten kritischen Stelle liegt also kein lokales Extremum vor. Berechnen der Definitheit für die dritte kritische Stelle:}
\bigtriangleup_{1} &=& -12 \cdot \sqrt{2} < 0 \\
\bigtriangleup_{2} &=& -12 \cdot \sqrt{2} \cdot 18 \\
&=& -216 \cdot \sqrt{2} < 0 \\
\intertext{Die Hesse-Matrix ist für die dritte kritische Stelle infinit. An der dritten kritischen Stelle liegt also kein lokales Extremum vor. Berechnen der Definitheit für die vierte kritische Stelle:}
\bigtriangleup_{1} &=& -12 \cdot \sqrt{2} < 0 \\
\bigtriangleup_{2} &=& -12 \cdot \sqrt{2} \cdot (-18) \\
&=& 216 \cdot \sqrt{2} > 0 \\
\intertext{Die Hesse-Matrix ist für die vierte kritische Stelle negativ definit. An der vierten kritischen Stelle liegt also ein lokales Maximum vor.}
\end{alignat*}
\section{} %4
\subsection{} %a
\begin{alignat*}{2}
C(x,y) &=& 0.01x^{2} + 0.02xy + 0.16y^{2} + 5x + 6y + 120 \\
&=& \frac{1}{100}x^{2} + \frac{1}{50}xy + \frac{4}{25}y^{2} + 5x + 6y + 120 \\
\intertext{Aufstellen der Gewinnfunktion}
G(x,y) &=& 12x + 28y - C(x,y) \\
&=& 12x + 28y - \frac{1}{100}x^{2} - \frac{1}{50}xy - \frac{4}{25}y^{2} - 5x - 6y - 120 \\
&=& -\frac{1}{100}x^{2} - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{1}{50}xy + 7x + 22y - 120 \\
I\, G_{x} &=& -\frac{1}{50}x - \frac{1}{50}y + 7 = 0 \\
II\, G_{y} &=& -\frac{8}{25}y - \frac{1}{50}x + 22 = 0 \\
G_{xx} &=& -\frac{1}{50} \\
G_{xy} &=& 0 \\
G_{yx} &=& 0 \\
G_{yy} &=& -\frac{8}{25} \\
I &\Rightarrow & -\frac{1}{50}x - \frac{1}{50}y + 7 = 0 \\
&\Leftrightarrow & \frac{1}{50}x = 7 - \frac{1}{50}y \\
&\Leftrightarrow & x = 350 - y \\
\intertext{Einsetzen in II}
II &\Rightarrow & -\frac{8}{25}y - \frac{1}{50} (350-y) + 22 = 0 \\
&\Leftrightarrow & \frac{8}{25}y = 22 - \frac{1}{50} (350 - y) \\
&\Leftrightarrow & \frac{8}{25}y = 22 - 7 + \frac{1}{50}y \\
&\Leftrightarrow & \frac{15}{50}y = 15 \\
&\Leftrightarrow & \frac{3}{10}y = 15 \\
&\Leftrightarrow & y = 50 \\
\intertext{Einsetzen in I}
&\Rightarrow & x = 350 - 50 = 300
\intertext{Die einige kritische Stelle von G(x,y) befindet sich an $\left(300, 50\right)$. Aufstellen der Hesse-Matrix:}
H &=& \begin{pmatrix}-\frac{1}{50} & 0 \\
0 & -\frac{8}{25} \end{pmatrix} \\
\bigtriangleup_{1} &=& -\frac{1}{50} < 0 \\
\bigtriangleup_{2} &=& \frac{4}{625} > 0 \\
\intertext{Die Hesse-Matrix ist an der kritischen Stelle negativ definit. An der kritischen Stelle befindet sich daher ein Maximum. Der höchste Gewinn ist demnach mit 300 Einheiten des Gutes A und 50 Einheiten des Gutes B zu erreichen.}
\end{alignat*}
\subsection{} %b
\begin{alignat*}{2}
G(x,y) &=& -\frac{1}{100}x^{2} - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{1}{50}xy + 7x + 22y - 120 \\
n(x,y) &=& x + 2y = 320 \\
&\Leftrightarrow & x= 320 - 2y \\
\intertext{Einsetzen in G(x,y)}
G(y) &=& -\frac{1}{100} \cdot (320-2y)^{2} - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{1}{50} \cdot (320 - 2y)y + 7(320-2y) + 22y - 120 \\
&=& -\frac{1}{100} \cdot (102400 -1280y + 4y^{2}) - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{1}{50} \cdot (320y -2y^{2}) + 2240 - 14y + 22y - 120 \\
&=& -1024 + \frac{128}{10}y - \frac{1}{25}y^{2} - \frac{4}{25}y^{2} - \frac{32}{5}y + \frac{1}{25}y^{2} + 8y + 2120 \\
&=& \frac{64}{5}y - \frac{5}{25}y^{2} - \frac{32}{5} + \frac{1}{25}y^{2} + 1096 + 8y \\
&=& -\frac{4}{25}y^{2} + \frac{72}{5}y + 1096 \\
G'(y) &=& -\frac{8}{25}y + \frac{72}{5} = 0 \\
&\Leftrightarrow & \frac{8}{25}y = \frac{72}{5} \\
&\Leftrightarrow & y = 45 \\
G''(y) &=& -\frac{8}{25} < 0 \\
\intertext{Unter der Nebenbedingung n(x,y) gibt es ein lokales Maximum für 45 Einheiten von Gut B.
Einsetzen von y in die Nebenbedingung:}
n(x) &=& x + 2 \cdot 45 = 320 \\
&\Leftrightarrow & x + 90 = 320 \\
&\Leftrightarrow & x = 230
\intertext{Die optimalen Mengen des Outputs liegen bei 230 Einheiten von Gut A und 45 Einheiten von Gut B.}
\end{alignat*}
\subsection{} %c
Berechnen des maximalen Gewinns für Fall a)\\
\begin{alignat*}{2}
G(300,50) &=& -\frac{1}{100} \cdot 300^{2} - \frac{4}{25} \cdot 50^{2} - \frac{1}{50} \cdot 300 \cdot 50 + 7 \cdot 300 + 22 \cdot 50 - 120 \\
&=& -900 - \frac{4}{25} \cdot 2500 - 300 + 2100 + 1100 - 120 \\
&=& 1880 - 400 \\
&=& 1480 \\
\intertext{Der maximale Gewinn im Fall a) beträgt 1480 Geldeinheiten.}
\end{alignat*}\\
Berechnen des maximalen Gewinns für Fall b)\\
\begin{alignat*}{2}
G(230,45) &=& -\frac{1}{100} \cdot 230^{2} - \frac{4}{25} \cdot 45^{2} - \frac{1}{50} \cdot 230 \cdot 45 + 7 \cdot 230 + 22 \cdot 45 - 120 \\
&=& -529 - \frac{4}{25} \cdot 2025 - \frac{1}{50} \cdot 10350 + 1610 + 990 - 120 \\
&=& 1951 - 324 - 207 \\
&=& 1420
\intertext{Der maximale Gewinn im Fall b) beträgt 1420 Geldeinheiten.}
\end{alignat*}
\end{document}

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@ -0,0 +1,222 @@
\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{polynom}
\polyset{style=C, div=:,vars=x}
\pgfplotsset{compat=1.8}
\pagenumbering{arabic}
\def\thesection{\arabic{section})}
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
\hskip -\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
\array{#1}}
\makeatother
\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 4. Juli}
\maketitle
\section{} %1
\subsection{} %a
\begin{alignat*}{2}
f(x,y,z) &=& 2x^{2} + y^{2} + 4z^{2} - 2yz - 2x - 6y + 8 \\
I f_{x} &=& 4x - 2 = 0\\
II f_{y} &=& 2y - 7z - 6 = 0\\
III f_{z} &=& 8z - 2y = 0 \\
I &\Rightarrow & 4x - 2 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 4x = 2 \\
&\Leftrightarrow & x = \frac{1}{2} \\
III &\Rightarrow & 8z - 2y = 0 \\
&\Leftrightarrow & 8z = 2y \\
&\Leftrightarrow & 4z = y \\
II &\Rightarrow & 2 \cdot 4z - 7z - 6 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 8z - 7z = 6 \\
&\Leftrightarrow & z = 6 \\
III &\Rightarrow & 4 \cdot 6 = y \\
&\Leftrightarrow & 24 = y \\
\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an ($\frac{1}{2}, 24, 6$).}
f_{xx} &=& 4 \\
f_{yx} &=& 0 \\
f_{zx} &=& 0 \\
f_{xy} &=& 0 \\
f_{yy} &=& 2 \\
f_{zy} &=& -7 \\
f_{xz} &=& 0 \\
f_{yz} &=& -2 \\
f_{zz} &=& 8 \\
\intertext{Aufstellen der Hesse-Matrix}
H &=& \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -7 \\
0 & -2 & 8\end{pmatrix} \\
\bigtriangleup_{1} &=& 4 > 0\\
\bigtriangleup_{2} &=& 8 > 0\\
\bigtriangleup_{3} &=& 64 - 56 = 8 > 0\\
\intertext{Die Hesse-Matrix ist positiv definit. Daher liegt an der kritischen Stelle ein Minimum vor.}
\end{alignat*}
\subsection{} %b
\begin{alignat*}{2}
grad\,f(1,1,1) &=& (4 - 2, 2 - 7 - 6, 8 - 2) \\
&=& (2, -11, 6) \\
||grad\,f(1,1,1)|| &=& \sqrt{2^{2} + 11^{2} + 6^{2}} \\
&=& \sqrt{4 + 121 + 36} \\
&=& \sqrt{161} \\
\intertext{In Richtung von (2, -11, 6) steigt die Temperatur von (1,1,1) aus am stärksten an. In Richtung (-2, 11, -6) sinkt die Temperatur am stärksten. Die Größe des stärksten Anstiegs beträgt $\sqrt{161}$.}
\end{alignat*}
\section{} %2
\subsection{} %a
\begin{alignat*}{2}
A &=& \begin{pmatrix}-i & -1 \\
3 & i \end{pmatrix} \\
B &=& \begin{pmatrix} i \\
1 + i\end{pmatrix} \\
C &=& \begin{pmatrix}-i & i \end{pmatrix} \\
AB &=& \begin{pmatrix}-i \cdot i + (1+i)\cdot (-1) \\
3i + i(1+i) \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}-i^{2} - 1 - i \\
3i + i + i^{2} \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}- 1 - i \\
4i - 1 \end{pmatrix} \\
\intertext{AC existiert nicht, da A mehr Spalten hat, als C Zeilen hat.}
BC &=& \begin{pmatrix}i \cdot (-i) & i \cdot i \\
(1+i) \cdot (-i) & (1+i)i \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}-i^{2} & i^{2} \\
-i - i^{2} & i + i^{2} \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}1 & -1 \\
-i +1 & i -1 \end{pmatrix} \\
CB &=& \begin{pmatrix}-i \cdot i + i(1+i) \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}-i^{2} + i + i^{2} \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}1 + i -1 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}i \end{pmatrix}
\end{alignat*}
\subsection{} %b
\begin{alignat*}{2}
\overline{z} &=& \frac{3 + 2i}{4 - 3i} \\
&=& \frac{(3 + 2i)(4+3i)}{(4 - 3i)(4+3i)} \\
&=& \frac{12 + 9i + 8i + 6i^{2}}{16 + 12i - 12i - 9i^{2}} \\
&=& \frac{12 - 6 + 17i}{16 + 9} \\
&=& \frac{6 + 17i}{25} \\
&=& \frac{6}{25} + \frac{17}{25}i \\
z &=& \frac{6}{25} - \frac{17}{25}i \\
a &=& \frac{6}{25} \\
b &=& \frac{17}{25}
\end{alignat*}
\subsection{} %c
\begin{alignat*}{2}
z_{1} &=& -1 - i = (-1, -1) \\
z_{2} &=& \sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot i \cdot \sin \frac{\pi}{4} \\
&=& \sqrt{2} \cdot \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) + \sqrt{2} \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) \\
&=& 1 + i = (1, 1) \\
z_{3} &=& (-1 -i)(1+ i) \\
&=& -1 - i - i - i^{2} \\
&=& -1 + 1 - 2i = 0 - 2i = (0, -2) \\
z_{4} &=& -1 + i = (-1, 1)
\end{alignat*}
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
\begin{axis}[
ymin=-5,ymax=5,
x=1cm,
y=1cm,
axis x line=middle,
axis y line=middle,
axis line style=->,
xlabel={$\Re$},
ylabel={$\Im$},
xmin=-5,xmax=5
]
\node at (axis cs: -1,-1) {$z_{1}$};
\node at (axis cs: 1,1) {$z_{2}$};
\node at (axis cs: 0,-2) {$z_{3}$};
\node at (axis cs: -1,1) {$z_{4}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\subsection{} %d
\subsubsection{} %i
In dieser Teilmenge sind alle komplexen Zahlen enthalten, die sich auf der Geraden befinden, die durch die Punkte (1,1) und (2,0) geht.
\subsubsection{} %ii
In der Teilmenge sind alle komplexen Zahlen enthalten, die sich auf der Kreislinie eines Kreises mit dem Radius 1 um den Punkt (1,1) befinden.
\section{} %3
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - xy - \frac{25}{10}y^{2} + 48x + 235y - 88 \\
g(x,y) &=& \frac{1}{5}x + y = 40
\end{alignat*}
\subsection{} %a
\begin{alignat*}{2}
g_{x} &=& \frac{1}{5} \\
g_{y} &=& 1 \\
\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial g}{\partial y} (x,y)\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}\frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix} \\
\intertext{Der Rang dieser Matrix ist für alle $x,y$ gleich 2. Damit ist die Regularitätsbedingung erfüllt.}
L(x,y,\lambda) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - xy - \frac{25}{10}y^{2} + 48x + 235y - 88 + \lambda(\frac{1}{5}x + y - 40) \\
I L_{x} &=& - \frac{2}{5}x - y + 48 + \lambda \cdot \frac{1}{5} = 0 \\
II L_{y} &=& - x - 5y + 235 + \lambda = 0 \\
III L_{\lambda} &=& \frac{1}{5}x + y - 40 = 0 \\
II &\Rightarrow & \lambda = x + 5y - 235 \\
I &\Rightarrow & - \frac{2}{5}x - y + 48 + (x + 5y - 235) \cdot \frac{1}{5} = 0\\
&\Leftrightarrow & - \frac{2}{5}x - y + 48 + \frac{1}{5}x + y - 47 = 0 \\
\intertext{Beachten der dritten Gleichung}
&\Leftrightarrow & - \frac{1}{5}x - \frac{1}{5}x - y + 48 - 7 = 0\\
&\Leftrightarrow & - \frac{1}{5}x + 1=\frac{1}{5}x + y - 40 \\
\intertext{Beachten der dritten Gleichung}
&\Leftrightarrow & - \frac{1}{5}x + 1 = 0 \\
&\Leftrightarrow & \frac{1}{5}x = 1 \\
&\Leftrightarrow & x = 5 \\
\intertext{Einsetzen in I}
&\Rightarrow & - \frac{1}{5} \cdot 5 - \frac{1}{5} \cdot 5 - y + 48 - 7 = 0 \\
&\Leftrightarrow & - 1 - 1 - y + 41 = 0 \\
&\Leftrightarrow & -y + 39 = 0 \\
&\Leftrightarrow & y = 39 \\
\intertext{Einsetzen in III}
\lambda &=& \frac{1}{5} \cdot 5 + 39 - 40 \\
&=& 1 + 39 - 40 \\
&=& 0
\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an (5, 39).}
\end{alignat*}
\subsection{} %b
\begin{alignat*}{2}
L_{xx} &=& - \frac{2}{5} \\
L_{yx} &=& - 1 \\
L_{xy} &=& - 1 \\
L_{yy} &=& - 5 \\
\overline{H} &=& \begin{pmatrix}0 & \frac{1}{5} & 1 \\
\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & -1\\
1 & -1 & -5 \end{pmatrix} \\
det \, \overline{H} &=& -\frac{1}{5} - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \\
&=& \frac{1}{5} > 0 \\
\intertext{An der kritischen Stelle liegt ein Maximum vor.}
\end{alignat*}
\section{} %4
\begin{alignat*}{2}
f(x,y) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - xy - \frac{25}{10}y^{2} + 48x + 235y - 88 \\
g(x,y) &=& \frac{1}{5}x + y -40 = 0 \\
&\Leftrightarrow & y = -\frac{1}{5}x + 40 \\
\intertext{Einsetzen in f(x,y)}
f(x) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - x \cdot (-\frac{1}{5}x + 40) - \frac{25}{10} \cdot (-\frac{1}{5}x + 40)^{2} + 48x + 235 \cdot (-\frac{1}{5}x + 40) - 88 \\
&=& -\frac{1}{5}x^{2} + \frac{1}{5}x^{2} - 40x - \frac{25}{10} \cdot (\frac{1}{25}x^{2} -16x + 1600) + 48x -47x + 9400 - 88 \\
&=& - 40x - \frac{1}{10}x^{2} + 40x - 4000 + 48x -47x + 9400 - 88 \\
&=& - \frac{1}{10}x^{2} + x + 5312 \\
f'(x) &=& -\frac{1}{5}x + 1 = 0 \\
&\Leftrightarrow & \frac{1}{5}x = 1 \\
&\Leftrightarrow & x = 5 \\
f''(x) &=& -\frac{1}{5} < 0 \\
\intertext{Unter der Nebenbedingung g(x,y) gibt es ein lokales Maximum für x = 5.
Einsetzen von x in die Nebenbedingung:}
g(y) &=& \frac{1}{5} \cdot 5 + y -40 = 0 \\
&\Leftrightarrow & 1 + y - 40 = 0 \\
&\Leftrightarrow & y - 39 = 0 \\
&\Leftrightarrow & y = 39 \\
\intertext{An der Stelle (5, 39) ist der Gewinn maximal.}
\end{alignat*}
\end{document}

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@ -0,0 +1,102 @@
\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{pgfplots}
\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
\usepackage{tikz}
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\usepackage{polynom}
\polyset{style=C, div=:,vars=x}
\pgfplotsset{compat=1.8}
\pagenumbering{arabic}
\def\thesection{\arabic{section})}
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
\hskip -\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
\array{#1}}
\makeatother
\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 11. Juli}
\maketitle
\section{} %1
\begin{alignat*}{2}
\iint\limits_{I} f(x,y)\, d(x,y) &=& \iint\limits_{I} (2x^{2}y)\, d(x,y) \\
\intertext{Version 1}
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( \int\limits_{-1}^{3} (2x^{2}y) \, dy \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \int\limits_{-1}^{3} y \, dy \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{-1}^{3} \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \left[\frac{9}{2} - \frac{1}{2}\right] \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \cdot 4 \right)\, dx \\
&=& 8 \int\limits_{1}^{2} x^{2}\, dx \\
&=& 8 \left[\frac{1}{3}x^{3} \right]_{1}^{2} \\
&=& 8 \left[\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right] \\
&=& 8 \cdot \frac{7}{3} = \frac{56}{3} \\
\intertext{Version 2}
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( \int\limits_{1}^{2} (2x^{2}y) \, dx \right) \, dy \\
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y\int\limits_{1}^{2} x^{2} \, dx \right) \, dy \\
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y\left[\frac{1}{3}x^{3} \right]_{1}^{2} \right) \, dy \\
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y\left[\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right] \right) \, dy \\
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y \cdot \frac{7}{3} \right) \, dy \\
&=& \frac{14}{3}\int\limits_{-1}^{3} y \, dy \\
&=& \frac{14}{3}\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{-1}^{3} \\
&=& \frac{14}{3}\left[\frac{9}{2} - \frac{1}{2}\right] \\
&=& \frac{14}{3} \cdot 4 = \frac{56}{3}
\end{alignat*}
\section{} %2
\subsubsection{} %i
\begin{alignat*}{2}
\iint\limits_{G} f(x,y) \, d(x,y) &=& \iint\limits_{G} (xy^{2}) \, d(x,y) \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(\int\limits_{0}^{3x} xy^{2}\, dy \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x\int\limits_{0}^{3x} y^{2}\, dy \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{1}{3}y^{3} \right]_{0}^{3x} \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{1}{3} \cdot 27x^{3} \right] \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \cdot 9x^{3} \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(9x^{4} \right) \, dx \\
&=& 9\int\limits_{0}^{1} x^{4} \, dx \\
&=& 9\left[\frac{1}{5}x^{5} \right]_{0}^{1} \\
&=& 9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %ii
\begin{alignat*}{2}
\iint\limits_{G} f(x,y) \, d(x,y) &=& \iint\limits_{G} (xy^{2}) \, d(x,y) \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(\int\limits_{3x}^{3} xy^{2} \, dy \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x\int\limits_{3x}^{3} y^{2} \, dy \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{1}{3}y^{3} \right]_{3x}^{3} \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{27}{3} - \frac{27}{3}x^{3} \right] \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(9x - 9x^{4} \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(9(x - x^{4}) \right)\, dx \\
&=& 9\int\limits_{0}^{1} x - x^{4}\, dx \\
&=& 9\int\limits_{0}^{1} x \, dx - 9\int\limits_{0}^{1} x^{4}\, dx \\
&=& 9 \left[\frac{1}{2}x^{2} \right]_{0}^{1} - 9\left[\frac{1}{5}x^{5} \right]_{0}^{1} \\
&=& 9 \cdot \frac{1}{2} - 9 \cdot \frac{1}{5} \\
&=& \frac{9}{2} - \frac{9}{5} \\
&=& \frac{45}{10} - \frac{18}{10} = \frac{27}{10}
\end{alignat*}
\section{} %3
\subsection{} %a
Klarerweise gilt $f_{4}(n) = O(f_{5}(n))$. Ebenfalls gilt $f_{3}(n) = O(f_{1}(n))$. Außerdem ist klar, dass $f_{1}(n) = O(f_{4}(n))$ gilt.
Damit ergibt sich die Reihenfolge $f_{3}, f_{1}, f_{4}, f_{5}$.
Es müssen noch $f_{2}$ und $f_{6}$ eingeordnet werden. $f_{2}(n) = O(f_{1}(n))$ gilt ebenso wie $f_{3}(n) = O(f_{2}(n))$. $f_{2}$ kann demnach zwischen $f_{3}$ und $f_{1}$ eingeordnet werden, womit sich die Reihenfolge $f_{3}, f_{2}, f_{1}, f_{4}, f_{5}$ ergibt.
Abschließend muss noch $f_{6}(n)$ eingeordnet werden. $n^{2}$ kommt als Faktor auch in $f_{1}$ vor. Es bleibt daher die Frage, ob $\sqrt{n}$ schneller wächst als $\log_{2}(n)$. Dem ist so, da Wurzelfunktionen allgemein schneller wachsen als Logarithmusfunktionen. Daher gilt $f_{6}(n) = O(f_{1}(n))$. Gleichzeitig gilt, dass $\sqrt{2n}$ langsamer wächst als $f_{6}(n)$, womit auch $f_{2}(n) = O(f_{6}(n))$ gilt. Die fertige Reihenfolge ist daher $f_{3}, f_{2}, f_{6}, f_{1}, f_{4}, f_{5}$.
\subsection{} %b
\section{} %4
\subsection{} %a
\subsection{} %b
\begin{alignat*}{2}
\intertext{Es gilt $n = \lfloor x \rfloor, x \geq 1$ für beide Funktionen:}
f(n) &=& n \\
g(n) &=& n^{1+ \lceil \sin (x) \rceil}
\end{alignat*}
\end{document}

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@ -0,0 +1,216 @@
\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{paralist}
\usepackage{gauss}
\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
\usepackage{polynom}
\polyset{style=C, div=:,vars=x}
\pagenumbering{arabic}
\def\thesection{\arabic{section})}
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
\hskip -\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
\array{#1}}
\makeatother
\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 18. April}
\maketitle
\section{} %1
\subsubsection{} %(i)
\begin{alignat*}{3}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{-3n^{4}+2n^{2}+n+1}{-7n^{4}+25} \right) &\Rightarrow & \frac{-3n^{4}+2n^{2}+n+1}{-7n^{4}+25} && \\
\intertext{Ausklammern von $n^{4}$}
&\Leftrightarrow & \frac{-3 + \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}}{-7 + \frac{25}{n^{4}}} &\rightarrow & \frac{3}{7}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %(ii)
\begin{alignat*}{3}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{-3n^{4}+2n^{2}+n+1}{-7n^{5}+25} \right) &\Rightarrow & \frac{-3n^{4}+2n^{2}+n+1}{-7n^{5}+25} && \\
\intertext{Ausklammern von $n^{4}$ im Zähler und $n^{5}$ im Nenner}
&\Leftrightarrow & \frac{1}{n} \cdot \frac{-3 + \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}}{-7 + \frac{25}{n^{5}}} &\rightarrow & 0
\end{alignat*}
\subsubsection{} %(iii)
\begin{alignat*}{3}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{-3n^{5}+2n^{2}+n+1}{-7n^{4}+25} \right) &\Rightarrow & \frac{-3n^{5}+2n^{2}+n+1}{-7n^{4}+25} && \\
\intertext{Ausklammern von $n^{5}$ im Zähler und $n^{4}$ im Nenner}
&\Leftrightarrow & n \cdot \frac{-3 + \frac{2}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}{-7 + \frac{25}{n^{4}}} &\rightarrow & \infty
\end{alignat*}
\subsubsection{} %(iv)
\begin{alignat*}{3}
\hspace{-2.5cm}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{6n^{3}+2n-3}{9n^{2}+2} - \frac{2n^{3}+5n^{2}+7}{3n^{2}+3} \right) &\Rightarrow & \frac{6n^{3}+2n-3}{9n^{2}+2} - \frac{2n^{3}+5n^{2}+7}{3n^{2}+3} && \\
\intertext{Auf gleichen Nenner bringen}
\hspace{-2.5cm}
&\Leftrightarrow & \frac{(6n^{3}+2n-3)(3n^{2}+3) - (2n^{3}+5n^{2}+7)(9n^{2}+2)}{(9n^{2}+2)(3n^{2}+3)} && \\
\intertext{Klammern auflösen und zusammenfassen}
\hspace{-2.5cm}
&\Leftrightarrow & \frac{-45n^{4} + 20n^{3}-82n^{2}+6n-23}{27n^{4}+33n^{2}+6} && \\
\intertext{Ausklammern von $n^{4}$}
\hspace{-2.5cm}
&\Leftrightarrow & \frac{-45 + \frac{20}{n}-\frac{82}{n^{2}}+\frac{6}{n^{3}}-\frac{23}{n^{4}}}{27+\frac{33}{n^{2}}+\frac{6}{n^{4}}} &\rightarrow & \frac{-45}{27} = \frac{-5}{3}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %(v)
\begin{alignat*}{3}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{\sqrt{9n^{4}+n^{2}+1}-2n^{2}+3}{\sqrt{2n^{2}+1} \cdot \sqrt{2n^{2}+n+1}} \right) &\Rightarrow & \frac{\sqrt{9n^{4}+n^{2}+1}-2n^{2}+3}{\sqrt{2n^{2}+1} \cdot \sqrt{2n^{2}+n+1}} && \\
\intertext{Anwendung der Wurzelgesetze}
&\Leftrightarrow &\frac{\sqrt{9n^{4}+n^{2}+1}-2n^{2}+3}{\sqrt{(2n^{2}+1) \cdot (2n^{2}+n+1)}} && \\
\intertext{Zusammenfassen}
&\Leftrightarrow &\frac{\sqrt{9n^{4}+n^{2}+1}-2n^{2}+3}{\sqrt{4n^{4}+2n^{3}+4n^{2} + 1}} && \\
\intertext{$n^{2}$ ausklammern}
&\Leftrightarrow &\frac{\sqrt{9+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}}-2+\frac{3}{n^{2}}}{\sqrt{4+\frac{2}{n}+\frac{4}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}} &\rightarrow & \frac{7}{2}
\end{alignat*}
\section{} %2
\subsection{} %a
\subsubsection{} %i
\begin{alignat*}{3}
a_{0} &=& 1 &&&\\
a_{1} &=& \frac{2}{5} &&& \\
a_{2} &=& \left(\frac{2}{5}\right)^{2} = \frac{4}{25} &&& \\
a_{3} &=& \left(\frac{2}{5}\right)^{3} = \frac{8}{125} &&& \\
a_{4} &=& \left(\frac{2}{5}\right)^{4} = \frac{16}{625} &&& \\
s_{0} &=& a_{0} &=&& 1 \\
s_{1} &=& a_{0} + a_{1} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} &=&& 1.4 \\
s_{2} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} = \frac{7}{5} + \frac{4}{25} = \frac{39}{25} &=&& 1.56 \\
s_{3} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{39}{25} + \frac{8}{125} = \frac{203}{125} &=&& 1.624 \\
s_{4}&=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \frac{203}{125} + \frac{16}{625} = \frac{1031}{625} &=&& 1.6496
\end{alignat*}\\
Bestimmung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(\frac{2}{5}\right)^{i} \right) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{2}{5}\right)} \right) \\
&=& \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %ii
\begin{alignat*}{3}
a_{0} &=& 1 &&& \\
a_{1} &=& \frac{5}{2}&&& \\
a_{2} &=& \left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4} &&&\\
a_{3} &=& \left(\frac{5}{2}\right)^{3} = \frac{125}{8} &&& \\
a_{4} &=& \left(\frac{5}{2}\right)^{4} = \frac{625}{16} &&& \\
s_{0} &=& a_{0} &=& 1 \\
s_{1} &=& a_{0} + a_{1} = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2} &=&& 3.5 \\
s_{2} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} = \frac{7}{2} + \frac{25}{4} = \frac{39}{4} &=&& 9.75 \\
s_{3} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{39}{4} + \frac{125}{8} = \frac{203}{8} &=&& 25.375 \\
s_{4}&=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \frac{203}{8} + \frac{625}{16} = \frac{1031}{16} &=&& 64,4375
\end{alignat*}\\
Die Reihe divergiert, da geometrische Reihen immer divergieren, wenn der Betrag von q größer als $1$ ist. Dies ist mit $\frac{5}{2}$ der Fall.
\subsubsection{} %iii
\begin{alignat*}{3}
a_{0} &=& 1 &&&\\
a_{1} &=& -\frac{2}{5} &&& \\
a_{2} &=& \left(-\frac{2}{5}\right)^{2} = \frac{4}{25} &&& \\
a_{3} &=& \left(-\frac{2}{5}\right)^{3} = -\frac{8}{125} &&& \\
a_{4} &=& \left(-\frac{2}{5}\right)^{4} = \frac{16}{625} &&& \\
s_{0} &=& a_{0} &=&& 1 \\
s_{1} &=& a_{0} + a_{1} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} &=&& 0.6 \\
s_{2} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} = \frac{3}{5} + \frac{4}{25} = \frac{19}{25} &=&& 0.76 \\
s_{3} &=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{19}{25} - \frac{8}{125} = \frac{87}{125} &=&& 0.696 \\
s_{4}&=& a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \frac{87}{125} + \frac{16}{625} = \frac{451}{625} &=&& 0.7216
\end{alignat*} \\
Bestimmung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(-\frac{2}{5}\right)^{i} \right) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1-\left(-\frac{2}{5}\right)^{n+1}}{1+\left(\frac{2}{5}\right)} \right) \\
&=& \frac{1}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7}
\end{alignat*}
\subsection{} %b
\subsubsection{} %i
Bestimmung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(-\frac{3}{10}\right)^{i} \right) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1-\left(-\frac{3}{10}\right)^{n+1}}{1+\left(\frac{3}{10}\right)} \right) \\
&=& \frac{1}{\frac{13}{10}} = \frac{10}{13}
\end{alignat*}
Die Reihe konvergiert gegen den Wert $\frac{10}{13} \approx 0.769$.
\subsubsection{} %ii
\begin{alignat*}{3}
&& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} x^{i} \right) &=& \frac{5}{8} \\
\Rightarrow && \frac{1}{1-x} &=& \frac{5}{8} \\
\overset{\cdot (1-x)}{\Leftrightarrow} && 1 &=& \frac{5}{8} - \frac{5}{8}x \\
\overset{-\frac{5}{8}}{\Leftrightarrow} && \frac{3}{8} &=& -\frac{5}{8}x \\
\overset{\cdot -\frac{8}{5}}{\Leftrightarrow} && -\frac{3}{5} &=& x
\end{alignat*}
$x$ ist gleich $-\frac{3}{5}$.
\section{} %3
\subsection{}
\subsubsection{} %(i)
Die Reihe konvergiert, da der Betrag von $q = \frac{7}{9}$ kleiner als $1$ ist.\\
Berechnung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(\frac{7}{9}\right)^{i} \right) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1-\left(\frac{7}{9}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{7}{9}\right)} \right) \\
&=& \frac{1}{\frac{2}{9}} = \frac{9}{2}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %(ii)
Die Reihe konvergiert, da der Betrag von $q = -\frac{7}{9}$ kleiner als $1$ ist.\\
Berechnung des Grenzwertes mithilfe der Geometrischen Summenformel:\\
\begin{alignat*}{2}
\sum\limits_{i=1}^{\infty} \left(-\frac{7}{9}\right)^{i} &=& \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left(-\frac{7}{9}\right)^{i} - \left(-\frac{7}{9}\right)^{0} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(-\frac{7}{9}\right)^{i} - \left(-\frac{7}{9}\right)^{0} \right) \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left(-\frac{7}{9}\right)^{i} \right) - 1 \\
&=& \frac{1}{1 + \frac{7}{9}} - 1 = \frac{1}{\frac{16}{9}} \\
&=& \frac{9}{16} - 1 = -\frac{7}{16}
\end{alignat*}
Der Grenzwert ist $-\frac{7}{16}$.
\subsubsection{} %(iii)
\begin{alignat*}{2}
\sum\limits_{i=2}^{\infty} (-1)^{i} \cdot \left( \frac{7}{9} \right)^{i+1} &=& \sum\limits_{i=2}^{\infty} (-1)^{i} \cdot \left( \frac{7}{9} \right)^{i} \cdot \left( \frac{7}{9} \right) \\
&=& \sum\limits_{i=2}^{\infty} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} \cdot \left( \frac{7}{9} \right) \\
&=& \left( \frac{7}{9} \right) \cdot \sum\limits_{i=2}^{\infty} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \sum\limits_{i=2}^{n} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} \right) \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} - \left( -\frac{7}{9} \right)^{0} - \left( -\frac{7}{9} \right)^{1} \right) \right) \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \left( \sum\limits_{i=0}^{n} \left( -\frac{7}{9} \right)^{i} - 1 + \frac{7}{9} \right) \right) \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \left( \frac{1- \left(-\frac{7}{9} \right)^{n+1}}{1 - \left(-\frac{7}{9} \right)} - 1 + \frac{7}{9} \right) \right) \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{7}{9} \cdot \left( \frac{1- \left(-\frac{7}{9} \right)^{n+1}}{1 + \frac{7}{9}} - 1 + \frac{7}{9} \right) \right)\\
&\rightarrow & \frac{7}{9} \cdot \left( \frac{1}{1 + \frac{7}{9}} - 1 + \frac{7}{9} \right) \\
&=& \frac{7}{9} \cdot \left( \frac{9}{16} - 1 + \frac{7}{9} \right) \\
&=& \frac{7}{9} \cdot \left( -\frac{7}{16} + \frac{7}{9} \right) \\
&=& \frac{7}{9} \cdot \frac{49}{144} \\
&=& \frac{343}{1296} \approx 0.26
\end{alignat*}\\
Der Grenzwert beträgt $\frac{343}{1296}$.
\subsubsection{} %(iv)
\begin{alignat*}{3}
\sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{1}{(i+1)i} &=& \sum\limits_{i=2}^{\infty} \left( \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1} \right) \\
&=& \sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{1}{i} - \sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{1}{i+1} \\
&=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - ... - \frac{1}{n+1} \\
&\Rightarrow & \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{2}
\end{alignat*}\\
Der Grenzwert ist $\frac{1}{2}$.
\section{} %4
\subsection{}
\subsubsection{} %(i)
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+3} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{3} \\
&=& e \cdot 1 = e
\end{alignat*}\\
\subsubsection{} %(ii)
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{3n} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \\
&=& e \cdot e \cdot e \\
&=& e^{3}
\end{alignat*}\\
\subsubsection{} %(iii)
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{3} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right) \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right) \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{n} \right) \\
&=& 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
\end{alignat*}
\subsubsection{} %(iv)
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left(1 + \frac{1}{3n} \right)^{3n} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \left(1 + \frac{1}{3n} \right)^{3} \right)^{n} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \left(1 + \frac{1}{3n} \right)^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{3n} \right) \right)^{n} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \left(1 + \frac{2}{3n} + \frac{1}{9n^{2}} \right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3n} \right) \right)^{n} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( 1 + \frac{1}{3n} + \frac{2}{3n} + \frac{2}{9n^{2}} + \frac{1}{9n^{2}} + \frac{1}{27n^{3}} \right)^{n} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( 1 + \frac{3}{3n} + \frac{3}{9n^{2}} + \frac{1}{27n^{3}} \right)^{n} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{3n^{2}} + \frac{1}{27n^{3}} \right)^{n} \\
&\rightarrow & 1
\end{alignat*}
\end{document}

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@ -0,0 +1,105 @@
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\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
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\pagenumbering{arabic}
\def\thesection{\arabic{section})}
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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\hskip -\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\makeatother
\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 25. April}
\maketitle
\section{} %1
\subsection{} %a
\vspace{11cm}
Die Unstetigkeitsstellen sind $x=2$ und $x=6$.
\subsection{} %b
\vspace{4cm}
Die Funktion $g(x)$ ist periodisch. Betrachtet man die Periode für $x=0$ bis $x=1$, so ist ersichtlich, dass sowohl $x=0$ als auch $x=1$ Unstetigkeitsstellen sind. Nähert man sich an die beiden Stellen von links an, so stimmt der Grenzwert nicht mit dem Funktionswert überein. Nähert man sich von rechts an, stimmt er überein.\\
Stetigkeit erfordert jedoch, dass der Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist, unabhängig von der Folge mit der man sich annähert.
Daher ist $g(x)$ in diesen beiden Stellen unstetig. Aufgrund der Periodizität der Funktion ist $g(x)$ an allen Stellen $x \in \mathbb{Z}$ unstetig.\\
\\
Betrachtet man hingegen eine andere Stelle in der Periode, so stimmen Grenzwert und Funktionswert überein, unabhängig davon ob man sich von rechts oder links annähert. Daher ist $g(x)$ in allen Stellen der Periode mit $x \neq 0$ und $x \neq 1$ stetig. Aufgrund der Periodizität der Funktion ist $g(x)$ an allen Stellen $x \not\in \mathbb{Z}$ stetig.
\section{} %2
\subsection{} %a
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} a_{n} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\sqrt{3n^{2}-2n+5}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^{2}-n+1}+4n} \\
\intertext{Ausklammern von $n^{2}$ unterhalb der Wurzeln}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\sqrt{n^{2} (3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}})} - \sqrt{n^{2} \cdot \frac{1}{n}}}{\sqrt{n^{2} (1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})} + 4n} \\
\intertext{Wurzelgesetze anwenden}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - \sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{n}}}{\sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 4n} \\
\intertext{Wurzel auflösen}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{n \cdot \sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - n \cdot \sqrt{\frac{1}{n}}}{n \cdot \sqrt{1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 4n} \\
\intertext{$n$ ausklammern}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{n \cdot (\sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - \sqrt{\frac{1}{n}})}{n \cdot (\sqrt{1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 4)} \\
\intertext{$n$ kürzen}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - \sqrt{\frac{1}{n}}}{\sqrt{1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 4} \\
\intertext{lim mit Wurzelfunktion vertauschen, da Wurzelfunktion stetig}
&=& \frac{\sqrt{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}})} - \sqrt{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}}(\frac{1}{n})}}{\sqrt{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (1 -\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})} + 4} \\
\intertext{limes anwenden und Nullfolgen entfernen}
&=& \frac{\sqrt{3} - \sqrt{0}}{\sqrt{1} + 4} \\
\intertext{Zusammenfassen}
&=& \frac{\sqrt{3}}{5}
\end{alignat*}
\subsection{} %b
\begin{alignat*}{2}
&& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{\sqrt{10n^{2}-n}-n}{2n+3} \right) \right) \\
\intertext{Ausklammern von $n^{2}$ unter der Wurzel}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{\sqrt{n^{2} (10-\frac{1}{n})}-n}{2n+3} \right) \right) \\
\intertext{Wurzelgesetze anwenden}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{\sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{10-\frac{1}{n}}-n}{2n+3} \right) \right) \\
\intertext{Wurzel auflösen}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{n \cdot \sqrt{10-\frac{1}{n}}-n}{2n+3} \right) \right) \\
\intertext{Ausklammern von $n$ in Zähler und Nenner}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{n \cdot (\sqrt{10 - \frac{1}{n}} - 1)}{n \cdot (2 + \frac{3}{n})} \right) \right) \\
\intertext{Kürzen von $n$}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \text{cos} \left( \frac{\sqrt{10 - \frac{1}{n}} - 1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right) \\
\intertext{cos mit lim vertauschen, da Cosinusfunktion stetig}
&=& \text{cos} \left( \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \left( \frac{\sqrt{10 - \frac{1}{n}} - 1}{2 + \frac{3}{n}} \right) \right) \\
\intertext{lim in Wurzel ziehen, da Wurzelfunktion stetig}
&=& \text{cos} \left( \frac{\sqrt{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (10 - \frac{1}{n})} - \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (1) }{\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (2 + \frac{3}{n})} \right) \\
&=& \text{cos} \left( \frac{\sqrt{10} - 1}{2} \right)\\
&\approx & 0.47
\end{alignat*}
\section{} %3
$g \circ f$ kann auch so geschrieben werden $g(f(x))$. Vereinfacht gesagt, liefert $g$ den Funktionswert an der Stelle, die dem Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$ entspricht.\\
Das berücksichtigend wissen wir, dass $f$ an der Stelle $x_{0}$ stetig ist. Der Funktionswert für diese Stelle ist $f(x_{0}) = y_{0}$. Wir wissen ferner, dass $g$ an der Stelle $y_{0}$ stetig ist.\\
\\
Da der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x_{0}$ der Stelle entspricht, an der $g$ bekanntermaßen stetig ist, werden hier zwei stetige Funktionen nacheinander ausgeführt. Und die Nacheinanderausführung von zwei stetigen Funktionen ist selbst wiederum stetig.\\
Es ist somit ersichtlich, dass $g(f(x_{0}))$ den soeben beschrieben Fall darstellt und damit klarstellt, dass $g \circ f$ ebenfalls an der Stelle $x_{0}$ stetig ist.
\section{} %4
$g(x)$:\\
\begin{alignat*}{2}
\underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} g(x) &\Rightarrow & \underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} (x^{2} \cdot 1 ) \geq \underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} \left(x^{2} \cdot \text{sin} \left(\frac{1}{x}\right) \right) \geq \underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} (x^{2} \cdot -1) \\
&\Rightarrow & 0 \geq \underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} \left(x^{2} \cdot \text{sin} \left(\frac{1}{x} \right) \right) \geq 0
\end{alignat*}
Daraus folgt, dass $g(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ stetig ist. \\
$h(x)$:\\
\begin{alignat*}{2}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} h(x_{n}) &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \text{sin} \left( \frac{1}{x_{n}} \right) \\
\intertext{$x_{n}$ sei $\frac{1}{2\pi n}, n \in \mathbb{N}$}
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \text{sin} \left(\frac{1}{\frac{1}{2 \pi n}}\right) \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \text{sin} (2 \pi n) \\
&=& \text{sin} \left( \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} (2 \pi n) \right) = 0
\end{alignat*}
$h(x)$ ist stetig für alle $x = x_{n} = \frac{1}{2\pi n}$. Die Funktion ist nicht stetig für andere $x$.
\end{document}

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@ -0,0 +1,284 @@
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\usepackage{amsfonts}
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\pagenumbering{arabic}
\def\thesection{\arabic{section})}
\def\thesubsection{\alph{subsection})}
\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
\hskip -\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
\array{#1}}
\makeatother
\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 2. Mai}
\maketitle
\section{} %1
\subsection{} %a
\subsubsection{} %i
\begin{alignat*}{2}
f(x) &=& 7x^{5} + 3x^{3} + x + 1 \\
f'(x) &=& 35x^{4} + 9x^{2} + 1
\end{alignat*}
\subsubsection{} %ii
\begin{alignat*}{2}
f(x) &=& (3x^{7} - 4x^{3} + x^{2} - 3x + 1)^{8} \\
f'(x) &=& 8 \cdot (3x^{7} - 4x^{3} + x^{2} - 3x + 1)^{7} \cdot (21x^{6} - 12x^{2} + 2x - 3)
\end{alignat*}
\subsubsection{} %iii
\begin{alignat*}{2}
f(x) &=& (3x^{4} + 2x) \cdot \sqrt{x^{2} + 1} \\
f'(x) &=& (12x^{3} + 2) \cdot \sqrt{x^{2} + 1} + (3x^{4} + 2x) \cdot \frac{2x}{2 \cdot \sqrt{x^{2} + 1}}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %iv
\begin{alignat*}{2}
f(x) &=& (x^{3} + 1) \cdot \ln (x^{4} + 3x^{2} + 1) \\
f'(x) &=& 3x \cdot \ln (x^{4} + 3x^{2} + 1) + (x^{3} + 1) \cdot \frac{4x^{3} + 6x}{x^{4} + 3x^{2} + 1}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %v
\begin{alignat*}{2}
f(x) &=& e^{x^{3} + x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x} \\
f'(x) &=& e^{x^{3} + x^{2} + 1} \cdot (3x^{2} + 2x) \cdot \sqrt{x} + e^{x^{3} + x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %vi
\begin{alignat*}{2}
f(x) &=& \sqrt{x^{4} + 1} \cdot \ln x \\
f'(x) &=& \frac{4x^{3}}{2 \cdot \sqrt{x^{4} + 1}} \cdot \ln x + \sqrt{x^{4} + 1} \cdot \frac{1}{x}
\end{alignat*}
\subsection{} %b
\begin{alignat*}{2}
q(x) &=& \frac{5x^{2} + 1}{x - 3} \\
q'(x) &=& \frac{10x \cdot (x-3) - (5x^{2} + 1) \cdot 1}{(x-3)^{2}} \\
\intertext{Ausmultiplizieren}
&=& \frac{10x^{2} - 30x - (5x^{2} + 1)}{x^{2} - 6x + 9}\\
\intertext{Zusammenfassen}
&=& \frac{5x^{2} - 30x - 1}{x^{2} - 6x + 9}\\
q''(x) &=& \frac{(10x-30) \cdot (x^{2} - 6x + 9) - (5x^{2} - 30x - 1) \cdot (2x - 6)}{(x^{2} - 6x + 9)^{2}} \\
\intertext{Ausmultiplizieren}
&=& \frac{10x^{3} - 60x^{2} + 90x - 30x^{2} + 180x - 270 - (10x^{3} - 30x^{2} - 60x^{2} + 180x -x^{2} - 9)}{x^{4} - 6x^{3} + 9x^{2} - 6x^{3} + 36x^{2} - 54x + 9x^{2} - 54x + 81} \\
\intertext{Zusammenfassen}
&=& \frac{10x^{3} - 90x^{2} + 270x - 270 -10x^{3} + 91x^{2} - 180x + 9}{x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81} \\
\intertext{Zusammenfassen}
&=& \frac{x^{2} + 90x - 261}{x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81} \\
q'''(x) &=& \frac{(2x + 90) \cdot (x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81) - (x^{2} + 90x - 261) \cdot (4x^{3} - 36x^{2} + 108x - 108)}{(x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81)^{2}} \\
\intertext{Ausmultiplizieren und Zusammenfassen}
&=& \frac{-2x^{5} - 258x^{4} + 3204x^{3} - 14364x^{2} +28350x - 20898}{x^{8} - 24x^{7} + 252x^{6} -1404x^{5} +5670x^{4} - 13716x^{3} + 20412x^{2} -8748x - 2187}
\end{alignat*}
\section{} %2
\begin{alignat*}{2}
f(x) &=& \left| 3 - \frac{1}{2}x \right| \\
\intertext{Sei $x_{n} = 6 + \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}$}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{f(x_{n}) - f(x_{0})}{x_{n} - x_{0}} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - \frac{1}{2} \cdot (6 + \frac{1}{n}) \right| - \left| 3 - \frac{1}{2} \cdot 6 \right|}{6 + \frac{1}{n} - 6} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - 3 - \frac{1}{2n} \right| - \left| 3 - 3 \right|}{\frac{1}{n}} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left|-\frac{1}{2n} \right|}{\frac{1}{n}} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{n}} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{n}{2n} = \frac{1}{2} \\
\intertext{Sei $x_{n} = 6 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}$}
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{f(x_{n}) - f(x_{0})}{x_{n} - x_{0}} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - \frac{1}{2} \cdot (6 - \frac{1}{n}) \right| - \left| 3 - \frac{1}{2} \cdot 6 \right|}{6 - \frac{1}{n} - 6} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - 3 + \frac{1}{2n} \right| - \left| 3 - 3 \right|}{-\frac{1}{n}} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left|\frac{1}{2n} \right|}{-\frac{1}{n}} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\frac{1}{2n}}{-\frac{1}{n}} \\
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} -\frac{n}{2n} = -\frac{1}{2}
\end{alignat*}
Der Grenzwert existiert an der Stelle $x _{0} = 6$ nicht. Daher ist die Funktion $f$ an der Stelle $x_{0} = 6$ nicht differenzierbar.
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
\begin{axis}[
ymin=-10,ymax=10,
x=1em,
y=1em,
axis x line=middle,
axis y line=middle,
axis line style=->,
xlabel={$x$},
ylabel={$y$},
]
\addplot[no marks, black, -] expression[domain=-10:6,samples=100]{3 - (1/2)*x} node[pos=0.65,anchor=north]{};
\addplot[no marks, black, -] expression[domain=6:10,samples=100]{-1*(3 - (1/2)*x)} node[pos=0.65,anchor=north]{};
\draw (16em, 10em) circle (2pt);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\section{} %3
\subsection{} %a
\begin{alignat*}{2}
f(x) &=& (x^{4}+1)^{x+2} \\
&=& e^{ln\left((x^{4}+1)^{x+2}\right)} \\
&=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \\
f'(x) &=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \cdot \left((x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)\right)' \\
&=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \cdot \left((x+2)' \cdot \ln(x^{4}+1) + (x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)'\right) \\
&=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \cdot \left(1 \cdot \ln(x^{4}+1) + (x+2) \cdot \frac{1}{x^{4}+1} \cdot (x^{4}+1)'\right) \\
&=& (x^{4}+1)^{x+2} \cdot \left(\ln(x^{4}+1) + (x+2) \cdot \frac{4x^{3}}{x^{4}+1}\right)
\end{alignat*}
\subsection{} %b
\begin{alignat*}{2}
f(x) &=& x^{\frac{1}{2}} \\
&=& e^{\ln \left(x^{\frac{1}{2}} \right)} \\
&=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \\
f'(x) &=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \ln (x) \right)' \\
&=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot (x)' \\
&=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \cdot \frac{1}{2x} \\
&=& x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2x} \\
&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} \\
&=& \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\
g(x) &=& \left( \frac{1}{2}\right)^{x} \\
&=& e^{\ln \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{x} \right)} \\
&=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \\
g'(x) &=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right) \right)' \\
&=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \cdot (x)' \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right) \\
&=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \cdot 1 \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right) \\
&=& \left( \frac{1}{2}\right)^{x} \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)
\end{alignat*}
\subsection{} %c
\subsubsection{} %i
\begin{alignat*}{2}
g(x) &=& (x^{2}+1)^{4x+1} \\
&=& e^{\ln \left( (x^{2}+1)^{4x+1}\right)} \\
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \\
g'(x) &=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left((4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1) \right)' \\
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left((4x+1)' \cdot \ln (x^{2}+1) + (4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)' \right) \\
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left(4 \cdot \ln (x^{2}+1) + (4x+1) \cdot \frac{1}{x^{2}+1} \cdot (x^{2}+1)' \right) \\
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left(4 \cdot \ln (x^{2}+1) + (4x+1) \cdot \frac{2x}{x^{2}+1} \right) \\
&=& (x^{2}+1)^{4x+1} \cdot \left(4 \cdot \ln (x^{2}+1) + \frac{8x^{2} + 2x}{x^{2}+1} \right)
\end{alignat*}
\subsubsection{} %ii
\begin{alignat*}{2}
h(x) = (x-3)^{3x^{4}+5} \\
&=& e^{\ln \left((x-3)^{3x^{4}+5} \right)} \\
&=& e^{(3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)} \\
h'(x) &=& e^{(3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)} \cdot \left((3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3) \right)' \\