2013-10-15 13:39:54 +02:00
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\def \thesubsection { \alph { subsection} )}
\def \thesubsubsection { (\roman { subsubsection} )}
\makeatletter
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\begin { document}
2013-10-21 12:46:17 +02:00
\author { Jan Branitz (6326955), Jim Martens (6420323),\\
Stephan Niendorf (6242417)}
2013-10-15 13:39:54 +02:00
\title { Hausaufgaben zum 21. Oktober}
\maketitle
\section { } %1
\subsection { } %a
\subsubsection { } %i
Die Zielfunktion muss in Standardform maximiert werden. Um dies zu erreichen, wird mit $ - 1 $ multipliziert. Die erste Nebenbedingung wird auf gleiche Weise umgeformt. Die dritte Nebenbedingung wird durch zwei Bedingungen ersetzt.
\begin { alignat*} { 5}
\text { maximiere} -& 2x_ { 1} & -& x_ { 2} & +& x_ { 3} & -& 2x_ { 4} & & \\
\multicolumn { 10} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
& 3x_ { 1} & +& x_ { 2} & -& x_ { 3} & & & \leq & -2 \\
-& 7x_ { 1} & -& x_ { 2} & & & +& x_ { 4} & \leq & \, 3 \\
& & & x_ { 2} & +& x_ { 3} & -& x_ { 4} & \leq & \, 7 \\
& & -& x_ { 2} & -& x_ { 3} & +& x_ { 4} & \leq & -7 \\
\multicolumn { 8} { r} { $ x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
\subsubsection { } %ii
Die erste Nebenbedingung wird mit $ - 1 $ multipliziert. Auch wird die dritte Nebenbedingung durch zwei Bedingungen ersetzt. Da $ x _ { 1 } $ in der Nichtnegativitätsbedingung fehlt, werden zwei Variablen $ x _ { 1 } ^ { ' } , x _ { 1 } ^ { '' } $ erzeugt, die je den positiven bzw. negativen Teil von $ x _ { 1 } $ darstellen.
\begin { alignat*} { 6}
\text { maximiere} \; & 2x_ { 1} ^ { '} & -& 2x_ { 1} ^ { ''} & +& x_ { 2} & -& x_ { 3} & +& 2x_ { 4} & & \\
\multicolumn { 12} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
& 3x_ { 1} ^ { '} & -& 3x_ { 1} ^ { ''} & +& x_ { 2} & -& x_ { 3} & & & \leq & -2 \\
-& 7x_ { 1} ^ { '} & +& 7x_ { 1} ^ { ''} & -& x_ { 2} & & & +& x_ { 4} & \leq & \, 3 \\
& & & & & x_ { 2} & +& x_ { 3} & -& x_ { 4} & \leq & \, 7 \\
& & & & -& x_ { 2} & -& x_ { 3} & +& x_ { 4} & \leq & -7 \\
& & & & & & & & & x_ { 4} & \leq & 9 \\
\multicolumn { 10} { r} { $ x _ { 1 } ^ { ' } , x _ { 1 } ^ { '' } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
\subsection { } %b
2013-10-21 12:46:17 +02:00
Es gilt das folgende Problem mit der grafischen Methode zu lösen.
\begin { alignat*} { 3}
\text { maximiere} \; & 2x_ { 1} & +& 5x_ { 2} & & \\
\multicolumn { 6} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
& 3x_ { 1} & -& 2x_ { 2} & \leq & \, 6 \\
& x_ { 1} & +& x_ { 2} & \leq & \, 6 \\
-& 2x_ { 1} & +& 6x_ { 2} & \leq & \, 18 \\
\multicolumn { 4} { r} { $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
Nach Umstellen der Nebenbedingungen nach $ x _ { 2 } $ ergibt sich dieses:
\begin { alignat*} { 3}
x_ { 2} & \geq & \frac { 3} { 2} x_ { 1} & -& 3 \\
x_ { 2} & \leq & -x_ { 1} & +& 6 \\
x_ { 2} & \leq & \frac { 1} { 3} x_ { 1} & +& 3
\end { alignat*}
Daraus lässt sich die Fläche aller gültigen Werte zeichnen.
2013-10-20 12:09:52 +02:00
\begin { tikzpicture} [>=stealth]
\begin { axis} [
ymin=0,ymax=7,
2013-10-21 12:46:17 +02:00
x=1cm,
y=1cm,
2013-10-20 12:09:52 +02:00
axis x line=middle,
axis y line=middle,
axis line style=->,
xlabel={ $ x _ { 1 } $ } ,
ylabel={ $ x _ { 2 } $ } ,
xmin=0,xmax=7
]
\addplot [no marks, black, -] expression[domain=2:6,samples=100]{ 1.5*x - 3} node[pos=0.65,anchor=north]{ } ;
\addplot [no marks, black, -] expression[domain=0:6,samples=100]{ -1*x + 6} node[pos=0.65,anchor=north]{ } ;
2013-10-21 12:46:17 +02:00
\addplot [no marks, black, -] expression[domain=0:6,samples=100]{ 0.3333333333333*x + 3} node[pos=0.65,anchor=north]{ } ;
\addplot [no marks, black, -] expression[domain=0:7,samples=100]{ -0.4*x + 4.65} node[pos=0.65,anchor=north]{ } ;
2013-10-22 19:14:34 +02:00
\node at (axis cs: 2.5,4.5) { (2.25,3.75)} ;
2013-10-21 12:46:17 +02:00
\node at (axis cs: 6,2) { z} ;
2013-10-20 12:09:52 +02:00
%\draw[>=stealth] (axis cs:1,0) -- (axis cs:1,-6) node [pos=0.65,anchor=north]{};
\end { axis}
2013-10-21 12:46:17 +02:00
\end { tikzpicture} \\
Das optimale Ergebnis kann folgendermaßen bestimmt werden:
\begin { alignat*} { 5}
I & -& \; 2x_ { 1} & +& 6x_ { 2} & =& 18 & & \; | + 2II\\
II & & \; x_ { 1} & +& x_ { 2} & =& 6 & & \\
\overset { I+2II} { \Rightarrow } & & \; & & 8x_ { 2} & =& 30 & & \; | \cdot \frac { 1} { 8} \\
\Leftrightarrow & & \; & & x_ { 2} & =& \frac { 30} { 8} = \frac { 15} { 4} & &
\intertext { Einsetzen in II}
\overset { II} { \Rightarrow } & & \; x_ { 1} & +& \frac { 15} { 4} & =& 6 & & \; | - \frac { 15} { 4} \\
& & \; x_ { 1} & & & =& \frac { 24} { 4} - \frac { 15} { 4} = \frac { 9} { 4} & &
\end { alignat*}
Anhand der beiden $ x $ -Werte kann nun der Wert der Zielfunktion berechnet werden.
\[
2 \cdot \frac { 9} { 4} + 5 \cdot \frac { 15} { 4} = \frac { 18} { 4} + \frac { 75} { 4} = \frac { 93} { 4} = 23,25
\]
Damit ist $ \frac { 93 } { 4 } $ das optimale Ergebnis für die Zielfunktion $ 2 x _ { 1 } + 5 x _ { 2 } $ unter den gegebenen Nebenbedingungen.
2013-10-15 13:39:54 +02:00
\section { } %2
2013-10-15 14:11:38 +02:00
\subsection { } %a
2013-10-15 15:46:36 +02:00
Pauls Diätproblem:\\
\begin { alignat*} { 7}
\text { maximiere} \; -& 3x_ { 1} & -& 24x_ { 2} & -& 13x_ { 3} & -& 9x_ { 4} & -& 20x_ { 5} & -& 19x_ { 6} & & \\
\multicolumn { 14} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
- & 110x_ { 1} & -& 205x_ { 2} & -& 160x_ { 3} & -& 160x_ { 4} & -& 420x_ { 5} & -& 260x_ { 6} & \leq & -2000 \\
-& 4x_ { 1} & -& 32x_ { 2} & -& 13x_ { 3} & -& 8x_ { 4} & -& 4x_ { 5} & -& 14x_ { 6} & \leq & -55 \\
-& 2x_ { 1} & -& 12x_ { 2} & -& 54x_ { 3} & -& 285x_ { 4} & -& 22x_ { 5} & -& 80x_ { 6} & \leq & -800 \\
& x_ { 1} & & & & & & & & & & & \leq & \, 4 \\
& & & x_ { 2} & & & & & & & & & \leq & \, 3 \\
& & & & & x_ { 3} & & & & & & & \leq & \, 2 \\
& & & & & & & x_ { 4} & & & & & \leq & \, 8 \\
& & & & & & & & & x_ { 5} & & & \leq & \, 2 \\
& & & & & & & & & & & x_ { 6} & \leq & \, 2 \\
\multicolumn { 12} { r} { $ x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 } , x _ { 6 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
Problem (1.2) in Standardform:\\
\begin { alignat*} { 7}
\text { maximiere} \; & 3x_ { 1} ^ { '} & -& 3x_ { 1} ^ { ''} & +& x_ { 2} & & & & & & \\
\multicolumn { 14} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
& x_ { 1} ^ { '} & -& x_ { 1} ^ { ''} & -& 6x_ { 2} & +& x_ { 3} & -& x_ { 4} ^ { '} & +& x_ { 4} ^ { ''} & \leq & \, 3 \\
& & & & & 7x_ { 2} & & & -& 2x_ { 4} ^ { '} & +& 2x_ { 4} ^ { ''} & \leq & \, 5 \\
& & & & -& 7x_ { 2} & & & +& 2x_ { 4} ^ { '} & -& 2x_ { 4} ^ { ''} & \leq & -5 \\
-& x_ { 1} ^ { '} & +& x_ { 1} ^ { ''} & +& x_ { 2} & +& x_ { 3} & & & & & \leq & \, 1 \\
& x_ { 1} ^ { '} & -& x_ { 1} ^ { ''} & -& x_ { 2} & -& x_ { 3} & & & & & \leq & -1 \\
& & & & & & & x_ { 3} & -& x_ { 4} ^ { '} & +& x_ { 4} ^ { ''} & \leq & \, 2 \\
\multicolumn { 12} { r} { $ x _ { 1 } ^ { ' } , x _ { 1 } ^ { '' } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ^ { ' } , x _ { 4 } ^ { '' } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
2013-10-15 14:11:38 +02:00
\subsection { } %b
2013-10-21 12:46:17 +02:00
\begin { alignat*} { 7}
2013-10-28 21:01:18 +01:00
\text { maximiere} \; & 8a_ { 1} & +& 3a_ { 2} & +& 6b_ { 1} & +& 3b_ { 2} & +& 9c_ { 1} & +& 5c_ { 2} & & \\
2013-10-21 12:46:17 +02:00
\multicolumn { 14} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
& a_ { 1} & +& a_ { 2} & & & & & & & & & \leq & \, 400 \\
& & & & & b_ { 1} & +& b_ { 2} & & & & & \leq & \, 480 \\
& & & & & & & & & c_ { 1} & +& c_ { 2} & \leq & \, 230 \\
& a_ { 1} & & & +& b_ { 1} & & & +& c_ { 1} & & & \leq & \, 420 \\
& & & a_ { 2} & & & +& b_ { 2} & & & +& c_ { 2} & \leq & \, 250 \\
\multicolumn { 12} { r} { $ a _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } $ } \, & \geq & \, 0
2013-10-17 14:13:04 +02:00
\end { alignat*}
2013-10-15 13:39:54 +02:00
\end { document}
