2013-10-15 13:39:54 +02:00
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\def \thesection { \arabic { section} )}
\def \thesubsection { \alph { subsection} )}
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\makeatletter
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\begin { document}
\author { Jim Martens (6420323)}
\title { Hausaufgaben zum 21. Oktober}
\maketitle
\section { } %1
\subsection { } %a
\subsubsection { } %i
Die Zielfunktion muss in Standardform maximiert werden. Um dies zu erreichen, wird mit $ - 1 $ multipliziert. Die erste Nebenbedingung wird auf gleiche Weise umgeformt. Die dritte Nebenbedingung wird durch zwei Bedingungen ersetzt.
\begin { alignat*} { 5}
\text { maximiere} -& 2x_ { 1} & -& x_ { 2} & +& x_ { 3} & -& 2x_ { 4} & & \\
\multicolumn { 10} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
& 3x_ { 1} & +& x_ { 2} & -& x_ { 3} & & & \leq & -2 \\
-& 7x_ { 1} & -& x_ { 2} & & & +& x_ { 4} & \leq & \, 3 \\
& & & x_ { 2} & +& x_ { 3} & -& x_ { 4} & \leq & \, 7 \\
& & -& x_ { 2} & -& x_ { 3} & +& x_ { 4} & \leq & -7 \\
\multicolumn { 8} { r} { $ x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
\subsubsection { } %ii
Die erste Nebenbedingung wird mit $ - 1 $ multipliziert. Auch wird die dritte Nebenbedingung durch zwei Bedingungen ersetzt. Da $ x _ { 1 } $ in der Nichtnegativitätsbedingung fehlt, werden zwei Variablen $ x _ { 1 } ^ { ' } , x _ { 1 } ^ { '' } $ erzeugt, die je den positiven bzw. negativen Teil von $ x _ { 1 } $ darstellen.
\begin { alignat*} { 6}
\text { maximiere} \; & 2x_ { 1} ^ { '} & -& 2x_ { 1} ^ { ''} & +& x_ { 2} & -& x_ { 3} & +& 2x_ { 4} & & \\
\multicolumn { 12} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
& 3x_ { 1} ^ { '} & -& 3x_ { 1} ^ { ''} & +& x_ { 2} & -& x_ { 3} & & & \leq & -2 \\
-& 7x_ { 1} ^ { '} & +& 7x_ { 1} ^ { ''} & -& x_ { 2} & & & +& x_ { 4} & \leq & \, 3 \\
& & & & & x_ { 2} & +& x_ { 3} & -& x_ { 4} & \leq & \, 7 \\
& & & & -& x_ { 2} & -& x_ { 3} & +& x_ { 4} & \leq & -7 \\
& & & & & & & & & x_ { 4} & \leq & 9 \\
\multicolumn { 10} { r} { $ x _ { 1 } ^ { ' } , x _ { 1 } ^ { '' } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
\subsection { } %b
\section { } %2
2013-10-15 14:11:38 +02:00
\subsection { } %a
2013-10-15 15:46:36 +02:00
Pauls Diätproblem:\\
\begin { alignat*} { 7}
\text { maximiere} \; -& 3x_ { 1} & -& 24x_ { 2} & -& 13x_ { 3} & -& 9x_ { 4} & -& 20x_ { 5} & -& 19x_ { 6} & & \\
\multicolumn { 14} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
- & 110x_ { 1} & -& 205x_ { 2} & -& 160x_ { 3} & -& 160x_ { 4} & -& 420x_ { 5} & -& 260x_ { 6} & \leq & -2000 \\
-& 4x_ { 1} & -& 32x_ { 2} & -& 13x_ { 3} & -& 8x_ { 4} & -& 4x_ { 5} & -& 14x_ { 6} & \leq & -55 \\
-& 2x_ { 1} & -& 12x_ { 2} & -& 54x_ { 3} & -& 285x_ { 4} & -& 22x_ { 5} & -& 80x_ { 6} & \leq & -800 \\
& x_ { 1} & & & & & & & & & & & \leq & \, 4 \\
& & & x_ { 2} & & & & & & & & & \leq & \, 3 \\
& & & & & x_ { 3} & & & & & & & \leq & \, 2 \\
& & & & & & & x_ { 4} & & & & & \leq & \, 8 \\
& & & & & & & & & x_ { 5} & & & \leq & \, 2 \\
& & & & & & & & & & & x_ { 6} & \leq & \, 2 \\
\multicolumn { 12} { r} { $ x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 } , x _ { 6 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
Problem (1.2) in Standardform:\\
\begin { alignat*} { 7}
\text { maximiere} \; & 3x_ { 1} ^ { '} & -& 3x_ { 1} ^ { ''} & +& x_ { 2} & & & & & & \\
\multicolumn { 14} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
& x_ { 1} ^ { '} & -& x_ { 1} ^ { ''} & -& 6x_ { 2} & +& x_ { 3} & -& x_ { 4} ^ { '} & +& x_ { 4} ^ { ''} & \leq & \, 3 \\
& & & & & 7x_ { 2} & & & -& 2x_ { 4} ^ { '} & +& 2x_ { 4} ^ { ''} & \leq & \, 5 \\
& & & & -& 7x_ { 2} & & & +& 2x_ { 4} ^ { '} & -& 2x_ { 4} ^ { ''} & \leq & -5 \\
-& x_ { 1} ^ { '} & +& x_ { 1} ^ { ''} & +& x_ { 2} & +& x_ { 3} & & & & & \leq & \, 1 \\
& x_ { 1} ^ { '} & -& x_ { 1} ^ { ''} & -& x_ { 2} & -& x_ { 3} & & & & & \leq & -1 \\
& & & & & & & x_ { 3} & -& x_ { 4} ^ { '} & +& x_ { 4} ^ { ''} & \leq & \, 2 \\
\multicolumn { 12} { r} { $ x _ { 1 } ^ { ' } , x _ { 1 } ^ { '' } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ^ { ' } , x _ { 4 } ^ { '' } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
2013-10-15 14:11:38 +02:00
\subsection { } %b
2013-10-15 13:39:54 +02:00
\end { document}