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TeX
\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{gauss}
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\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
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\usepackage{polynom}
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\usepackage{multirow}
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\polyset{style=C, div=:,vars=x}
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\pgfplotsset{compat=1.8}
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\pagenumbering{arabic}
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% ensures that paragraphs are separated by empty lines
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\parskip 12pt plus 1pt minus 1pt
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\parindent 0pt
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% define how the sections are rendered
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\def\thesection{1.\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\arabic{subsection}.}
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\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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% some matrix magic
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Jim Martens (6420323)}
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\title{Hausaufgaben zum 20. Oktober}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{} %1.3
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\subsection{} %1.
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\[\underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{n times}}d + d + \underbrace{\underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{2k - 1 times}} \cdot c \cdot \underbrace{bbb \cdots bbb}_{\text{2k - 1 times}}}_{\forall k \in \mathbb{N}| 0 < k \leq \frac{1}{2}n} + \underbrace{\underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{2k times}} \cdot d \cdot \underbrace{bbb \cdots bbb}_{\text{2k times}}}_{\forall k \in \mathbb{N}| 0 < k \leq \frac{1}{2}n}\]
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\subsection{}
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\[\bigcup\limits_{k = 1}^{\frac{1}{2}n} \left\lbrace \underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{2k -1 times}} c \underbrace{bbb \cdots bbb}_{\text{2k -1 times}}\right\rbrace \cup \bigcup\limits_{k = 1}^{\frac{1}{2}n} \left\lbrace \underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{2k times}} d \underbrace{bbb \cdots bbb}_{\text{2k times}}\right\rbrace \cup \left\lbrace \underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{n times}}d\right\rbrace \cup \{d\}\]
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\subsection{}
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\subsection{}
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\(L(A_{n})\) ist für ein beliebigesb fest gewähltes \(n\) regulär, da die Sprache durch einen deterministischen endlichen Automaten akzeptiert wird (siehe Aufgabe 1.3).
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\section{} %1.4
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\subsection{}
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Von einem gegebenen Automaten werden Start- und Endzustände vertauscht, sowie alle Kantenbeziehungen umgekehrt. Für den resultierenden NFA (in den meisten Fällen nicht mehr deterministisch) wird nun ein Potenzautomaten gebildet, welcher vollständig gemacht wird.
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\subsection{}
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\subsection{}
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\[f^{*}(fe)^{*}ee^{*}f(e + f)^{*}\]
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\subsection{}
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Nach Umkehrung der Kantenbeziehungen und Vertauschen des Start- und Endzustands, ergibt sich dieser Automat.
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% TODO: Automat
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Anschließend wird der Potenzautomat gebildet.
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Abschließend wird dieser vollständig gemacht.
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\subsection{}
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\end{document}
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