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\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 20. Oktober}
\maketitle

\setcounter{section}{2}
\section{} %1.3
	\subsection{} %1.
	\[\underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{n times}}d + d + \underbrace{\underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{2k - 1 times}} \cdot c \cdot \underbrace{bbb \cdots bbb}_{\text{2k - 1 times}}}_{\forall k \in \mathbb{N}| 0 < k \leq \frac{1}{2}n} + \underbrace{\underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{2k times}} \cdot d \cdot \underbrace{bbb \cdots bbb}_{\text{2k times}}}_{\forall k \in \mathbb{N}| 0 < k \leq \frac{1}{2}n}\]
	\subsection{}
	\[\bigcup\limits_{k = 1}^{\frac{1}{2}n} \left\lbrace \underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{2k -1 times}} c \underbrace{bbb \cdots bbb}_{\text{2k -1 times}}\right\rbrace \cup \bigcup\limits_{k = 1}^{\frac{1}{2}n} \left\lbrace \underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{2k times}} d \underbrace{bbb \cdots bbb}_{\text{2k times}}\right\rbrace \cup \left\lbrace \underbrace{aaa \cdots aaa}_{\text{n times}}d\right\rbrace \cup \{d\}\]
	\subsection{}
	\subsection{}
	\(L(A_{n})\) ist für ein beliebigesb fest gewähltes \(n\) regulär, da die Sprache durch einen deterministischen endlichen Automaten akzeptiert wird (siehe Aufgabe 1.3).
\section{} %1.4
	\subsection{}
	Von einem gegebenen Automaten werden Start- und Endzustände vertauscht, sowie alle Kantenbeziehungen umgekehrt. Für den resultierenden NFA (in den meisten Fällen nicht mehr deterministisch) wird nun ein Potenzautomaten gebildet, welcher vollständig gemacht wird.
	\subsection{}
	\subsection{}
	\[f^{*}(fe)^{*}ee^{*}f(e + f)^{*}\]
	\subsection{}
	Nach Umkehrung der Kantenbeziehungen und Vertauschen des Start- und Endzustands, ergibt sich dieser Automat.
	% TODO: Automat
	
	Anschließend wird der Potenzautomat gebildet.
	
	Abschließend wird dieser vollständig gemacht.
	\subsection{}
\end{document}