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FGI2: Aufgabe 10.3 fertiggestellt
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Jim Martens
134
fgi2/Blatt10/Aufgabenblatt10.tex
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fgi2/Blatt10/Aufgabenblatt10.tex
Normal file
@ -0,0 +1,134 @@
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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{gauss}
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\usepackage{pgfplots}
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\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{automata,matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings,petri,shapes}
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\usepackage{polynom}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage[german]{fancyref}
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\usepackage{morefloats}
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\polyset{style=C, div=:,vars=x}
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\pgfplotsset{compat=1.8}
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\pagenumbering{arabic}
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% ensures that paragraphs are separated by empty lines
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\parskip 12pt plus 1pt minus 1pt
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\parindent 0pt
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% define how the sections are rendered
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\def\thesection{10.\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\arabic{subsection}.}
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\def\thesubsubsection{(\alph{subsubsection})}
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% some matrix magic
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\tikzset{
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place/.style={
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circle,
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thick,
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draw=black,
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fill=white,
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minimum size=6mm,
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font=\bfseries
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},
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transitionH/.style={
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rectangle,
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thick,
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draw=black,
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fill=white,
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minimum width=8mm,
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inner ysep=4pt,
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font=\bfseries
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},
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transitionV/.style={
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||||
rectangle,
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||||
thick,
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||||
fill=black,
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||||
minimum height=8mm,
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inner xsep=2pt
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}
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}
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\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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\begin{document}
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\author{Benjamin Kuffel, Jim Martens\\Gruppe 6}
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\title{Hausaufgaben zum 05. Januar}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{} %10.3
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\subsection{}
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Um die T-Invarianten bestimmen zu können, stellen wir zunächst die Inzidenzmatrix auf.
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Inzidenzmatrix \(\Delta_N\) vom Netz \(N_{10.3}\):
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\[
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\begin{vmatrix}
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-1 & -1 & 3 & 2 & -1 \\
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0 & -1 & 3 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & -3 & 0 & 0 \\
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1 & 2 & -6 & -2 & 1
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\end{vmatrix}
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\]
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Eine T-Invariante \(\textbf{j}\) muss diese Gleichung erfüllen: \(\Delta_N \cdot \textbf{j} = \vec{0}\)
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Daraus ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
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\begin{alignat*}{7}
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\text{I} && \; -j_a &-& j_b &+& 3j_c &+& 2j_d &-& j_e &= 0 \\
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\text{II} && && -j_b &+& 3j_c && && &= 0 \\
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\text{III} && && j_b &-& 3j_c && && &= 0 \\
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\text{IV} && \; j_a &+& 2j_b &-& 6j_c &-& 2j_d &+& j_e &= 0
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\end{alignat*}
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Dieses Gleichungssystem kann schnell reduziert werden. Es wird \(\text{I} = \text{I} + \text{IV}\), sowie \(\text{II} = \text{II} + \text{III}\) ausgeführt.
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\begin{alignat*}{7}
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\text{I} && \; 0j_a &+& j_b &-& 3j_c &+& 0j_d &+& 0j_e &= 0 \\
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\text{II} && && 0j_b &+& 0j_c && && &= 0 \\
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\text{III} && && j_b &-& 3j_c && && &= 0 \\
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\text{IV} && \; j_a &+& 2j_b &-& 6j_c &-& 2j_d &+& j_e &= 0
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\end{alignat*}
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Somit stellt II keine Bedingung mehr auf und I und III sind identisch. Wir verbleiben also mit III und IV. III kann so umgestellt werden: \(j_b = 3j_c\). Im Folgenden können wir also \(j_b\) durch \(3j_c\) ersetzen.
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\begin{alignat*}{7}
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\text{I} && && 3j_c &-& 3j_c && && &= 0 \\
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\text{II} && && && && && 0 &= 0 \\
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\text{III} && && 3j_c &-& 3j_c && && &= 0 \\
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\text{IV} && \; j_a &+& 2(3j_c) &-& 6j_c &-& 2j_d &+& j_e &= 0
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\end{alignat*}
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Aus IV ergibt sich nach Auflösen und Zusammenfassen folgende Gleichung: \(j_a - 2j_d + j_e = 0\). Nach Umstellen nach \(j_d\) ergibt sich daraus \(2j_d = j_a + j_e\). Aus dieser Gleichung ergibt sich, dass die Summe von \(j_a\) und \(j_e\) eine gerade Zahl sein muss. Dies ist dann der Fall, wenn beide Summanden gerade oder ungerade sind. Wenn die Summanden gerade sind, dann muss einer der beiden 2 sein oder sie können solange durch 2 geteilt werden bis dies gilt.
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Aus diesen Gleichungen ergeben sich folgende Bedingungen für die einzelnen Werte:
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\begin{itemize}
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\item \(j_c\) beliebig
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\item \(j_b = 3j_c\)
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\item \(j_d\) beliebig
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\item \(0 < j_a < 2j_d\) beliebig unter dieser Bedingung
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\item \(j_e = 2j_d - j_a\)
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\end{itemize}
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Als Menge der T-Invarianten ergibt sich daher: \(\{(a,3c,c,d,e)^{tr} | a,c,d,e \in \mathbb{N}^+ \wedge a < 2d \wedge e = 2d -a\}\).
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\subsection{}
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Es sei \(\psi = (1, 3, 1, 1, 1)^{tr}\). Die Startmarkierung \(\textbf{m}_0\) sei \((3, 3, 0, 0)^{tr}\). Daraus ergibt sich die Schaltfolge \(w = b^3caed\). Mit den erreichten Zwischenmarkierungen sieht die Schaltfolge dann so aus:
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\begin{alignat*}{2}
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\textbf{m}_0 &\overset{b}{\rightarrow} (2, 2, 1, 2)^{tr} \overset{b}{\rightarrow} (1, 1, 2, 4)^{tr} \overset{b}{\rightarrow} (0, 0, 3, 6)^{tr} \overset{c}{\rightarrow} (3, 3, 0, 0)^{tr} \overset{a}{\rightarrow} (2, 3, 0, 1)^{tr} \\
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&\overset{e}{\rightarrow} (1, 3, 0, 2)^{tr} \overset{d}{\rightarrow} (3, 3, 0, 0)^{tr}
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\end{alignat*}
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\section{} %10.4
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\section{} %10.5
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\end{document}
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