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FGI2: Aufgabe 2.3.3 fertiggestellt

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Jim Martens
2014-10-22 10:34:29 +02:00
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fgi2/Blatt2/Aufgabenblatt2.tex
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@ -74,17 +74,37 @@
\caption{Büchi-Automat \(A'_{2.3}\), der \((L(A_{2.3}))^{\omega}\) akzeptiert.} \caption{Büchi-Automat \(A'_{2.3}\), der \((L(A_{2.3}))^{\omega}\) akzeptiert.}
\label{fig:1} \label{fig:1}
\end{figure} \end{figure}
Es sind zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen. Die erste Richtung besagt \(L^{\omega}(A'_{2.3}) \subseteq (L(A_{2.3}))^{\omega}\) und die zweite \((L(A_{2.3}))^{\omega} \subseteq L^{\omega}(A'_{2.3})\). Es gelte \(A'_{2.3} = (Q', \Sigma ', \delta ', Q'^{0}, F')\). Desweiteren gelte \(A_{2.3} = (Q, \Sigma, \delta, Q^{0}, F)\). Für die Konstruktion von \(A'_{2.3}\) siehe \fref{fig:1}. Es sind zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen. Die erste Richtung besagt \(L^{\omega}(A'_{2.3}) \subseteq (L(A_{2.3}))^{\omega}\) und die zweite \((L(A_{2.3}))^{\omega} \subseteq L^{\omega}(A'_{2.3})\). Es gelte \(A'_{2.3} = (Q', \Sigma ', \delta ', Q'^{0}, F')\). Desweiteren gelte \(A_{2.3} = (Q, \Sigma, \delta, Q^{0}, F)\). Für die Konstruktion von \(A'_{2.3}\) siehe \fref{fig:1}. Anhand der Konstruktion ist ersichtlich, dass \(F = F'\), sowie \(Q^{0} = Q'^{0}\) und \(Q \subseteq Q'\) gelten.
Zunächst wird \(L^{\omega}(A'_{2.3}) \subseteq (L(A_{2.3}))^{\omega}\) gezeigt. Zunächst wird \((L(A_{2.3}))^{\omega} \subseteq L^{\omega}(A'_{2.3})\) gezeigt.
\begin{alignat*}{2} \begin{alignat*}{2}
w \in L^{\omega}(A'_{2.3}) &\Rightarrow & A'_{2.3} \text{ akzeptiert }w \\ w \in (L(A_{2.3}))^{\omega} &\Rightarrow & \exists w_{det} = c_{0}c_{1}...c_{i} | i \in \mathbb{N} : w_{det} \text{ wird von \(A_{2.3}\) akzeptiert} \\
&\Rightarrow & \exists \text{ Erfolgsrechnung von \(A'_{2.3}\) auf }w \\ &\Rightarrow & w = (w_{det})^{\omega} \\
&\Rightarrow & \exists p = z_{0}z_{1}z_{2}... | z_{0} \in Q'^{0} \wedge F' \cap inf(p) \neq \emptyset \\ &\Rightarrow & \exists \text{ Erfolgsrechnung von \(A_{2.3}\) auf \(w_{det}\)} \\
&\Rightarrow & \exists z_{i} \text{ in } p | i \in \mathbb{N} : z_{i} \in F' &\Rightarrow & \exists p_{det} = z_{0}z_{1}z_{2}...z_{i} | \exists i \in \mathbb{N} : z_{0} \in Q^{0} \wedge z_{i} \in F \\
&\Rightarrow & \exists p = p_{det}s_{0}s_{1}...s_{i}... | \exists i \in \mathbb{N} : s_{i} \in F \wedge s_{i+1} = s_{0} \\
&\Rightarrow & F \cap inf(p) \neq \emptyset \\
&\Rightarrow & F' \cap inf(p) \neq \emptyset \\
&\Rightarrow & w \in L^{\omega}(A'_{2.3})
\end{alignat*} \end{alignat*}
Es bleibt noch zu zeigen, dass \(L^{\omega}(A'_{2.3}) \subseteq (L(A_{2.3}))^{\omega}\) gilt.
\begin{alignat*}{2}
w \in L^{\omega}(A'_{2.3}) &\Rightarrow & w \text{ wird von \(A'_{2.3}\) akzeptiert} \\
&\Rightarrow & \exists \text{ Erfolgsrechnung von \(A'_{2.3}\) auf \(w\)} \\
&\Rightarrow & \exists p = z_{0}z_{1}z_{2}... | i \in \mathbb{N} : z_{0} \in Q'^{0} \wedge F' \cap inf(p) \neq \emptyset \\
&\Rightarrow & z_{0} \in Q^{0} \wedge F \cap inf(p) \neq \emptyset \\
&\Rightarrow & \exists p_{det} = z_{0}z_{1}z_{2}...z_{i} | \exists i \in \mathbb{N} : z_{0} \in Q^{0} \wedge z_{i} \in F \\
&\Rightarrow & p = p_{det}s_{0}s_{1}...s_{i}... | \exists i \in \mathbb{N} : s_{i} \in F \wedge s_{i+1} = s_{0} \\
&\Rightarrow & \exists w_{det} \text{ welches von \(A_{2.3}\) akzeptiert wird} \\
&\Rightarrow & w = (w_{det})^{\omega} \\
&\Rightarrow & w \in (L(A_{2.3}))^{\omega}
\end{alignat*}
Damit ist die Korrektheit des konstruierten Automaten gezeigt.
\section{} %2.4 \section{} %2.4
\subsection{} % 1. \subsection{} % 1.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}