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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\pgfplotsset{compat=1.8}
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\pagenumbering{arabic}
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% ensures that paragraphs are separated by empty lines
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\parskip 12pt plus 1pt minus 1pt
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\parindent 0pt
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% define how the sections are rendered
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\def\thesection{2.\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\arabic{subsection}.}
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\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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% some matrix magic
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Benjamin Kuffel, Jim Martens, Sabrina Mehrens\\Gruppe 6}
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\title{Hausaufgaben zum 27. Oktober}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{} %2.3
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\subsection{} % 1.
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\[L(A_{2.3}) = a \cdot (ba^{*}c)^{*} + bc(abc)^{*} \cdot (a + e)\]
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\[L^{\omega}(A_{2.3}) = a(ba^{*}c)^{\omega} + bc(abc)^{\omega}\]
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\[(L(A_{2.3}))^{\omega} = (a \cdot (ba^{*}c)^{*} + bc(abc)^{*} \cdot (a + e))^ {\omega}\]
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\subsection{} % 2.
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Es sei \(w_{1}\) ein Wort aus der Sprache \(L^{\omega}(A_{2.3})\) und \(w_{2}\) ein Wort aus der Sprache \((L(A_{2.3}))^{\omega}\). Es gelte \(w_{1} = bc(abc)^{\omega}\) und \(w_{2} = (bcabce)^{\omega}\).
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Bei der Sprache \(L^{\omega}(A_{2.3})\) hat man Wörter, die zum Teil aus unendlich oft auftretenden Zeichenfolgen bestehen. Die Sprache \((L(A_{2.3}))^{\omega}\) enthält alle Wörter der Sprache \(L(A_{2.3})\), welche unendlich oft hintereinander kommen können. Die erste Sprache enthält zum Beispiel nicht das Wort \(w_{2}\), da es auf \(e\) endet und dieser Endzustand nicht unendlich oft durchlaufen werden kann.
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\subsection{} % 3.
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\begin{figure}
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\begin{tikzpicture}[node distance=2cm]
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\node[state,initial] (q0) {\(q_{0}\)};
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\node[state,accepting] (q1) [below=of q0] {\(q_{1}\)};
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\node[state] (q2) [right=of q1] {\(q_{2}\)};
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\node[state] (q3) [right=of q0] {\(q_{3}\)};
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\node[state] (q4) [right=of q3] {\(q_{4}\)};
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\node[state,accepting] (q6) [right=of q4] {\(q_{6}\)};
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\node[state,accepting] (q5) [below=of q4] {\(q_{5}\)};
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\node[state] (q7) [below=of q1] {\(q_{7}\)};
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\path[->] (q0) edge node [above] {\(b\)} (q3)
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(q0) edge node [left] {\(a\)} (q1)
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(q1) edge[bend left] node [above] {\(b\)} (q2)
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(q2) edge[loop below] node [below] {\(a\)} (q2)
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(q2) edge[bend left] node [below] {\(c\)} (q1)
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(q3) edge node [above] {\(c\)} (q4)
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(q4) edge node [right] {\(a\)} (q5)
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(q5) edge node [below left] {\(b\)} (q3)
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(q4) edge node [above] {\(e\)} (q6)
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(q6) edge[bend right] node [above] {\(b\)} (q3)
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(q1) edge node [left] {\(a\)} (q7)
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(q7) edge node [below right] {\(b\)} (q2);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Büchi-Automat \(A'_{2.3}\), der \((L(A_{2.3}))^{\omega}\) akzeptiert.}
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\label{fig:1}
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\end{figure}
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Es sind zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen. Die erste Richtung besagt \(L^{\omega}(A'_{2.3}) \subseteq (L(A_{2.3}))^{\omega}\) und die zweite \((L(A_{2.3}))^{\omega} \subseteq L^{\omega}(A'_{2.3})\). Es gelte \(A'_{2.3} = (Q', \Sigma ', \delta ', Q'^{0}, F')\). Desweiteren gelte \(A_{2.3} = (Q, \Sigma, \delta, Q^{0}, F)\). Für die Konstruktion von \(A'_{2.3}\) siehe \fref{fig:1}. Anhand der Konstruktion ist ersichtlich, dass \(F = F'\), sowie \(Q^{0} = Q'^{0}\) und \(Q \subseteq Q'\) gelten.
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Zunächst wird \((L(A_{2.3}))^{\omega} \subseteq L^{\omega}(A'_{2.3})\) gezeigt.
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\begin{alignat*}{2}
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w \in (L(A_{2.3}))^{\omega} &\Rightarrow & \exists w_{det} = c_{0}c_{1}...c_{i} | i \in \mathbb{N} : w_{det} \text{ wird von \(A_{2.3}\) akzeptiert} \\
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&\Rightarrow & w = (w_{det})^{\omega} \\
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&\Rightarrow & \exists \text{ Erfolgsrechnung von \(A_{2.3}\) auf \(w_{det}\)} \\
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&\Rightarrow & \exists p_{det} = z_{0}z_{1}z_{2}...z_{i} | \exists i \in \mathbb{N} : z_{0} \in Q^{0} \wedge z_{i} \in F \\
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&\Rightarrow & \exists p = p_{det}s_{0}s_{1}...s_{i}... | \exists i \in \mathbb{N} : s_{i} \in F \wedge s_{i+1} = s_{0} \\
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&\Rightarrow & F \cap inf(p) \neq \emptyset \\
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&\Rightarrow & F' \cap inf(p) \neq \emptyset \\
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&\Rightarrow & w \in L^{\omega}(A'_{2.3})
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\end{alignat*}
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Es bleibt noch zu zeigen, dass \(L^{\omega}(A'_{2.3}) \subseteq (L(A_{2.3}))^{\omega}\) gilt.
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\begin{alignat*}{2}
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w \in L^{\omega}(A'_{2.3}) &\Rightarrow & w \text{ wird von \(A'_{2.3}\) akzeptiert} \\
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&\Rightarrow & \exists \text{ Erfolgsrechnung von \(A'_{2.3}\) auf \(w\)} \\
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&\Rightarrow & \exists p = z_{0}z_{1}z_{2}... | i \in \mathbb{N} : z_{0} \in Q'^{0} \wedge F' \cap inf(p) \neq \emptyset \\
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&\Rightarrow & z_{0} \in Q^{0} \wedge F \cap inf(p) \neq \emptyset \\
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&\Rightarrow & \exists p_{det} = z_{0}z_{1}z_{2}...z_{i} | \exists i \in \mathbb{N} : z_{0} \in Q^{0} \wedge z_{i} \in F \\
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&\Rightarrow & p = p_{det}s_{0}s_{1}...s_{i}... | \exists i \in \mathbb{N} : s_{i} \in F \wedge s_{i+1} = s_{0} \\
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&\Rightarrow & \exists w_{det} \text{ welches von \(A_{2.3}\) akzeptiert wird} \\
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&\Rightarrow & w = (w_{det})^{\omega} \\
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&\Rightarrow & w \in (L(A_{2.3}))^{\omega}
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|
\end{alignat*}
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Damit ist die Korrektheit des konstruierten Automaten gezeigt.
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\section{} %2.4
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\subsection{} % 1.
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\begin{enumerate}
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\item Voraussetzen, dass \(W\) regulär und \(U\) \(\omega\)-regulär ist
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\item Zeigen, dass jedes Wort aus \(W \cdot U\) mit einem Wort aus \(U\) endet
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\item Zeigen, dass jedes Wort aus \(W \cdot U\) mindestens einen Endzustand unendlich durchläuft
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\end{enumerate}
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\subsection{} % 2.
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\begin{enumerate}
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\item endlichen Automaten zu \(W\) konstruieren
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\item Büchi-Automaten zu \(U\) konstruieren
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\item Kantenbeziehungen von jedem Endzustand des endlichen Automaten (folgend: \(A_{W}\)) zu den Folgezuständen des Startzustands des Büchi-Automaten (folgend: \(A_{U}\) ergänzen
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\item Startzustand von \(A_{U}\) zu normalem Status degradieren
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\item Endzustände von \(A_{W}\) zu normalen Stati degradieren
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\end{enumerate}
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\subsection{} % 3.
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\subsection{} % 4.
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\end{document}
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