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AD-1: 3a geloest.

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Jim Martens 2013-10-20 13:43:52 +02:00
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85
ad/Uebungsblatt01.tex
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\section{} %3
\subsection{} %a
\underline{Behauptung:} Die Formel
\begin{alignat*}{2}
\begin{pmatrix}
F_{n} \\
F_{n+1}
\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}^{n} \cdot \begin{pmatrix}
F_{0} \\
F_{1}
\end{pmatrix}
\end{alignat*}
gilt für $n \geq 0$.\\
\underline{Induktionsanfang:}\\
\begin{alignat*}{2}
\begin{pmatrix}
F_{0} \\
F_{1}
\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}^{0} \cdot \begin{pmatrix}
F_{0} \\
F_{1}
\end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
F_{0} \\
F_{1}
\end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}
F_{0} \\
F_{1}
\end{pmatrix}
\end{alignat*}\\
\underline{Induktionsannahme:} Die Behauptung gilt für ein beliebig fest gewähltes $n$.\\
\underline{Zu zeigen:}
\begin{alignat*}{2}
\begin{pmatrix}
F_{n+1} \\
F_{n+2}
\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}^{n+1} \cdot \begin{pmatrix}
F_{0} \\
F_{1}
\end{pmatrix}
\end{alignat*}
\underline{Induktionsschritt:}
\begin{alignat*}{2}
\begin{pmatrix}
F_{n+1} \\
F_{n+2}
\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
F_{n} \\
F_{n+1}
\end{pmatrix} \\
\intertext{Anwenden der Induktionsannahme}
&=& \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}^{n} \cdot \begin{pmatrix}
F_{0} \\
F_{1}
\end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}^{n+1} \cdot \begin{pmatrix}
F_{0} \\
F_{1}
\end{pmatrix}
\end{alignat*}
Nach dem Induktionsprinzip folgt aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt die Behauptung.
\subsection{} %b
$X^{64}$ kann geschickter berechnet werden, wenn man die Ergebnisse von vorigen Multiplikationen speichert. Damit lässt sich $X^{64}$ auf diese Weise berechnen:\\
\begin{alignat*}{3}