From 0c5b2288f22c3fa348a60a3f7678886f66fd1b78 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jim Martens <jim1@live.de>
Date: Sun, 20 Oct 2013 13:43:52 +0200
Subject: [PATCH] AD-1: 3a geloest.

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 ad/Uebungsblatt01.tex | 85 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 84 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/ad/Uebungsblatt01.tex b/ad/Uebungsblatt01.tex
index 469f8dd..d43ee70 100644
--- a/ad/Uebungsblatt01.tex
+++ b/ad/Uebungsblatt01.tex
@@ -105,7 +105,90 @@
 	
 \section{} %3
 	\subsection{} %a
-	
+		\underline{Behauptung:} Die Formel
+		\begin{alignat*}{2}
+			\begin{pmatrix}
+		 		F_{n} \\
+		 		F_{n+1}
+			\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}
+		 		0 & 1 \\
+			 	1 & 1
+			\end{pmatrix}^{n} \cdot \begin{pmatrix}
+			 	F_{0} \\
+				F_{1}
+			\end{pmatrix} 	
+		\end{alignat*}
+		gilt für $n \geq 0$.\\
+		\underline{Induktionsanfang:}\\
+		\begin{alignat*}{2}
+			\begin{pmatrix}
+				F_{0} \\
+				F_{1}
+			\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}
+				0 & 1 \\
+			 	1 & 1
+			\end{pmatrix}^{0} \cdot \begin{pmatrix}
+			 	F_{0} \\
+				F_{1}
+			\end{pmatrix} \\
+			&=& \begin{pmatrix}
+				1 & 0 \\
+			 	0 & 1
+			\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
+			 	F_{0} \\
+				F_{1}
+			\end{pmatrix} \\
+			&=& \begin{pmatrix}
+			 	F_{0} \\
+				F_{1}
+			\end{pmatrix}
+		\end{alignat*}\\
+		\underline{Induktionsannahme:} Die Behauptung gilt für ein beliebig fest gewähltes $n$.\\
+		\underline{Zu zeigen:} 
+		\begin{alignat*}{2}
+			\begin{pmatrix}
+		 		F_{n+1} \\
+		 		F_{n+2}
+			\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}
+		 		0 & 1 \\
+			 	1 & 1
+			\end{pmatrix}^{n+1} \cdot \begin{pmatrix}
+			 	F_{0} \\
+				F_{1}
+			\end{pmatrix} 
+		\end{alignat*}
+		\underline{Induktionsschritt:}
+		\begin{alignat*}{2}
+			\begin{pmatrix}
+		 		F_{n+1} \\
+		 		F_{n+2}
+			\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}
+		 		0 & 1 \\
+			 	1 & 1
+			\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
+			 	F_{n} \\
+				F_{n+1}
+			\end{pmatrix} \\
+			\intertext{Anwenden der Induktionsannahme}
+			&=& \begin{pmatrix}
+		 		0 & 1 \\
+			 	1 & 1
+			\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
+		 		0 & 1 \\
+			 	1 & 1
+			\end{pmatrix}^{n} \cdot \begin{pmatrix}
+			 	F_{0} \\
+				F_{1}
+			\end{pmatrix} \\
+			&=& \begin{pmatrix}
+		 		0 & 1 \\
+			 	1 & 1
+			\end{pmatrix}^{n+1} \cdot \begin{pmatrix}
+			 	F_{0} \\
+				F_{1}
+			\end{pmatrix}
+		\end{alignat*}
+		Nach dem Induktionsprinzip folgt aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt die Behauptung.		
 	\subsection{} %b
 	$X^{64}$ kann geschickter berechnet werden, wenn man die Ergebnisse von vorigen Multiplikationen speichert. Damit lässt sich $X^{64}$ auf diese Weise berechnen:\\
 	\begin{alignat*}{3}