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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\def\thesection{\arabic{section})}
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\def\thesubsection{(\alph{subsection})}
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\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Tronje Krabbe, Jim Martens, Julian Tobergte}
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\title{Hausaufgaben zum 22. Oktober}
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\maketitle
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\section{} %1
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\subsection{} %a
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\subsection{} %b
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\subsubsection{} %i
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Zu zeigen: für beliebige $b > 1$ gilt: $\log_{b}(n) \in \mathcal{\theta} (\log_{2}n)$\\
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Dies ist durch die Logarithmusgesetze einfach zu zeigen. $\log_{b}(n)$ kann demnach auch als $\frac{\log_{2}(n)}{\log_{2}(b)}$ dargestellt werden. Dabei geht dieser Term asymptotisch gegen $\log_{2}(n)$, da $\log_{2}(b)$ eine Konstante ist und daher nicht beachtet werden muss. Damit ist die Aussage gezeigt, dass $\log_{b}(n)$ für $b > 1$ asymptotisch genau so schnell wächst wie $\log_{2}(n)$.
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\subsubsection{} %ii
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Behauptung: $f \in \mathcal{O}(g) \Rightarrow g \in \omega (f)$\\
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Diese Behauptung gilt nicht. Dies kann mithilfe der Definition der Landau-Symbole erklärt werden. $f \in \mathcal{O}(g)$ besagt, dass $f$ maximal so schnell wie $g$ wächst. Dabei ist auch der Fall enthalten, dass $f$ und $g$ gleich schnell wachsen.
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Der zweite Teil der Behauptung erfordert jedoch, dass $g$ in jedem Fall schneller als $f$ wächst. Dies steht aber im Widerspruch zu dem ersten Teil der Behauptung. Damit ist die Behauptung widerlegt.
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\subsubsection{} %iii
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\section{} %2
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\subsection{} %a
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\subsection{} %b
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\section{} %3
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\subsection{} %a
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\subsection{} %b
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$X^{64}$ kann geschickter berechnet werden, wenn man die Ergebnisse von vorigen Multiplikationen speichert. Damit lässt sich $X^{64}$ auf diese Weise berechnen:\\
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\begin{alignat*}{3}
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& X &\cdot & X &=& X^{2} \\
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& X^{2} &\cdot & X^{2} &=& X^{4} \\
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& X^{4} &\cdot & X^{4} &=& X^{8} \\
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& X^{8} &\cdot & X^{8} &=& X^{16} \\
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& X^{16} &\cdot & X^{16} &=& X^{32} \\
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& X^{32} &\cdot & X^{32} &=& X^{64}
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\end{alignat*}
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Auf eben gezeigte Weise kann man $X^{64}$ mit nur $6$ Multiplikationen ausrechnen.
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\subsection{} %c
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\end{document}
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