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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
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\pagenumbering{arabic}
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\def\thesection{\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\alph{subsection})}
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\def\thesubsubsection{(\arabic{subsubsection})}
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\begin{document}
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\author{Jim Martens}
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\title{Hausaufgaben zum 13./14. Dezember}
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\maketitle
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\section{} %1
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\subsection{} %a
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Ja, die Graphen sind isomorph.
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In Graph G gibt es vier Knoten mit je vier abgehenden Kanten und vier Knoten mit je drei abgehenden Kanten.
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In Graph G' gibt es ebenfalls vier Knoten mit vier abgehenden Kanten und auch vier Knoten mit je drei abgehenden Kanten.
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Die Knoten seien von oben links beginnend im Uhrzeigersinn aufsteigend nummeriert. Die äußeren vier Knoten im Graph G haben die Bezeichnungen 1,2,3 und 4. Die inneren vier Knoten (auch oben links beginnend) haben die Bezeichnungen 5,6,7 und 8.
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Im Graph G' werden die Knoten in gleicher Weise mit Buchstaben bezeichnet. Somit ergeben sich für die äußeren Knoten a,b,c und d, sowie e,f,g, und h für die inneren Knoten (jeweils oben links beginnend).
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Damit gebe es folgende Abbildung $f: G \rightarrow G'$:\\
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\begin{alignat*}{2}
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f(1) &=& b \\
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f(2) &=& a \\
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f(3) &=& c \\
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f(4) &=& d \\
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f(5) &=& f \\
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f(6) &=& e \\
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f(7) &=& g \\
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f(8) &=& h
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\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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Alle drei Graphen sind isomorph zueinander.
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\section{} %2
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\subsection{} %a
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G hat $\frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ Kanten.
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\subsection{} %b
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Es gibt $\binom{10}{3} = 120$ Kreise mit der Länge $3$ in G.
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\subsection{} %c
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Es gibt $\binom{10}{4} = 210$ Kreise mit der Länge $4$ in G.
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\subsection{} %d
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Es gibt $\binom{10}{4}$ Möglichkeiten vier Knoten aus zehn zu nehmen. Für jede dieser vier Knoten gibt es zwei Möglichkeiten die Diagonale zu wählen. Es ergeben sich daher $\binom{10}{4} \cdot 2 = 210 \cdot 2 = 420$ Möglichkeiten einen solchen Teilgraphen aus G zu nehmen.
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\section{} %3
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\subsection{} %a
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%\begin{figure}[h!]
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$n=4$:\\
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\begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,node distance=1.1cm,on grid]
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%h1
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\node (v1) {$v_{1}$};
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\node (v2) [below=of v1] {$v_{2}$};
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\node (v3) [right=of v2] {$v_{3}$};
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\node (v4) [right=of v1] {$v_{4}$};
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\path[every node/.style={font=\scriptsize}]
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(v1) edge (v2)
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(v1) edge (v3)
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(v1) edge (v4)
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(v2) edge (v3)
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(v2) edge (v4)
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(v3) edge (v4);
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%h2
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\node (v5) [right=2 of v4] {$v_{5}$}
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edge [bend right] (v1)
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edge [bend left=50] (v2)
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edge (v4)
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edge [bend left] (v3);
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\node (v6) [below=of v5] {$v_{6}$}
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edge [bend right=50] (v1)
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|
edge [bend right] (v4)
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edge (v3)
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|
edge [bend left] (v2);
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|
\node (v7) [right=of v6] {$v_{7}$}
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|
edge [bend left=60] (v1)
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|
edge [bend left] (v4)
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|
edge [bend left] (v3)
|
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edge [bend left] (v2);
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\node (v8) [right=of v5] {$v_{8}$}
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|
edge [bend right] (v1)
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edge [bend right=60] (v2)
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edge [bend right] (v4)
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|
edge [bend right] (v3);
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\path[every node/.style={font=\scriptsize}]
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(v5) edge (v6)
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(v5) edge (v7)
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(v5) edge (v8)
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(v6) edge (v7)
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(v6) edge (v8)
|
|
(v7) edge (v8);
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|
\end{tikzpicture}
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$n=6$:\\
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\begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,node distance=1.1cm,on grid]
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%h1
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\node (v1) {$v_{1}$};
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|
\node (v2) [below left=of v1] {$v_{2}$};
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\node (v3) [below right=of v2] {$v_{3}$};
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|
\node (v4) [right=of v3] {$v_{4}$};
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|
\node (v5) [above right=of v4] {$v_{5}$};
|
|
\node (v6) [above left=of v5] {$v_{6}$};
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\path[every node/.style={font=\scriptsize}]
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(v1) edge (v2)
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(v1) edge (v6)
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(v1) edge (v4)
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(v2) edge (v3)
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(v2) edge (v5)
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(v3) edge (v4)
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(v3) edge (v6)
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(v4) edge (v5)
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(v5) edge (v6);
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%h2
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\node (v7) [right=2.5 of v6] {$v_{7}$}
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edge (v6)
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edge [bend right=10] (v5)
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|
edge (v4)
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edge [bend right] (v1)
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edge [bend right=70] (v2)
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|
edge [bend right=30] (v3);
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\node (v8) [below left=of v7] {$v_{8}$}
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edge (v5)
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edge [bend right=10] (v6)
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edge [bend left=10] (v4)
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edge [bend right=87] (v2)
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|
edge [bend right=10] (v1)
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edge [bend left=10] (v3);
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\node (v9) [below right=of v8] {$v_{9}$}
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|
edge (v4)
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|
edge [bend left=10] (v5)
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edge (v6)
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|
edge [bend left] (v3)
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edge [bend left=70] (v2)
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|
edge [bend left=30] (v1);
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\node (v10) [right=of v9] {$v_{10}$}
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|
edge [bend left] (v3)
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|
edge [bend left] (v4)
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edge [bend left] (v5)
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edge [bend left=60] (v2)
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edge [bend right=15] (v6)
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|
edge [bend left=40] (v1);
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\node (v11) [above right=of v10] {$v_{11}$}
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|
edge [bend right=15] (v5)
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|
edge (v6)
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edge (v4)
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edge [bend right=85] (v2)
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|
edge [bend right=45] (v1)
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|
edge [bend left=45] (v3);
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\node (v12) [above left=of v11] {$v_{12}$}
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edge [bend right] (v1)
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edge [bend right] (v6)
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edge [bend right] (v5)
|
|
edge [bend right=60] (v2)
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|
edge [bend left=15] (v4)
|
|
edge [bend right=40] (v3);
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\path[every node/.style={font=\scriptsize}]
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(v7) edge (v8)
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(v7) edge (v9)
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(v7) edge (v10)
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(v7) edge (v11)
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(v7) edge (v12)
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(v8) edge (v9)
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(v8) edge (v10)
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(v8) edge (v11)
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(v8) edge (v12)
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(v9) edge (v10)
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(v9) edge (v11)
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(v9) edge (v12)
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(v10) edge (v11)
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(v10) edge (v12)
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(v11) edge (v12);
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\end{tikzpicture}
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%\end{figure}
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\subsection{} %b
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Es ist zu zeigen, dass $|E(G)| = \frac{3}{2}n^{2} + n$ gilt.\\
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In der Zusammenhangskomponente $H_{1}$ hat jeder Knoten den Grad $3$. Bei $n$ Knoten ergibt dies $\frac{3n}{2}$ Kanten in $H_{1}$. In der Zusammenhangskomponente $H_{2}$ gibt es auch $n$ Knoten und jeder Knoten ist mit jedem verbunden. Es ergeben sich also dort $\frac{n \cdot (n-1)}{2}$ Kanten. In $G$ gibt es nun zusätzlich zwischen jedem Knoten aus $H_{1}$ und $H_{2}$ eine Kante, wodurch sich $\frac{n \cdot n}{2}$ Kanten für die Verbindungen ergeben. Zusammengefasst ergibt sich:\\
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\begin{alignat*}{2}
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|E(G)| &=& \frac{3n + n \cdot (n-1) + n \cdot n}{2} \\
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&=& \frac{3n + n^{2} -n + n^{2}}{2} \\
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&=& \frac{2n + 2n^{2}}{2} \\
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&=& n + n^{2}
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\end{alignat*}
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Die zu zeigende Formel gilt augenscheinlich nicht.
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\subsection{} %c
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Für $n=4$ startet man bei $v_{4}$, geht zu $v_{1}$, dann $v_{2}$, $v_{3}$, weiter zu $v_{6}$, $v_{7}$, $v_{8}$, $v_{5}$, dann wieder zurück zu $v_{4}$.
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\subsection{} %d
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$G$ besitzt keine Eulersche Linie, da der Grad jedes Knotens $2n-1$ beträgt. Für die Existenz einer Eulerschen Linie muss jeder Knoten einen geraden Grad besitzen.
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\section{} %4
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\subsection{} %a
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$P(M)$ enthält $2^{n} = 2^{4} = 16$ Elemente. Es gilt:\\
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\begin{alignat*}{2}
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P(M) &=& \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{b,c\}, \{b,d\}, \{c,d\}, \\
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&& \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\}, \{a,b,c,d\}\}
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\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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\begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,node distance=1.1cm,on grid]
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\node (empty) {$\emptyset$};
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\node (a) [above left=1.5 and 2.0 of empty] {$\{a\}$};
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\node (b) [right=1.25 of a] {$\{b\}$};
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\node (c) [right=1.25 of b] {$\{c\}$};
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|
\node (d) [right=1.25 of c] {$\{d\}$};
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|
\node (ab) [above left=1.5 and 0.5 of a] {$\{a,b\}$};
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|
\node (ac) [right=1.0 of ab] {$\{a,c\}$};
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\node (ad) [right=2.0 of ab] {$\{a,d\}$};
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|
\node (bc) [right=3.0 of ab] {$\{b,c\}$};
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|
\node (bd) [right=4.0 of ab] {$\{b,d\}$};
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|
\node (cd) [right=5.0 of ab] {$\{c,d\}$};
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|
\node (abc) [above=3.0 of a] {$\{a,b,c\}$};
|
|
\node (abd) [above=3.0 of b] {$\{a,b,d\}$};
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|
\node (acd) [above=3.0 of c] {$\{a,c,d\}$};
|
|
\node (bcd) [above=3.0 of d] {$\{b,c,d\}$};
|
|
\node (abcd) [above=6.0 of empty] {$\{a,b,c,d\}$};
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\path[every node/.style={font=\scriptsize}]
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(empty) edge (a)
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(empty) edge (b)
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(empty) edge (c)
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(empty) edge (d)
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(a) edge (ab)
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(a) edge (ac)
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(a) edge (ad)
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(b) edge (ab)
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(b) edge (bc)
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(b) edge (bd)
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(c) edge (ac)
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(c) edge (bc)
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(c) edge (cd)
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(d) edge (ad)
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(d) edge (bd)
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|
(d) edge (cd)
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(ab) edge (abc)
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(ac) edge (abc)
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(bc) edge (abc)
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(ab) edge (abd)
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(ad) edge (abd)
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(bd) edge (abd)
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|
(ac) edge (acd)
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(ad) edge (acd)
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(cd) edge (acd)
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(bc) edge (bcd)
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(bd) edge (bcd)
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(cd) edge (bcd)
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(abc) edge (abcd)
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(abd) edge (abcd)
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(acd) edge (abcd)
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(bcd) edge (abcd);
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\end{tikzpicture}
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\subsection{} %c
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Solch ein Graph kam auf dem Übungsblatt (Präsenz- und Hausaufgaben) nicht vor. Entweder hat keiner der Graphen $16$ Knoten und/oder die Knoten haben nicht alle den Grad $4$. Von daher kann die Eigenschaft der Isomorphie von vornherein verneint werden.
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\end{document}
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