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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
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\usepackage{polynom}
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\polyset{style=C, div=:,vars=x}
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\pgfplotsset{compat=1.8}
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\pagenumbering{arabic}
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\def\thesection{\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\alph{subsection})}
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\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Jim Martens (6420323)}
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\title{Hausaufgaben zum 4. Juli}
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\maketitle
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\section{} %1
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\subsection{} %a
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\begin{alignat*}{2}
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f(x,y,z) &=& 2x^{2} + y^{2} + 4z^{2} - 2yz - 2x - 6y + 8 \\
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I f_{x} &=& 4x - 2 = 0\\
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II f_{y} &=& 2y - 7z - 6 = 0\\
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III f_{z} &=& 8z - 2y = 0 \\
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I &\Rightarrow & 4x - 2 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & 4x = 2 \\
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&\Leftrightarrow & x = \frac{1}{2} \\
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III &\Rightarrow & 8z - 2y = 0 \\
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&\Leftrightarrow & 8z = 2y \\
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&\Leftrightarrow & 4z = y \\
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II &\Rightarrow & 2 \cdot 4z - 7z - 6 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & 8z - 7z = 6 \\
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&\Leftrightarrow & z = 6 \\
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III &\Rightarrow & 4 \cdot 6 = y \\
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&\Leftrightarrow & 24 = y \\
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\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an ($\frac{1}{2}, 24, 6$).}
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f_{xx} &=& 4 \\
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f_{yx} &=& 0 \\
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f_{zx} &=& 0 \\
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f_{xy} &=& 0 \\
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f_{yy} &=& 2 \\
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f_{zy} &=& -7 \\
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f_{xz} &=& 0 \\
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f_{yz} &=& -2 \\
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f_{zz} &=& 8 \\
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\intertext{Aufstellen der Hesse-Matrix}
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H &=& \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\
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0 & 2 & -7 \\
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0 & -2 & 8\end{pmatrix} \\
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\bigtriangleup_{1} &=& 4 > 0\\
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\bigtriangleup_{2} &=& 8 > 0\\
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\bigtriangleup_{3} &=& 64 - 56 = 8 > 0\\
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\intertext{Die Hesse-Matrix ist positiv definit. Daher liegt an der kritischen Stelle ein Minimum vor.}
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\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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\begin{alignat*}{2}
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grad\,f(1,1,1) &=& (4 - 2, 2 - 7 - 6, 8 - 2) \\
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&=& (2, -11, 6) \\
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||grad\,f(1,1,1)|| &=& \sqrt{2^{2} + 11^{2} + 6^{2}} \\
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&=& \sqrt{4 + 121 + 36} \\
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&=& \sqrt{161} \\
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\intertext{In Richtung von (2, -11, 6) steigt die Temperatur von (1,1,1) aus am stärksten an. In Richtung (-2, 11, -6) sinkt die Temperatur am stärksten. Die Größe des stärksten Anstiegs beträgt $\sqrt{161}$.}
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\end{alignat*}
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\section{} %2
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\subsection{} %a
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\begin{alignat*}{2}
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A &=& \begin{pmatrix}-i & -1 \\
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3 & i \end{pmatrix} \\
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B &=& \begin{pmatrix} i \\
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1 + i\end{pmatrix} \\
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C &=& \begin{pmatrix}-i & i \end{pmatrix} \\
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AB &=& \begin{pmatrix}-i \cdot i + (1+i)\cdot (-1) \\
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3i + i(1+i) \end{pmatrix} \\
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&=& \begin{pmatrix}-i^{2} - 1 - i \\
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3i + i + i^{2} \end{pmatrix} \\
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&=& \begin{pmatrix}- 1 - i \\
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|
4i - 1 \end{pmatrix} \\
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\intertext{AC existiert nicht, da A mehr Spalten hat, als C Zeilen hat.}
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BC &=& \begin{pmatrix}i \cdot (-i) & i \cdot i \\
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(1+i) \cdot (-i) & (1+i)i \end{pmatrix} \\
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&=& \begin{pmatrix}-i^{2} & i^{2} \\
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-i - i^{2} & i + i^{2} \end{pmatrix} \\
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&=& \begin{pmatrix}1 & -1 \\
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|
-i +1 & i -1 \end{pmatrix} \\
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CB &=& \begin{pmatrix}-i \cdot i + i(1+i) \end{pmatrix} \\
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|
&=& \begin{pmatrix}-i^{2} + i + i^{2} \end{pmatrix} \\
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|
&=& \begin{pmatrix}1 + i -1 \end{pmatrix} \\
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|
&=& \begin{pmatrix}i \end{pmatrix}
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|
\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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\begin{alignat*}{2}
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\overline{z} &=& \frac{3 + 2i}{4 - 3i} \\
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&=& \frac{(3 + 2i)(4+3i)}{(4 - 3i)(4+3i)} \\
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&=& \frac{12 + 9i + 8i + 6i^{2}}{16 + 12i - 12i - 9i^{2}} \\
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&=& \frac{12 - 6 + 17i}{16 + 9} \\
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&=& \frac{6 + 17i}{25} \\
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&=& \frac{6}{25} + \frac{17}{25}i \\
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z &=& \frac{6}{25} - \frac{17}{25}i \\
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a &=& \frac{6}{25} \\
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|
b &=& \frac{17}{25}
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\end{alignat*}
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\subsection{} %c
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\begin{alignat*}{2}
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z_{1} &=& -1 - i = (-1, -1) \\
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z_{2} &=& \sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot i \cdot \sin \frac{\pi}{4} \\
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&=& \sqrt{2} \cdot \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) + \sqrt{2} \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) \\
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&=& 1 + i = (1, 1) \\
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z_{3} &=& (-1 -i)(1+ i) \\
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&=& -1 - i - i - i^{2} \\
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&=& -1 + 1 - 2i = 0 - 2i = (0, -2) \\
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z_{4} &=& -1 + i = (-1, 1)
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\end{alignat*}
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\begin{tikzpicture}[>=stealth]
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\begin{axis}[
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ymin=-5,ymax=5,
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x=1cm,
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y=1cm,
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axis x line=middle,
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axis y line=middle,
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axis line style=->,
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xlabel={$\Re$},
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ylabel={$\Im$},
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xmin=-5,xmax=5
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]
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\node at (axis cs: -1,-1) {$z_{1}$};
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\node at (axis cs: 1,1) {$z_{2}$};
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|
\node at (axis cs: 0,-2) {$z_{3}$};
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|
\node at (axis cs: -1,1) {$z_{4}$};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\subsection{} %d
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\subsubsection{} %i
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In dieser Teilmenge sind alle komplexen Zahlen enthalten, die sich auf der Geraden befinden, die durch die Punkte (1,1) und (2,0) geht.
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\subsubsection{} %ii
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In der Teilmenge sind alle komplexen Zahlen enthalten, die sich auf der Kreislinie eines Kreises mit dem Radius 1 um den Punkt (1,1) befinden.
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\section{} %3
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\begin{alignat*}{2}
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f(x,y) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - xy - \frac{25}{10}y^{2} + 48x + 235y - 88 \\
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g(x,y) &=& \frac{1}{5}x + y = 40
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\end{alignat*}
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\subsection{} %a
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\begin{alignat*}{2}
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g_{x} &=& \frac{1}{5} \\
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g_{y} &=& 1 \\
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\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial g}{\partial y} (x,y)\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}\frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix} \\
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\intertext{Der Rang dieser Matrix ist für alle $x,y$ gleich 2. Damit ist die Regularitätsbedingung erfüllt.}
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L(x,y,\lambda) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - xy - \frac{25}{10}y^{2} + 48x + 235y - 88 + \lambda(\frac{1}{5}x + y - 40) \\
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I L_{x} &=& - \frac{2}{5}x - y + 48 + \lambda \cdot \frac{1}{5} = 0 \\
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II L_{y} &=& - x - 5y + 235 + \lambda = 0 \\
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III L_{\lambda} &=& \frac{1}{5}x + y - 40 = 0 \\
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II &\Rightarrow & \lambda = x + 5y - 235 \\
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I &\Rightarrow & - \frac{2}{5}x - y + 48 + (x + 5y - 235) \cdot \frac{1}{5} = 0\\
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&\Leftrightarrow & - \frac{2}{5}x - y + 48 + \frac{1}{5}x + y - 47 = 0 \\
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\intertext{Beachten der dritten Gleichung}
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&\Leftrightarrow & - \frac{1}{5}x - \frac{1}{5}x - y + 48 - 7 = 0\\
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&\Leftrightarrow & - \frac{1}{5}x + 1=\frac{1}{5}x + y - 40 \\
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|
\intertext{Beachten der dritten Gleichung}
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&\Leftrightarrow & - \frac{1}{5}x + 1 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & \frac{1}{5}x = 1 \\
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&\Leftrightarrow & x = 5 \\
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\intertext{Einsetzen in I}
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&\Rightarrow & - \frac{1}{5} \cdot 5 - \frac{1}{5} \cdot 5 - y + 48 - 7 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & - 1 - 1 - y + 41 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & -y + 39 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & y = 39 \\
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\intertext{Einsetzen in III}
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\lambda &=& \frac{1}{5} \cdot 5 + 39 - 40 \\
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&=& 1 + 39 - 40 \\
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&=& 0
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\intertext{Die einzige kritische Stelle befindet sich an (5, 39).}
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\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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\begin{alignat*}{2}
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L_{xx} &=& - \frac{2}{5} \\
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L_{yx} &=& - 1 \\
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L_{xy} &=& - 1 \\
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L_{yy} &=& - 5 \\
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|
\overline{H} &=& \begin{pmatrix}0 & \frac{1}{5} & 1 \\
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\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & -1\\
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1 & -1 & -5 \end{pmatrix} \\
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det \, \overline{H} &=& -\frac{1}{5} - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \\
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&=& \frac{1}{5} > 0 \\
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|
\intertext{An der kritischen Stelle liegt ein Maximum vor.}
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\end{alignat*}
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\section{} %4
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\begin{alignat*}{2}
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f(x,y) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - xy - \frac{25}{10}y^{2} + 48x + 235y - 88 \\
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g(x,y) &=& \frac{1}{5}x + y -40 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & y = -\frac{1}{5}x + 40 \\
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\intertext{Einsetzen in f(x,y)}
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f(x) &=& -\frac{1}{5}x^{2} - x \cdot (-\frac{1}{5}x + 40) - \frac{25}{10} \cdot (-\frac{1}{5}x + 40)^{2} + 48x + 235 \cdot (-\frac{1}{5}x + 40) - 88 \\
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&=& -\frac{1}{5}x^{2} + \frac{1}{5}x^{2} - 40x - \frac{25}{10} \cdot (\frac{1}{25}x^{2} -16x + 1600) + 48x -47x + 9400 - 88 \\
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&=& - 40x - \frac{1}{10}x^{2} + 40x - 4000 + 48x -47x + 9400 - 88 \\
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&=& - \frac{1}{10}x^{2} + x + 5312 \\
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f'(x) &=& -\frac{1}{5}x + 1 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & \frac{1}{5}x = 1 \\
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&\Leftrightarrow & x = 5 \\
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f''(x) &=& -\frac{1}{5} < 0 \\
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\intertext{Unter der Nebenbedingung g(x,y) gibt es ein lokales Maximum für x = 5.
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Einsetzen von x in die Nebenbedingung:}
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g(y) &=& \frac{1}{5} \cdot 5 + y -40 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & 1 + y - 40 = 0 \\
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&\Leftrightarrow & y - 39 = 0 \\
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|
&\Leftrightarrow & y = 39 \\
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\intertext{An der Stelle (5, 39) ist der Gewinn maximal.}
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\end{alignat*}
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\end{document}
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