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106 lines
3.8 KiB
TeX
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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
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\polyset{style=C, div=:,vars=x}
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\pgfplotsset{compat=1.8}
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\pagenumbering{arabic}
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% ensures that paragraphs are separated by empty lines
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\parskip 12pt plus 1pt minus 1pt
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\parindent 0pt
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% define how the sections are rendered
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\def\thesection{\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\alph{subsection})}
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\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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% some matrix magic
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Jan Branitz (6326955), Jim Martens (6420323),\\
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Stephan Niendorf (6242417)}
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\title{Hausaufgaben zum 13. Januar}
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\maketitle
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\section{} %1
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\subsection{} %a
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\subsubsection{} %i
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Die Knoten werden in der Reihenfolge a, b, f, c, d, g, e und t markiert.
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\begin{tabular}{c|c}
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Knoten & Markierung \\
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\hline
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s & $(-, \infty)$ \\
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a & (s, +, 38) \\
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b & (s, +, 1) \\
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f & (s, +, 2) \\
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c & (a, +, 10) \\
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d & (a, +, 38) \\
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g & (f, +, 2) \\
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e & (c, +, 10) \\
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t & (c, +, 10)
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\end{tabular}
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Es gibt keine Knoten, die unmarkiert bleiben.
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\subsubsection{} %ii
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%s, a, b, f, d, c, g, e, t
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Der Pfad $f_{0}$ führt von s über a und c nach t. Der verbesserte Fluss $f_{1}$ weist die folgenden Markierungen auf.
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\begin{tabular}{c|c}
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Knoten & Markierung \\
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\hline
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s & $(-, \infty)$ \\
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a & (s, +, 28) \\
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b & (s, +, 1) \\
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f & (s, +, 2) \\
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d & (a, +, 28) \\
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c & (b, +, 1) \\
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g & (f, +, 2) \\
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e & (d, +, 1) \\
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t & (d, +, 7)
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\end{tabular}
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\subsection{} %b
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Die Knoten, die zu S gehören, sind markiert und die Knoten, die zu T gehören, sind nicht markiert.
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\subsection{} %c
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(i) ist wahr und (ii) ist falsch.
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\subsection{} %d
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In jedem Graphen gilt $m(G) \leq c(G)$ (siehe Skript Seite 121, 11.1), weswegen (ii) falsch ist. Solange mindestens zwei Knoten nicht zum Matching gehören (je mindestens einer in X und einer in Y), können diese im besten Fall durch eine neue Matchingkante dem Matching hinzugefügt werden. In diesem Fall ist die Matchingzahl $m(G)$ also mindestens um eins höher als ein unter den beschriebenen Voraussetzungen vorhandenes Matching.
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\section{} %2
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\subsection{} %a
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\begin{tabular}{c|l}
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Durchgang & Matching \\
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\hline
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1 & $M = \{\{x_{1}, y_{1}\}\}$ \\
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2 & $M = \{\{x_{1}, y_{1}\}, \{x_{2}, y_{2}\}\}$ \\
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3 & $M = \{\{x_{1}, y_{4}\}, \{x_{2}, y_{2}\}, \{x_{3}, y_{1}\}\}$ \\
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4 & $M = \{\{x_{1}, y_{4}\}, \{x_{2}, y_{3}\}, \{x_{3}, y_{1}\}, \{x_{4}, y_{2}\}\}$ \\
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5 & $M = \{\{x_{1}, y_{4}\}, \{x_{2}, y_{3}\}, \{x_{3}, y_{1}\}, \{x_{4}, y_{2}\}, \{x_{5}, y_{5}\}\}$ \\
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|
6 & $M = \{\{x_{1}, y_{4}\}, \{x_{2}, y_{3}\}, \{x_{3}, y_{1}\}, \{x_{4}, y_{2}\}, \{x_{5}, y_{5}\}, \{x_{6}, y_{6}\}\}$ \\
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|
\end{tabular}
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\subsection{} %b
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\begin{tabular}{c|l}
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|
Durchgang & Matching \\
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|
\hline
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1 & $M = \{\{x_{1}, y_{1}\}\}$ \\
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2 & $M = \{\{x_{1}, y_{1}\}, \{x_{2}, y_{2}\}\}$ \\
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3 & $M = \{\{x_{1}, y_{3}\}, \{x_{2}, y_{2}\}, \{x_{3}, y_{1}\}\}$ \\
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4 & $M = \{\{x_{1}, y_{3}\}, \{x_{2}, y_{2}\}, \{x_{3}, y_{1}\}, \{x_{4}, y_{4}\}\}$ \\
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5 & $M = \{\{x_{1}, y_{3}\}, \{x_{2}, y_{5}\}, \{x_{3}, y_{1}\}, \{x_{4}, y_{4}\}, \{x_{5}, y_{2}\}\}$ \\
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6 & $M = \{\{x_{1}, y_{3}\}, \{x_{2}, y_{5}\}, \{x_{3}, y_{1}\}, \{x_{4}, y_{4}\}, \{x_{5}, y_{2}\}, \{x_{6}, y_{6}\}\}$ \\
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\end{tabular}
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\end{document}
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