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285 lines
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TeX
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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\usepackage{polynom}
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\polyset{style=C, div=:,vars=x}
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\pagenumbering{arabic}
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\def\thesection{\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\alph{subsection})}
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\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Jim Martens (6420323)}
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\title{Hausaufgaben zum 2. Mai}
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\maketitle
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\section{} %1
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\subsection{} %a
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\subsubsection{} %i
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\begin{alignat*}{2}
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f(x) &=& 7x^{5} + 3x^{3} + x + 1 \\
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|
f'(x) &=& 35x^{4} + 9x^{2} + 1
|
|
\end{alignat*}
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\subsubsection{} %ii
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\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& (3x^{7} - 4x^{3} + x^{2} - 3x + 1)^{8} \\
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|
f'(x) &=& 8 \cdot (3x^{7} - 4x^{3} + x^{2} - 3x + 1)^{7} \cdot (21x^{6} - 12x^{2} + 2x - 3)
|
|
\end{alignat*}
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|
\subsubsection{} %iii
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\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& (3x^{4} + 2x) \cdot \sqrt{x^{2} + 1} \\
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|
f'(x) &=& (12x^{3} + 2) \cdot \sqrt{x^{2} + 1} + (3x^{4} + 2x) \cdot \frac{2x}{2 \cdot \sqrt{x^{2} + 1}}
|
|
\end{alignat*}
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|
\subsubsection{} %iv
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\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& (x^{3} + 1) \cdot \ln (x^{4} + 3x^{2} + 1) \\
|
|
f'(x) &=& 3x \cdot \ln (x^{4} + 3x^{2} + 1) + (x^{3} + 1) \cdot \frac{4x^{3} + 6x}{x^{4} + 3x^{2} + 1}
|
|
\end{alignat*}
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|
\subsubsection{} %v
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\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& e^{x^{3} + x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x} \\
|
|
f'(x) &=& e^{x^{3} + x^{2} + 1} \cdot (3x^{2} + 2x) \cdot \sqrt{x} + e^{x^{3} + x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}
|
|
\end{alignat*}
|
|
\subsubsection{} %vi
|
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\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& \sqrt{x^{4} + 1} \cdot \ln x \\
|
|
f'(x) &=& \frac{4x^{3}}{2 \cdot \sqrt{x^{4} + 1}} \cdot \ln x + \sqrt{x^{4} + 1} \cdot \frac{1}{x}
|
|
\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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\begin{alignat*}{2}
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|
q(x) &=& \frac{5x^{2} + 1}{x - 3} \\
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|
q'(x) &=& \frac{10x \cdot (x-3) - (5x^{2} + 1) \cdot 1}{(x-3)^{2}} \\
|
|
\intertext{Ausmultiplizieren}
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|
&=& \frac{10x^{2} - 30x - (5x^{2} + 1)}{x^{2} - 6x + 9}\\
|
|
\intertext{Zusammenfassen}
|
|
&=& \frac{5x^{2} - 30x - 1}{x^{2} - 6x + 9}\\
|
|
q''(x) &=& \frac{(10x-30) \cdot (x^{2} - 6x + 9) - (5x^{2} - 30x - 1) \cdot (2x - 6)}{(x^{2} - 6x + 9)^{2}} \\
|
|
\intertext{Ausmultiplizieren}
|
|
&=& \frac{10x^{3} - 60x^{2} + 90x - 30x^{2} + 180x - 270 - (10x^{3} - 30x^{2} - 60x^{2} + 180x -x^{2} - 9)}{x^{4} - 6x^{3} + 9x^{2} - 6x^{3} + 36x^{2} - 54x + 9x^{2} - 54x + 81} \\
|
|
\intertext{Zusammenfassen}
|
|
&=& \frac{10x^{3} - 90x^{2} + 270x - 270 -10x^{3} + 91x^{2} - 180x + 9}{x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81} \\
|
|
\intertext{Zusammenfassen}
|
|
&=& \frac{x^{2} + 90x - 261}{x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81} \\
|
|
q'''(x) &=& \frac{(2x + 90) \cdot (x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81) - (x^{2} + 90x - 261) \cdot (4x^{3} - 36x^{2} + 108x - 108)}{(x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81)^{2}} \\
|
|
\intertext{Ausmultiplizieren und Zusammenfassen}
|
|
&=& \frac{-2x^{5} - 258x^{4} + 3204x^{3} - 14364x^{2} +28350x - 20898}{x^{8} - 24x^{7} + 252x^{6} -1404x^{5} +5670x^{4} - 13716x^{3} + 20412x^{2} -8748x - 2187}
|
|
\end{alignat*}
|
|
\section{} %2
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|
\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& \left| 3 - \frac{1}{2}x \right| \\
|
|
\intertext{Sei $x_{n} = 6 + \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}$}
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|
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{f(x_{n}) - f(x_{0})}{x_{n} - x_{0}} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - \frac{1}{2} \cdot (6 + \frac{1}{n}) \right| - \left| 3 - \frac{1}{2} \cdot 6 \right|}{6 + \frac{1}{n} - 6} \\
|
|
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - 3 - \frac{1}{2n} \right| - \left| 3 - 3 \right|}{\frac{1}{n}} \\
|
|
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left|-\frac{1}{2n} \right|}{\frac{1}{n}} \\
|
|
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{n}} \\
|
|
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{n}{2n} = \frac{1}{2} \\
|
|
\intertext{Sei $x_{n} = 6 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}$}
|
|
\underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{f(x_{n}) - f(x_{0})}{x_{n} - x_{0}} &=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - \frac{1}{2} \cdot (6 - \frac{1}{n}) \right| - \left| 3 - \frac{1}{2} \cdot 6 \right|}{6 - \frac{1}{n} - 6} \\
|
|
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left| 3 - 3 + \frac{1}{2n} \right| - \left| 3 - 3 \right|}{-\frac{1}{n}} \\
|
|
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\left|\frac{1}{2n} \right|}{-\frac{1}{n}} \\
|
|
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} \frac{\frac{1}{2n}}{-\frac{1}{n}} \\
|
|
&=& \underset{n \rightarrow \infty}{\text{lim}} -\frac{n}{2n} = -\frac{1}{2}
|
|
\end{alignat*}
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|
Der Grenzwert existiert an der Stelle $x _{0} = 6$ nicht. Daher ist die Funktion $f$ an der Stelle $x_{0} = 6$ nicht differenzierbar.
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\begin{tikzpicture}[>=stealth]
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\begin{axis}[
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ymin=-10,ymax=10,
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|
x=1em,
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|
y=1em,
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|
axis x line=middle,
|
|
axis y line=middle,
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|
axis line style=->,
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|
xlabel={$x$},
|
|
ylabel={$y$},
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]
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\addplot[no marks, black, -] expression[domain=-10:6,samples=100]{3 - (1/2)*x} node[pos=0.65,anchor=north]{};
|
|
\addplot[no marks, black, -] expression[domain=6:10,samples=100]{-1*(3 - (1/2)*x)} node[pos=0.65,anchor=north]{};
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|
|
\draw (16em, 10em) circle (2pt);
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|
\end{axis}
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|
\end{tikzpicture}
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\section{} %3
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|
\subsection{} %a
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|
\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& (x^{4}+1)^{x+2} \\
|
|
&=& e^{ln\left((x^{4}+1)^{x+2}\right)} \\
|
|
&=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \\
|
|
f'(x) &=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \cdot \left((x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)\right)' \\
|
|
&=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \cdot \left((x+2)' \cdot \ln(x^{4}+1) + (x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)'\right) \\
|
|
&=& e^{(x+2) \cdot \ln(x^{4}+1)} \cdot \left(1 \cdot \ln(x^{4}+1) + (x+2) \cdot \frac{1}{x^{4}+1} \cdot (x^{4}+1)'\right) \\
|
|
&=& (x^{4}+1)^{x+2} \cdot \left(\ln(x^{4}+1) + (x+2) \cdot \frac{4x^{3}}{x^{4}+1}\right)
|
|
\end{alignat*}
|
|
\subsection{} %b
|
|
\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& x^{\frac{1}{2}} \\
|
|
&=& e^{\ln \left(x^{\frac{1}{2}} \right)} \\
|
|
&=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \\
|
|
f'(x) &=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \ln (x) \right)' \\
|
|
&=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot (x)' \\
|
|
&=& e^{\frac{1}{2} \cdot \ln (x)} \cdot \frac{1}{2x} \\
|
|
&=& x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2x} \\
|
|
&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} \\
|
|
&=& \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\
|
|
g(x) &=& \left( \frac{1}{2}\right)^{x} \\
|
|
&=& e^{\ln \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{x} \right)} \\
|
|
&=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \\
|
|
g'(x) &=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right) \right)' \\
|
|
&=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \cdot (x)' \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right) \\
|
|
&=& e^{x \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)} \cdot 1 \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right) \\
|
|
&=& \left( \frac{1}{2}\right)^{x} \cdot \ln \left( \frac{1}{2}\right)
|
|
\end{alignat*}
|
|
\subsection{} %c
|
|
\subsubsection{} %i
|
|
\begin{alignat*}{2}
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|
g(x) &=& (x^{2}+1)^{4x+1} \\
|
|
&=& e^{\ln \left( (x^{2}+1)^{4x+1}\right)} \\
|
|
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \\
|
|
g'(x) &=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left((4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1) \right)' \\
|
|
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left((4x+1)' \cdot \ln (x^{2}+1) + (4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)' \right) \\
|
|
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left(4 \cdot \ln (x^{2}+1) + (4x+1) \cdot \frac{1}{x^{2}+1} \cdot (x^{2}+1)' \right) \\
|
|
&=& e^{(4x+1) \cdot \ln (x^{2}+1)} \cdot \left(4 \cdot \ln (x^{2}+1) + (4x+1) \cdot \frac{2x}{x^{2}+1} \right) \\
|
|
&=& (x^{2}+1)^{4x+1} \cdot \left(4 \cdot \ln (x^{2}+1) + \frac{8x^{2} + 2x}{x^{2}+1} \right)
|
|
\end{alignat*}
|
|
\subsubsection{} %ii
|
|
\begin{alignat*}{2}
|
|
h(x) = (x-3)^{3x^{4}+5} \\
|
|
&=& e^{\ln \left((x-3)^{3x^{4}+5} \right)} \\
|
|
&=& e^{(3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)} \\
|
|
h'(x) &=& e^{(3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)} \cdot \left((3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3) \right)' \\
|
|
&=& e^{(3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)} \cdot \left((3x^{4}+5)' \cdot \ln (x-3) + (3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)' \right) \\
|
|
&=& e^{(3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)} \cdot \left(12x^{3} \cdot \ln (x-3) + (3x^{4}+5) \cdot \frac{1}{x-3} \cdot (x-3)' \right) \\
|
|
&=& e^{(3x^{4}+5) \cdot \ln (x-3)} \cdot \left(12x^{3} \cdot \ln (x-3) + (3x^{4}+5) \cdot \frac{1}{x-3} \right) \\
|
|
&=& (x-3)^{3x^{4}+5} \cdot \left(12x^{3} \cdot \ln (x-3) + \frac{3x^{4}+5}{x-3} \right)
|
|
\end{alignat*}
|
|
\section{} %4
|
|
\subsection{} %a
|
|
\begin{alignat*}{2}
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|
g(p) &=& 10^{5} \cdot \left( \frac{1}{p} - \frac{3}{p^{2}} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left( p^{-1} - 3p^{-2} \right) \\
|
|
g'(p) &=& 10^{5} \cdot \left( p^{-1} - 3p^{-2} \right)' \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left((p^{-1})' - (3p^{-2})' \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(-p^{-2} - (-6p^{-3}) \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(-p^{-2} + 6p^{-3} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(-\frac{1}{p^{2}} + \frac{6}{p^{3}} \right) \\
|
|
g''(p) &=& 10^{5} \cdot \left(-p^{-2} + 6p^{-3} \right)' \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left((-p^{-2})' + (6p^{-3})' \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(2p^{-3} - 18p^{-4} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(\frac{2}{p^{3}} - \frac{18}{p^{4}} \right)
|
|
\end{alignat*}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Bestimmung der Nullstellen der 1. Ableitung:
|
|
\begin{alignat*}{2}
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|
-\frac{1}{p^{2}} + \frac{6}{p^{3}} &=& 0 \\
|
|
-\frac{1}{p^{2}} &=& - \frac{6}{p^{3}} \\
|
|
\frac{1}{p^{2}} &=& \frac{6}{p^{3}} \\
|
|
\frac{p^{3}}{p^{2}} &=& 6 \\
|
|
p &=& 6 \\
|
|
\intertext{Einsetzen in $g'(p)$}
|
|
0 &=& 10^{5} \cdot \left(-\frac{1}{6^{2}} + \frac{6}{6^{3}} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(-\frac{1}{36} + \frac{6}{216} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(-\frac{1}{36} + \frac{1}{36} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot 0 = 0
|
|
\end{alignat*} \\
|
|
\item Einsetzen von $p=6$ in $g''(p)$:
|
|
\begin{alignat*}{2}
|
|
g''(6) &=& 10^{5} \cdot \left(\frac{2}{6^{3}} - \frac{18}{6^{4}} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(\frac{2}{216} - \frac{18}{1296} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(\frac{2}{216} - \frac{3}{216} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(- \frac{1}{216} \right) = -\frac{10^{5}}{216}
|
|
\end{alignat*}
|
|
Daraus ergibt sich, dass $p=6$ ein lokales Maximum der Funktion $g(p)$ ist. Es bleibt noch festzustellen, dass es auch das globale Maximum ist. \\
|
|
\item Feststellung des globalen Maximums:\\
|
|
Da es nur eine Nullstelle für die erste Ableitung gibt, kann es insofern nur einen Extrempunkt geben. Da der Funktionswert der 2. Ableitung für diese Stelle negativ ist, liegt an der Stelle ein Maximum. Der Funktionswert von $g(p)$ für die Stelle wird wie folgt berechnet:
|
|
\begin{alignat*}{2}
|
|
g(p) &=& 10^{5} \cdot \left(\frac{1}{p} - \frac{3}{p^{2}} \right) \\
|
|
g(6) &=& 10^{5} \cdot \left( \frac{1}{6} - \frac{3}{3^{2}} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left( \frac{1}{6} - \frac{3}{9} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left( \frac{1}{6} - \frac{2}{6} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(- \frac{1}{6} \right) \\
|
|
&=& -\frac{10^{5}}{6} = \frac{5000}{3} \\
|
|
&=& \frac{4998}{3} + \frac{2}{3} \\
|
|
&=& 1666 + \frac{2}{3}
|
|
\end{alignat*} \\\\\\
|
|
Zuletzt muss noch geprüft werden, ob die Grenzen des Definitionsbereiches einen höheren Wert aufweisen.
|
|
\begin{alignat*}{2}
|
|
g(p) &=& 10^{5} \cdot \left(\frac{1}{p} - \frac{3}{p^{2}} \right) \\
|
|
g(3) &=& 10^{5} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{3^{2}} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{9} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot 0 = 0 \\
|
|
g(100) &=& 10^{5} \cdot \left(\frac{1}{100} - \frac{3}{100^{2}} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(\frac{1}{100} - \frac{3}{10000} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \left(\frac{100}{10000} - \frac{3}{10000} \right) \\
|
|
&=& 10^{5} \cdot \frac{97}{10000} \\
|
|
&=& 970
|
|
\end{alignat*}
|
|
Die Funktion hat nur einen Extrempunkt und die beiden Definitionsgrenzen weisen einen niedrigeren Funktionswert auf, als der zuvor bestimmte lokale Extrempunkt mit $p = 6$. Somit ist der einzige lokale Extrempunkt auch der globale Extrempunkt. Da es sich bei dem Extrempunkt um ein Maximum handelt, ist er somit das globale Maximum.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\subsection{} %b
|
|
\subsubsection{} %i
|
|
Bestimmung der Nullstellen von $f, f'$ und $f''$:\\
|
|
\begin{alignat*}{2}
|
|
f(x) &=& -2x^{3} - x + 25 \\
|
|
f'(x) &=& -6x^{2} - 1 \\
|
|
f''(x) &=& -18x \\
|
|
f'''(x) &=& -18 \\
|
|
f(2) &=& -2 \cdot 2^{3} - 2 + 25 \\
|
|
&=& -2 \cdot 8 +23 \\
|
|
&=& -16 + 23 = 7 \\
|
|
f(3) &=& -2 \cdot 3^{3} - 3 + 25 \\
|
|
&=& -2 \cdot 27 + 22 \\
|
|
&=& -54 + 22 \\
|
|
&=& -32 \\
|
|
f'(0) &=& -6 \cdot 0^{2} - 1 \\
|
|
&=& 0 -1 = -1 \\
|
|
f''(0) &=& -18 \cdot 0 = 0
|
|
\end{alignat*}
|
|
Die Nullstelle von $f(x)$ liegt zwischen $x=2$ und $x=3$. $f'(x)$ hat keine Nullstelle. Der höchste erreichbare Wert ist $-1$.
|
|
$f''(x)$ hat eine Nullstelle, welche nachweislich bei $x=0$ liegt.
|
|
$f'''(x)$ hat offensichtlich keine Nullstelle.\\
|
|
\\
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$f(x) > 0$ für $x \leq 2$ und $f(x) < 0$ für $x \geq 3$. $f'(x) < 0$ für alle $x \in \mathbb{R} \wedge x \geq -5 \wedge x \leq 5$. $f''(x) < 0$ für $x < 0$ und $f''(x) > 0$ für $x > 0$. $f'''(x) > 0$ für alle $x \in \mathbb{R} \wedge x \geq -5 \wedge x \leq 5$. \\
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Es gibt keine Maxima oder Minima. Allerdings gibt es einen Wendepunkt bei $x=0$, da $f''(0) = 0$ und $f'''(0) \neq 0$. \\
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Da es keine Nullstellen der ersten Ableitung gibt und $f(2) > f(3)$ gilt, ist $f(x)$ auf dem gesamten Intervall streng monoton fallend. Der höchste Punkt ist demnach am Beginn des Definitionsbereiches, der niedrigste am Ende.
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Daraus ergibt sich:\\
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\begin{alignat*}{2}
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f(-5) &=& -2 \cdot (-5)^{3} - (-5) + 25 \\
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&=& -2 \cdot (-125) + 30 \\
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&=& 250 + 30 = 280 \\
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f(5) &=& -2 \cdot 5^{3} - 5 + 25 \\
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&=& -2 \cdot 125 + 20 \\
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&=& -250 + 20 = -230
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\end{alignat*}
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$f(x)$ nimmt das globale Maximum bei $x=-5$ und das globale Minimum bei $x=5$ an.
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\subsubsection{} %ii
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\begin{alignat*}{2}
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g(x) &=& x^{3} - 6x^{2} + 3x + 8 \\
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g'(x) &=& 3x^{2} - 12x + 3 \\
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g''(x) &=& 6x - 12 \\
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g'''(x) &=& 6
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\end{alignat*}
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\subsubsection{} %iii
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\begin{alignat*}{2}
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h(x) &=& e^{2x-3} - e^{x+2} \\
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h'(x) &=& e^{2x-3} \cdot 2 - e^{x+2} \\
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h''(x) &=& e^{2x-3} \cdot 4 - e^{x+2} \\
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h'''(x) &=& e^{2x-3} \cdot 8 - e^{x+2}
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\end{alignat*}
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\end{document}
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