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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\begin{document}
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\author{Jim Martens}
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\title{Hausaufgaben zum 7. Mai}
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\maketitle
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\section{} %5.4
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\subsection{} %1.
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$G_{1}$:\\
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\begin{alignat*}{2}
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S &\rightarrow & aSb | A \\
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A &\rightarrow & bAa | \lambda
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\end{alignat*}
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Behauptung: Es gilt $L(G_{1}) = L_{1}$.\\
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Zunächst zeige ich $L(G_{1}) \subseteq L_{1}$. Sei dazu $w \in L(G_{1})$, d.h. es gilt $S \overset{*}{\Longrightarrow} w$. Durch $n$-malige Anwendung der Produktion $S \rightarrow aSb$ erhält man zunächst $S \overset{*}{\Longrightarrow} a^{n}Sb^{n}$. Anschließend muss die Produktion $S \rightarrow A$ gewählt werden. Durch $m$-malige Anwendung der Regel $A \rightarrow bAa$ erhält man $S \overset{*}{\Longrightarrow} a^{n}Sb^{n} \overset{*}{\Longrightarrow} a^{n}b^{m}Aa^{m}b^{n}$. Abschließend wird die Produktion $A \rightarrow \lambda$ gewählt. Insgesamt muss $w$ damit die Form $a^{n}b^{m}a^{m}b^{n}$ haben. Es gilt also $w \in L_{1}$.\\
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\\
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Sei umgekehrt $w \in L_{1}$. Hat $w$ die Form $a^{n}b^{m}a^{m}b^{n}$ für $n,m \geq 0$, so kann $w$ durch $n$-malige Anwendung der Produktion $S \rightarrow aSb$, Anwendung der Regel $S \rightarrow A$, $m$-malige Anwendung von $A \rightarrow bAa$ und abschließende Anwendung von $A \rightarrow \lambda$ abgeleitet werden.\\
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Damit gilt für jedes $w \in L_{1}$ demnach auch $w \in L(G_{1})$ und die Behauptung ist gezeigt.\\
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Bei Anwendung des Pumping-Lemmas kommt es bei der Wahl des Wortes zu Problemen. Bei einer kontextfreien Sprache gilt das Pumping-Lemma für alle Wörter der Sprache. Möchte man dies nun zeigen, so müsste man unendlich viele Wörter zeigen, was nicht machbar ist.\\
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Sollte man einen Widerspruch zeigen wollen, so wird man kein Wort der Sprache finden, bei dem es einen gibt, denn bei einer kontextfreien Sprache gilt das Pumping-Lemma für jedes Wort.
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\subsection{} %2.
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\begin{alignat*}{2}
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L_{2} &=& \{a^{n}b^{m}a^{n}b^{m} | n,m \geq 0\}
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\end{alignat*}\\
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Angenommen $L_{2}$ wäre kontextfrei.\\
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Sei $n$ die Zahl aus dem Pumping Lemma. Wähle $z = a^{n}b^{n}a^{n}b^{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$.\\
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Die ersten $a$s seien durch $a_{1}$ markiert und die ersten $b$s durch $b_{1}$. Die jeweils zweiten Blöcke durch den Index $2$.\\
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Also $z \in L_{2}, |z| = 4n$.\\
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Also existiert eine Zerlegung $z = uvwxy$ mit $(i)$ und $(ii)$. Ich führe nun jede dieser Zerlegungen zu einem Widerspruch mit der dritten Eigenschaft des Pumping Lemmas.\\
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $|vx| \geq 1$
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\item $|vwx| \leq n$
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\item $\forall i \geq 0:uv^{i}wx^{i}y \in L$
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\end{enumerate}
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Zunächst gibt es wegen $|vwx| \leq n$ und der Form von $z$ sieben Fälle zu unterscheiden: $vwx \in \{a_{1}\}^{*}, vwx \in \{a_{1}\}^{*}\{b_{1}\}^{*}, vwx \in \{b_{1}\}^{*}, vwx \in \{b_{1}\}^{*}\{a_{2}\}^{*}, vwx \in \{a_{2}\}^{*}, vwx \in \{a_{2}\}^{*}\{b_{2}\}^{*} \text{ und } vwx \in \{b_{2}\}^{*}$. In den Fällen $vwx \in \{a_{1}\}^{*}, vwx \in \{b_{1}\}^{*}, vwx \in \{a_{2}\}^{*}$ und $vwx \in \{b_{2}\}^{*}$ führt wegen $|vx| \geq 1$ die Betrachtung von $uv^{2}wx^{2}y$ bereits zum Widerspruch. Es ist dann $uv^{2}wx^{2}y = a^{n+j}b^{n}a^{n}b^{n}$, $uv^{2}wx^{2}y = a^{n}b^{n+j}a^{n}b^{n}$, $uv^{2}wx^{2}y = a^{n}b^{n}a^{n+j}b^{n}$ bzw. $uv^{2}wx^{2}y = a^{n}b^{n}a^{n}b^{n+j}$ mit $j > 0$ und folglich gilt nicht mehr, dass der Exponent von den beiden $a$- bzw. $b$-Blöcken gleich sein muss.\\
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Gilt in $vwx \in \{a_{1}\}^{*}\{b_{1}\}^{*}, vwx \in \{b_{1}\}^{*}\{a_{2}\}^{*}$ bzw. $vwx \in \{a_{2}\}^{*}\{b_{2}\}^{*}$, dass $v$ oder $x$ bereits aus mehr als einem Symbol aufgebaut sind (also selbst in $\{a\}^{+}\{b\}^{+}$ bzw. $\{b\}^{+}\{a\}^{+}$ sind), so führt $uv^{2}wx^{2}y$ sofort zu einem Widerspruch, da dieses Wort dann nicht einmal mehr in $\{a\}^{*}\{b\}^{*}\{a\}^{*}\{b\}^{*}$ ist (und damit ganz bestimmt nicht in $L_{2}$).\\
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Ist jedoch im Fall $vwx \in \{a_{1}\}^{*}\{b_{1}\}^{*}$ das $v$ aus den $a$s und das $x$ in den $b$s, so führt ähnlich wie bei den zuerst diskutierten Fällen die Betrachtung von $uv^{2}wx^{2}y = a^{n+j}b^{n+k}a^{n}b^{n}$ zu einem Widerspruch ($n+j = n$ bzw. $n+k = n$ gilt nicht, da wegen $|vx| \geq 1$ auch $j+k \geq 1$ sein muss). Der Fall $vwx \in \{a_{2}\}^{*}\{b_{2}\}^{*}$ führt analog zu einem Widerspruch (lediglich mit den beiden hinteren Blöcken).\\
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Ist im Fall von $vwx \in \{b_{1}\}^{*}\{a_{2}\}^{*}$ das $v$ in den $b$s und das $x$ in den $a$s, so führt ebenfalls ähnlich zu den zuerst diskutierten Fällen die Betrachtung von $uv^{2}wx^{2}y = a^{n}b^{n+j}a^{n+k}b^{n}$ zu einem Widerspruch (abermals gilt $n+j = n$ bzw. $n+k = n$ nicht, da $j+k \geq 1$ sein muss).\\
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Damit sind alle Fälle zum Widerspruch geführt und es gibt also keine Zerlegung von $z$ in $uvwxy$ derart, dass die drei Bedingungen des Pumping Lemmas erfüllt sind. Folglich ist die ursprüngliche Annahme, $L_{2}$ wäre kontextfrei nicht haltbar und $L_{2}$ ist also nicht kontextfrei.
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\section{} %5.5
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\subsection{} %1.
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$G_{1}$:\\
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\begin{alignat*}{2}
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S &\rightarrow & aSc | A \\
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A &\rightarrow & bc | \lambda
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\end{alignat*}
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Behauptung: Es gilt $L(G_{1}) = L_{1}$.\\
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Zunächst zeige ich $L(G_{1}) \subseteq L_{1}$. Sei dazu $w \in L(G_{1})$, d.h. es gilt $S \overset{*}{\Longrightarrow} w$. Durch $i$-malige Anwendung der Produktion $S \rightarrow aSc$ erhält man zunächst $S \overset{*}{\Longrightarrow} a^{i}Sc^{i}$. Anschließend muss die Produktion $S \rightarrow A$ gewählt werden. Durch $j$-malige Anwendung der Regel $A \rightarrow bAc$ erhält man $S \overset{*}{\Longrightarrow} a^{i}Sc^{i} \overset{*}{\Longrightarrow} a^{i}b^{j}Ac^{i+j}$. Abschließend wird die Produktion $A \rightarrow \lambda$ gewählt. Insgesamt muss $w$ damit die Form $a^{i}b^{j}c^{i+j} = a^{i}b^{j}c^{k}$ für $k = i+j$ haben. Es gilt also $w \in L_{1}$.\\
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Sei umgekehrt $w \in L_{1}$. Hat $w$ die Form $a^{i}b^{j}c^{k} = a^{i}b^{j}c^{i+j}$ für $k = i+j$, so kann $w$ durch $i$-malige Anwendung der Produktion $S \rightarrow aSc$, Anwendung der Regel $S \rightarrow A$, $j$-malige Anwendung von $A \rightarrow bAc$ und abschließende Anwendung von $A \rightarrow \lambda$ abgeleitet werden.\\
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Damit gilt für jedes $w \in L_{1}$ demnach auch $w \in L(G_{1})$ und die Behauptung ist gezeigt.
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\subsection{} %2.
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\section{} %5.6
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\subsection{} %1.
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$z_{0}$ ist der Start- und $z_{4}$ der einzige Endzustand. Im Zustand $z_{0}$ können beliebig viele $a$s gelesen werden (auch keine). Anschließend kann bei leerer Eingabe in den Endzustand gewechselt werden oder bei einem $b$ in der Eingabe in den Zustand $z_{1}$. Der Zustand kann nur wieder verlassen werden, wenn mindestens ein weiteres $b$ von der Eingabe gelesen wird. Im Zustand $z_{2}$ befindet man sich demnach nur, wenn zuvor jeweils 2 $b$s gelesen wurden. Entweder direkt von $z_{0}$ nach $z_{1}$ und von $z_{1}$ nach $z_{2}$ oder von $z_{2}$ nach $z_{1}$ und von $z_{1}$ nach $z_{2}$.\\
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Nur beim Wechsel von Zustand $z_{1}$ nach $z_{2}$ wird ein $B$ auf den Keller gelegt. Sind alle $b$s gelesen, liegen demnach also halb so viele $B$s auf dem Keller, wie $b$s gelesen wurden.\\
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In den Zustand $z_{3}$ kann nur gewechselt werden, wenn ein $a$ gelesen wird und ein $B$ auf dem Keller liegt. $z_{3}$ kann erst wieder verlassen werden, wenn alle $B$s wieder vom Keller gelöscht worden sind.\\
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Zum Schluss kann in den Endzustand gewechselt werden. Befindet man sich im Endzustand wurden also beliebig viele $a$s (auch keine), gefolgt von keinen weiteren Zeichen oder $2n$ $b$s und $n$ $a$s gelesen.\\
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Ist $w \in L$, so enthält das Wort zunächst beliebig viele $a$s, dann keine weiteren Zeichen oder aber $2n$ $b$s und $n$ $a$s. Dies ist gleichbedeutend mit dem Endzustand des Automaten.\\
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Ist umgekehrt $w \in L(A)$, so muss das Lesen von $w$ den Automaten $A$ in den Zustand $z_{4}$ überführen, da dies der einzige Endzustand ist. Dies ist aber gleichbedeutend damit, dass nach Konstruktion von $A$ auch $w = a^{m}b^{2n}a^{n}$, also $w \in L$ gilt.
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\subsection{} %2.
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\end{document}
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