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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\pgfplotsset{compat=1.8}
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\pagenumbering{arabic}
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\def\thesection{\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\alph{subsection})}
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\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Jim Martens (6420323)}
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\title{Hausaufgaben zum 20. Juni}
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\maketitle
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\section{} %1
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\subsection{} %a
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\begin{alignat*}{2}
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T_{8}(x) &=&& 1 - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{24}x^{4} - \frac{1}{720}x^{6} + \frac{1}{40320}x^{8} \\
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|
T_{9}(x) &=&& 1 - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{24}x^{4} - \frac{1}{720}x^{6} + \frac{1}{40320}x^{8} \\
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T_{10}(x) &=&& 1 - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{24}x^{4} - \frac{1}{720}x^{6} + \frac{1}{40320}x^{8} - \frac{1}{10!}x^{10}\\
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|
T_{11}(x) &=&& 1 - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{24}x^{4} - \frac{1}{720}x^{6} + \frac{1}{40320}x^{8} - \frac{1}{10!}x^{10} \\
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|
T_{12}(x) &=&& 1 - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{24}x^{4} - \frac{1}{720}x^{6} + \frac{1}{40320}x^{8} - \frac{1}{10!}x^{10} + \frac{1}{12!}x^{12}\\
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|
T_{13}(x) &=&& 1 - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{24}x^{4} - \frac{1}{720}x^{6} + \frac{1}{40320}x^{8} - \frac{1}{10!}x^{10} + \frac{1}{12!}x^{12}
|
|
\end{alignat*}
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\begin{alignat*}{2}
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|
T_{9}(1) &=& 1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{1}{24} \cdot 1^{4} - \frac{1}{720} \cdot 1^{6} + \frac{1}{40320} \cdot 1^{8} \\
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|
&\approx & 0.5403026 \\
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|
T_{11}(1) &=& 1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{1}{24} \cdot 1^{4} - \frac{1}{720} \cdot 1^{6} + \frac{1}{40320} \cdot 1^{8} - \frac{1}{10!} \cdot 1^{10} \\
|
|
&\approx & 0.5403023 \\
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|
T_{13}(1) &=& 1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{1}{24} \cdot 1^{4} - \frac{1}{720} \cdot 1^{6} + \frac{1}{40320} \cdot 1^{8} - \frac{1}{10!} \cdot 1^{10} + \frac{1}{12!} \cdot 1^{12} \\
|
|
&\approx & 0.5403023
|
|
\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& \sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}} \\
|
|
f'(x) &=& \frac{1}{2} \cdot (1+x)^{-\frac{1}{2}} \\
|
|
f''(x) &=& -\frac{1}{4} \cdot (1+x)^{-\frac{3}{2}} \\
|
|
f'''(x) &=& \frac{3}{8} \cdot (1+x)^{-\frac{5}{2}} \\
|
|
f^{(4)}(x) &=& -\frac{15}{16} \cdot (1+x)^{-\frac{7}{2}}
|
|
\end{alignat*}
|
|
\begin{alignat*}{2}
|
|
T_{0}(x) &=&& 1 \\
|
|
T_{1}(x) &=&& 1 + \frac{1}{2}x \\
|
|
T_{2}(x) &=&& 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^{2}\\
|
|
T_{3}(x) &=&& 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^{2} + \frac{3}{48}x^{3} \\
|
|
T_{4}(x) &=&& 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^{2} + \frac{3}{48}x^{3} - \frac{15}{384}x^{4}
|
|
\end{alignat*}
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|
\begin{alignat*}{2}
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|
g(x) &=& \sqrt[3]{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{3}} \\
|
|
g'(x) &=& \frac{1}{3} \cdot (1+x)^{-\frac{2}{3}} \\
|
|
g''(x) &=& -\frac{2}{9} \cdot (1+x)^{-\frac{5}{3}} \\
|
|
g'''(x) &=& \frac{10}{27} \cdot (1+x)^{-\frac{8}{3}} \\
|
|
g^{(4)}(x) &=& -\frac{80}{81} \cdot (1+x)^{-\frac{11}{3}}
|
|
\end{alignat*}
|
|
\begin{alignat*}{2}
|
|
T_{0}(x) &=&& 1 \\
|
|
T_{1}(x) &=&& 1 + \frac{1}{3}x \\
|
|
T_{2}(x) &=&& 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^{2} \\
|
|
T_{3}(x) &=&& 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^{2} + \frac{5}{81}x^{3} \\
|
|
T_{4}(x) &=&& 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^{2} + \frac{5}{81}x^{3} - \frac{10}{243}x^{4}
|
|
\end{alignat*}
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|
\subsection{} %c
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\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& e^{x} \cdot \sin x \\
|
|
f'(x) &=& e^{x} \cdot \cos x \\
|
|
f''(x) &=& -e^{x} \cdot \sin x \\
|
|
f'''(x) &=& -e^{x} \cdot \cos x \\
|
|
f^{(4)}(x) &=& e^{x} \cdot \sin x \\
|
|
f^{(5)}(x) &=& e^{x} \cdot \cos x
|
|
\end{alignat*}
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\begin{alignat*}{2}
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|
T_{5}(x) &=& 0 + x - 0x^{2} - \frac{1}{6}x^{3} + 0x^{4} + \frac{1}{120}x^{5} \\
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|
&=& x - \frac{1}{6}x^{3} + \frac{1}{120}x^{5}
|
|
\end{alignat*}
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|
\section{} %2
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|
\subsubsection{} %i
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\begin{alignat*}{2}
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|
\lim\limits_{x \rightarrow 1} \left(\frac{x^{3}-3x^{2}+x+2}{x^{2}-5x+6} \right) &=& \frac{1-3+1+2}{1-5+6} \\
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|
&=& \frac{1}{2}
|
|
\end{alignat*}
|
|
\subsubsection{} %ii
|
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\begin{alignat*}{3}
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|
\lim\limits_{x \rightarrow 2} \left(\frac{x^{3}-3x^{2}+x+2}{x^{2}-5x+6} \right) &=& \lim\limits_{x \rightarrow 2} \left(\frac{3x^{2} - 6x + 1}{2x - 5} \right) &=& \frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 + 1}{2 \cdot 2 - 5} \\
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|
&& &=& \frac{12 - 12 + 1}{4 - 5} \\
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|
&& &=& \frac{1}{-1} \\
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|
&& &=& -1
|
|
\end{alignat*}
|
|
\subsubsection{} %iii
|
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\begin{alignat*}{2}
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|
\lim\limits_{x \rightarrow 0} (1+3x)^{\frac{1}{2x}}
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|
\end{alignat*}
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|
\subsubsection{} %iv
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\begin{alignat*}{2}
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|
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{\sin x} \right)
|
|
\end{alignat*}
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\section{} %3
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\subsection{} %a
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\begin{alignat*}{2}
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f(x) &=& 3^{x} \\
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f'(x) &=& 3^{x} \cdot \ln 3 \\
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t'(x) = f'(2) &=& 9 \cdot \ln 3 \\
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&\approx & 9.88751 \\
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\intertext{Die Steigung der Tangente beträgt $9 \cdot \ln 3$ oder rund $9.88751$.}
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t(x) &=& \ln (3) \cdot 9x + b \\
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|
\intertext{Bestimmen des Schnittpunkts mit der y-Achse}
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b &=& t(x) - \ln (3) \cdot 9x \\
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&=& t(2) - \ln (3) \cdot 18 \\
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|
&=& 9 - \ln (3) \cdot 18 \\
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&\approx & -10.77502 \\
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t(x) &=& \ln 3 \cdot 9x + 9 - \ln (3) \cdot 18 \\
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\intertext{Bestimmen des Schnittpunkts mit der x-Achse}
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0 &=& \ln (3) \cdot 9x + 9 - \ln (3) \cdot 18 \\
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\ln (3) \cdot 18 - 9 &=& \ln (3) \cdot 9x \\
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|
\frac{\ln (3) \cdot 18 - 9}{\ln 3} &=& 9x \\
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|
\frac{\ln (3) \cdot 18 - 9}{\ln (3) \cdot 9} &=& x \\
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|
x &\approx & 1.08976
|
|
\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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\begin{alignat*}{2}
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|
f(x) &=& \sqrt[7]{x+2} \\
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|
&=& (x+2)^{\frac{1}{7}} \\
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|
f'(x) &=& \frac{1}{7} \cdot (x+2)^{-\frac{6}{7}} \\
|
|
f''(x) &=& -\frac{6}{49} \cdot (x+2)^{-\frac{13}{7}}
|
|
\end{alignat*}
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|
\begin{alignat*}{2}
|
|
T_{0} &=&& 2^{\frac{1}{7}} \\
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T_{1} &=&& 2^{\frac{1}{7}} + \frac{1}{7} \cdot 2^{-\frac{6}{7}}x \\
|
|
T_{2} &=&& 2^{\frac{1}{7}} + \frac{1}{7} \cdot 2^{-\frac{6}{7}}x - \frac{3}{49} \cdot 2^{-\frac{13}{7}}
|
|
\end{alignat*}
|
|
\subsection{} %c
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|
\begin{alignat*}{2}
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|
x_{n} &=& \frac{1}{2\pi n} \\
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|
\lim\limits_{n\rightarrow \infty} f(x_{n}) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \cos \left(\frac{1}{x_{n}} \right) &=& \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \cos \left(\frac{1}{\frac{1}{2 \pi n}} \right) \\
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|
&=& \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \cos (2 \pi n) = 1
|
|
\end{alignat*} \\
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|
Der mögliche Grenzwert 1 stimmt nicht mit dem Funktionswert überein. Daher ist $h(x)$ im Punkt $x_{0}=0$ nicht stetig.
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\subsection{} %d
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\setcounter{subsubsection}{0}
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\subsubsection{} %i
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$\mathcal{B}$ enthält alle Folgen, die gegen eine reelle Zahl konvergieren, als auch solche, die zwischen zwei Werten oszillieren.
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Lediglich uneigentlich konvergente Folgen sind nicht enthalten.
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\subsubsection{} %ii
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Aus $i)$ ergibt sich, dass nicht jede Folge in $\mathcal{B}$ konvergiert. Oszillierende Folgen konvergieren nicht, allerdings erfüllen sie die Bedingungen von $\mathcal{B}$.
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\section{} %4
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\subsection{} %a
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\begin{alignat*}{2}
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|
\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{a^{x}}{x^{n}}\right) &=& \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{a^{x} \cdot \ln a}{n \cdot x^{n-1}}\right) \\
|
|
\intertext{Nach n Ableitungen}
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&=& \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{a^{x} \cdot (\ln a)^{n}}{n! \cdot x^{0}}\right) \\
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|
\intertext{Zähler geht gegen unendlich, Nenner gegen konstante Zahl $n!$. Daher existiert der Grenzwert nicht.}
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&=& \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{a^{x} \cdot (\ln a)^{n}}{n!}\right) = \infty
|
|
\end{alignat*}
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|
\subsection{} %b
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\begin{alignat*}{2}
|
|
\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^{r}}{\ln^{k} x} \right) &=& \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{rx^{r-1}}{k \cdot \ln^{k-1} x \cdot \frac{1}{x}} \right) \\
|
|
&=& \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{rx^{r}}{k \cdot \ln^{k-1} x} \right) \\
|
|
\intertext{Nach der k-ten Ableitung sieht es so aus}
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&=& \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{r^{k} \cdot x^{r}}{k! \cdot \ln x} \right) \\
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\intertext{Herausziehen der Konstanten}
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&=& \frac{r^{k}}{k!} \cdot \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^{r}}{\ln x} \right) \\
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\intertext{Nach Satz 27 im Skript, existiert der Grenzwert $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^{r}}{\ln x} \right)$ nicht bzw. ist unendlich. Unendlich mal eine Konstante ist immer noch unendlich.}
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|
&=& \infty
|
|
\end{alignat*}
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\subsection{} %c
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\setcounter{subsubsection}{0}
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\subsubsection{} %i
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\subsubsection{} %ii
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\end{document}
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