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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\setcounter{section}{1}
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\makeatletter
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\addtolength{\parskip}{\baselineskip}
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\begin{document}
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\author{Jim Martens}
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\title{Hausaufgaben zum 4. Juni}
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\maketitle
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\section{} %8.2
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\textit{Behauptung}\\
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Für alle Formeln F$\, \in \mathcal{L}_{AL}$ gilt, $|\text{Tf(F)}| \leq |\text{F}|$.\\
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\\
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\textit{Induktionsanfang}\\
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Teilbeweis für die auf atomare Formeln eingeschränkte Behauptung: Für jedes Aussagensymbol
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A$\, \in \mathcal{A}s_{AL}$ gilt: $|\text{Tf(A)}| \leq |\text{A}|$.\\
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A hat nur eine Teilformel und zwar sich selbst. Die Länge von A beträgt ebenso eins. Demnach ergibt sich $1 \leq 1$, was offensichtlich gilt.\\
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\\
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\textit{Induktionsannahme}\\
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Es seien G$_{1}, \,$G$_{2} \in \mathcal{L}_{AL}$ Formeln, für die gilt: $|\text{Tf(G}_{1}\text{)}| \leq |\text{G}_{1}|$ und $|\text{Tf(G}_{2}\text{)}| \leq |\text{G}_{2}|$.\\
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\\
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\textit{Induktionsschritt}\\
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Fall: $\neg \,$G$_{1}$\\
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Teilbeweis für $|\text{Tf(}\neg \text{G}_{1}\text{)}| \leq |\neg \,\text{G}_{1}|$.\\
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Es gilt: $|\text{Tf(}\neg \,\text{G}_{1}\text{)}| = 1 + |\text{Tf(G}_{1}\text{)}| \overset{IA}{\leq} 1 + |\text{G}_{1}| = |\neg \,\text{G}_{1}|$\\
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Demnach gilt die Behauptung für $\neg \,$G$_{1}$.\\
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\\
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Fall: (G$_{1} \circ \,$G$_{2}$) für $\circ \in \{\vee, \wedge, \Rightarrow, \Leftrightarrow\}$\\
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Teilbeweis für $|\text{Tf(G}_{1} \circ \, \text{G}_{2}\text{)}| \leq |(\text{G}_{1} \circ \,\text{G}_{2})|$.\\
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Es gilt:\\
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\begin{alignat*}{2}
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|\text{Tf(G}_{1} \circ \, \text{G}_{2}\text{)}| &=& 1 + |\text{Tf(G}_{1}\text{)}| + |\text{Tf(G}_{2}\text{)}| \\
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1 + |\text{Tf(G}_{1}\text{)}| + |\text{Tf(G}_{2}\text{)}| &\overset{IA}{\leq}& 1 + |\text{G}_{1}| + |\text{G}_{2}| \\
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1 + |\text{G}_{1}| + |\text{G}_{2}| &\leq & 3 + |\text{G}_{1}| + |\text{G}_{2}| \\
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3 + |\text{G}_{1}| + |\text{G}_{2}| &=& |(\text{G}_{1} \circ \,\text{G}_{2})|
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\end{alignat*}
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Demnach gilt die Behauptung für (G$_{1} \circ \,$G$_{2}$).\\
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\\
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\textit{Resumé}\\
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Nach dem Prinzip der strukturellen Induktion ergibt sich damit: Für alle Formeln F$\, \in \mathcal{L}_{AL}$
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gilt, $|\text{Tf(F)}| \leq |\text{F}|$.
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%
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%
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%
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\section{} %8.3
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\textit{Behauptung}\\
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Für alle Formeln F$\, \in \mathcal{L}_{AL}$ gilt, $|$F$| \leq 2^{|\text{Tf(F)}|+1}-3$.\\
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\\
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\textit{Induktionsanfang}\\
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Teilbeweis für die auf atomare Formeln eingeschränkte Behauptung: Für jedes Aussagensymbol
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A$\, \in \mathcal{A}s_{AL}$ gilt: $|$A$| \leq 2^{|\text{Tf(A)}|+1}-3$.\\
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Die Länge von A beträgt 1. Ebenso hat A lediglich eine Teilformel und zwar sich selbst. Daraus ergibt sich:\\
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\begin{alignat*}{2}
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1 &\leq & 2^{1 + 1}-3 \\
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1 &\leq & 2^{2} - 3 \\
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1 &\leq & 4-3 = 1
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\end{alignat*}
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Dies gilt offensichtlich.\\
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\\
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\textit{Induktionsannahme}\\
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Es seien G$_{1}, \,$G$_{2} \in \mathcal{L}_{AL}$ Formeln, für die gilt: $|$G$_{1}| \leq 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3$ und $|$G$_{2}| \leq 2^{|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|+1}-3$.\\
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|
\\
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|
\textit{Induktionsschritt}\\
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Fall: $\neg \,$G$_{1}$\\
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Teilbeweis für $|\neg \,$G$_{1}| \leq 2^{|\text{Tf(}\neg \,\text{G}_{1}\text{)}|+1}-3$.\\
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Es gilt:\\
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\begin{alignat*}{2}
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|\neg \,\text{G}_{1}| = 1 + |\text{G}_{1}| &\overset{IA}{\leq} & 1 + 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3 \\
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|
1 + 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3 &\leq & \left(2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3\right) + \left(2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3\right) \\
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\left(2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3\right) + \left(2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3\right) &=&
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2\cdot 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3 \\
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&=& 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1+1}-3 \\
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&=& 2^{|\text{Tf(}\neg \,\text{G}_{1}\text{)}|+1}-3
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|
\end{alignat*}
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Die Behauptung gilt demnach für $\neg \,$G$_{1}$.\\
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\\
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Fall: (G$_{1} \circ \,$G$_{2}$) für $\circ \in \{\vee, \wedge, \Rightarrow, \Leftrightarrow\}$\\
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Teilbeweis für $|($G$_{1} \circ \,$G$_{2})| \leq 2^{|\text{Tf(G}_{1} \circ \,\text{G}_{2}\text{)}|+1}-3$ .\\
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|
Es gilt:\\
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\begin{alignat*}{2}
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|\text{G}_{1} \circ \,\text{G}_{2}| = 3 + |\text{G}_{1}| + |\text{G}_{2}| &\overset{IA}{\leq}& 3 + 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3 + 2^{|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|+1}-3 \\
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3 + 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1}-3 + 2^{|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|+1}-3 &=& 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1} + 2^{|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|+1}-3 \\
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|
2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+1} + 2^{|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|+1}-3 &=& 2 \cdot \left(2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|}+2^{|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|}\right) -3 \\
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|
2 \cdot \left(2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|}+2^{|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|}\right) -3 &\leq & 2 \cdot \left(2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|} \cdot 2^{|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|}\right) -3 \\
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2 \cdot \left(2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|} \cdot 2^{|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|}\right) -3 &=& 2 \cdot 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|} -3 \\
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2 \cdot 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+|\text{Tf(G}_{2}\text{)}|} -3 &\leq & 2 \cdot 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+|\text{Tf(G}_{2}\text{)}| + 1} -3 \\
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2 \cdot 2^{|\text{Tf(G}_{1}\text{)}|+|\text{Tf(G}_{2}\text{)}| + 1} -3 &=& 2 \cdot 2^{|\text{Tf(G}_{1} \circ \,\text{G}_{2}\text{)}|} -3 \\
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|
&=& 2^{|\text{Tf(G}_{1} \circ \,\text{G}_{2}\text{)}|+1} - 3
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|
\end{alignat*}
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Demnach gilt die Behauptung für (G$_{1} \circ \,$G$_{2}$).\\
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\\
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\textit{Resumé}\\
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|
Nach dem Prinzip der strukturellen Induktion ergibt sich damit: Für alle Formeln F$\, \in \mathcal{L}_{AL}$
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gilt, $|$F$| \leq 2^{|\text{Tf(F)}|+1}-3$.
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\section{} %8.4
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\subsection{} %1.
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\begin{alignat*}{2}
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F^{n}_{a} &=& \begin{cases}
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A & n=1\\
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\neg A & n=2 \\
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\neg F^{(n-1)}_{a} & n > 2
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\end{cases}
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|
\end{alignat*}
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|
\subsection{} %2.
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|
\begin{alignat*}{2}
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|
F^{n}_{b} &=& \begin{cases}
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|
A & n=1 \\
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|
\neg A & n=2 \\
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|
(A \wedge B) & n=3 \\
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|
\neg F^{(n-1)}_{b} & n > 3
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|
\end{cases}
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|
\end{alignat*}
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\end{document}
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