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6.9 KiB
TeX
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\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx}
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\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings}
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\usepackage{polynom}
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\polyset{style=C, div=:,vars=x}
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\pgfplotsset{compat=1.8}
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\pagenumbering{arabic}
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\def\thesection{\arabic{section})}
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\def\thesubsection{\alph{subsection})}
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\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})}
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\makeatletter
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\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
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\hskip -\arraycolsep
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\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
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\array{#1}}
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\makeatother
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\begin{document}
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\author{Jan Branitz (6326955), Jim Martens (6420323),\\
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Stephan Niendorf (6242417)}
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\title{Hausaufgaben zum 21. Oktober}
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\maketitle
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\section{} %1
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\subsection{} %a
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\subsubsection{} %i
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Die Zielfunktion muss in Standardform maximiert werden. Um dies zu erreichen, wird mit $-1$ multipliziert. Die erste Nebenbedingung wird auf gleiche Weise umgeformt. Die dritte Nebenbedingung wird durch zwei Bedingungen ersetzt.
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\begin{alignat*}{5}
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\text{maximiere} -& 2x_{1} &-& x_{2} &+& x_{3} &-& 2x_{4} && \\
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\multicolumn{10}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
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& 3x_{1} &+& x_{2} &-& x_{3} && &\leq & -2 \\
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-& 7x_{1} &-& x_{2} && &+& x_{4} &\leq &\, 3 \\
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& && x_{2} &+& x_{3} &-& x_{4} &\leq &\, 7 \\
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& &-& x_{2} &-& x_{3} &+& x_{4} &\leq & -7 \\
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\multicolumn{8}{r}{$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$} \,&\geq &\, 0
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\end{alignat*}
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\subsubsection{} %ii
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Die erste Nebenbedingung wird mit $-1$ multipliziert. Auch wird die dritte Nebenbedingung durch zwei Bedingungen ersetzt. Da $x_{1}$ in der Nichtnegativitätsbedingung fehlt, werden zwei Variablen $x_{1}^{'}, x_{1}^{''}$ erzeugt, die je den positiven bzw. negativen Teil von $x_{1}$ darstellen.
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\begin{alignat*}{6}
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\text{maximiere}\; & 2x_{1}^{'} &-& 2x_{1}^{''} &+& x_{2} &-& x_{3} &+& 2x_{4} && \\
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\multicolumn{12}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
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& 3x_{1}^{'} &-& 3x_{1}^{''} &+& x_{2} &-& x_{3} && &\leq & -2 \\
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-& 7x_{1}^{'} &+& 7x_{1}^{''} &-& x_{2} && &+& x_{4} &\leq &\, 3 \\
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& && && x_{2} &+& x_{3} &-& x_{4} &\leq &\, 7 \\
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& && &-& x_{2} &-& x_{3} &+& x_{4} &\leq & -7 \\
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& && && && && x_{4} &\leq & 9 \\
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\multicolumn{10}{r}{$x_{1}^{'}, x_{1}^{''}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$} \,&\geq &\, 0
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\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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Es gilt das folgende Problem mit der grafischen Methode zu lösen.
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\begin{alignat*}{3}
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\text{maximiere}\; & 2x_{1} &+& 5x_{2}&& \\
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\multicolumn{6}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
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& 3x_{1} &-& 2x_{2} &\leq &\, 6 \\
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& x_{1} &+& x_{2} &\leq &\, 6 \\
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-& 2x_{1} &+& 6x_{2} &\leq &\, 18 \\
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\multicolumn{4}{r}{$x_{1}, x_{2}$} \,&\geq &\, 0
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\end{alignat*}
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Nach Umstellen der Nebenbedingungen nach $x_{2}$ ergibt sich dieses:
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\begin{alignat*}{3}
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x_{2} &\geq & \frac{3}{2}x_{1} &-& 3 \\
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x_{2} &\leq & -x_{1} &+& 6 \\
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x_{2} &\leq & \frac{1}{3}x_{1} &+& 3
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\end{alignat*}
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Daraus lässt sich die Fläche aller gültigen Werte zeichnen.
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\begin{tikzpicture}[>=stealth]
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\begin{axis}[
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ymin=0,ymax=7,
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x=1cm,
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y=1cm,
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axis x line=middle,
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axis y line=middle,
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axis line style=->,
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xlabel={$x_{1}$},
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|
ylabel={$x_{2}$},
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xmin=0,xmax=7
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]
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\addplot[no marks, black, -] expression[domain=2:6,samples=100]{1.5*x - 3} node[pos=0.65,anchor=north]{};
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|
\addplot[no marks, black, -] expression[domain=0:6,samples=100]{-1*x + 6} node[pos=0.65,anchor=north]{};
|
|
\addplot[no marks, black, -] expression[domain=0:6,samples=100]{0.3333333333333*x + 3} node[pos=0.65,anchor=north]{};
|
|
\addplot[no marks, black, -] expression[domain=0:7,samples=100]{-0.4*x + 4.65} node[pos=0.65,anchor=north]{};
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|
\node at (axis cs: 2.5,4.5) {(2.25,3.75)};
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\node at (axis cs: 6,2) {z};
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%\draw[>=stealth] (axis cs:1,0) -- (axis cs:1,-6) node [pos=0.65,anchor=north]{};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}\\
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Das optimale Ergebnis kann folgendermaßen bestimmt werden:
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\begin{alignat*}{5}
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I &-&\; 2x_{1} &+& 6x_{2} &=& 18 && \;| + 2II\\
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II &&\; x_{1} &+& x_{2} &=& 6 && \\
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\overset{I+2II}{\Rightarrow} &&\; && 8x_{2} &=& 30 && \;| \cdot \frac{1}{8} \\
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\Leftrightarrow &&\; && x_{2} &=& \frac{30}{8} = \frac{15}{4} &&
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\intertext{Einsetzen in II}
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\overset{II}{\Rightarrow} &&\; x_{1} &+& \frac{15}{4} &=& 6 &&\;| - \frac{15}{4} \\
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&&\; x_{1} && &=& \frac{24}{4} - \frac{15}{4} = \frac{9}{4} &&
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\end{alignat*}
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Anhand der beiden $x$-Werte kann nun der Wert der Zielfunktion berechnet werden.
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\[
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2 \cdot \frac{9}{4} + 5 \cdot \frac{15}{4} = \frac{18}{4} + \frac{75}{4} = \frac{93}{4} = 23,25
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\]
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Damit ist $\frac{93}{4}$ das optimale Ergebnis für die Zielfunktion $2x_{1} + 5x_{2}$ unter den gegebenen Nebenbedingungen.
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\section{} %2
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\subsection{} %a
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Pauls Diätproblem:\\
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\begin{alignat*}{7}
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\text{maximiere}\; -& 3x_{1} &-& 24x_{2} &-& 13x_{3} &-& 9x_{4} &-& 20x_{5} &-& 19x_{6} && \\
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\multicolumn{14}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
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- & 110x_{1} &-& 205x_{2} &-& 160x_{3} &-& 160x_{4} &-& 420x_{5} &-& 260x_{6} &\leq & -2000 \\
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-& 4x_{1} &-& 32x_{2} &-& 13x_{3} &-& 8x_{4} &-& 4x_{5} &-& 14x_{6} &\leq & -55 \\
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-& 2x_{1} &-& 12x_{2} &-& 54x_{3} &-& 285x_{4} &-& 22x_{5} &-& 80x_{6} &\leq & -800 \\
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& x_{1} && && && && && &\leq &\, 4 \\
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& && x_{2} && && && && &\leq &\, 3 \\
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& && && x_{3} && && && &\leq &\, 2 \\
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& && && && x_{4} && && &\leq &\, 8 \\
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& && && && && x_{5} && &\leq &\, 2 \\
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& && && && && && x_{6} &\leq &\, 2 \\
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\multicolumn{12}{r}{$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$} \,&\geq &\, 0
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\end{alignat*}
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Problem (1.2) in Standardform:\\
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\begin{alignat*}{7}
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\text{maximiere}\; & 3x_{1}^{'} &-& 3x_{1}^{''} &+& x_{2} && && && \\
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\multicolumn{14}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
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& x_{1}^{'} &-& x_{1}^{''} &-& 6x_{2} &+& x_{3} &-& x_{4}^{'} &+& x_{4}^{''} &\leq &\, 3 \\
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& && && 7x_{2} && &-& 2x_{4}^{'} &+& 2x_{4}^{''} &\leq &\, 5 \\
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& && &-& 7x_{2} && &+& 2x_{4}^{'} &-& 2x_{4}^{''} &\leq & -5 \\
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-& x_{1}^{'} &+& x_{1}^{''} &+& x_{2} &+& x_{3} && && &\leq &\, 1 \\
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|
& x_{1}^{'} &-& x_{1}^{''} &-& x_{2} &-& x_{3} && && &\leq & -1 \\
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|
& && && && x_{3} &-& x_{4}^{'} &+& x_{4}^{''} &\leq &\, 2 \\
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|
\multicolumn{12}{r}{$x_{1}^{'}, x_{1}^{''}, x_{2}, x_{3}, x_{4}^{'}, x_{4}^{''}$} \,&\geq &\, 0
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|
\end{alignat*}
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\subsection{} %b
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\begin{alignat*}{7}
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\text{maximiere}\; & 8a_{1} &+& 3a_{2} &+& 6b_{1} &+& 3b_{2} &+& 9c_{1} &+& 5c_{2} && \\
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\multicolumn{14}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
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& a_{1} &+& a_{2} && && && && &\leq &\, 400 \\
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& && && b_{1} &+& b_{2} && && &\leq &\, 480 \\
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& && && && && c_{1} &+& c_{2} &\leq &\, 230 \\
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& a_{1} && &+& b_{1} && &+& c_{1} && &\leq &\, 420 \\
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& && a_{2} && &+& b_{2} && &+& c_{2} &\leq &\, 250 \\
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|
\multicolumn{12}{r}{$a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$} \,&\geq &\, 0
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\end{alignat*}
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\end{document}
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