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\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 21. Oktober}
\maketitle
\section{} %1
	\subsection{} %a
		\subsubsection{} %i
		Die Zielfunktion muss in Standardform maximiert werden. Um dies zu erreichen, wird mit $-1$ multipliziert. Die erste Nebenbedingung wird auf gleiche Weise umgeformt. Die dritte Nebenbedingung wird durch zwei Bedingungen ersetzt.
		
		\begin{alignat*}{5}
		\text{maximiere} -& 2x_{1} &-& x_{2} &+& x_{3} &-& 2x_{4} && \\
		\multicolumn{10}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
		& 3x_{1} &+& x_{2} &-& x_{3} && &\leq & -2 \\
		-& 7x_{1} &-& x_{2} && &+& x_{4} &\leq &\, 3 \\
		& && x_{2} &+& x_{3} &-& x_{4} &\leq &\, 7 \\
		& &-& x_{2} &-& x_{3} &+& x_{4} &\leq & -7 \\
		\multicolumn{8}{r}{$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
		\subsubsection{} %ii
		Die erste Nebenbedingung wird mit $-1$ multipliziert. Auch wird die dritte Nebenbedingung durch zwei Bedingungen ersetzt. Da $x_{1}$ in der Nichtnegativitätsbedingung fehlt, werden zwei Variablen $x_{1}^{'}, x_{1}^{''}$ erzeugt, die je den positiven bzw. negativen Teil von $x_{1}$ darstellen.
		\begin{alignat*}{6}
		\text{maximiere}\; & 2x_{1}^{'} &-& 2x_{1}^{''} &+& x_{2} &-& x_{3} &+& 2x_{4} && \\
		\multicolumn{12}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
		& 3x_{1}^{'} &-& 3x_{1}^{''} &+& x_{2} &-& x_{3} && &\leq & -2 \\
		-& 7x_{1}^{'} &+& 7x_{1}^{''} &-& x_{2} && &+& x_{4} &\leq &\, 3 \\
		& && && x_{2} &+& x_{3} &-& x_{4} &\leq &\, 7 \\
		& && &-& x_{2} &-& x_{3} &+& x_{4} &\leq & -7 \\
		& && && && && x_{4} &\leq & 9 \\
		\multicolumn{10}{r}{$x_{1}^{'}, x_{1}^{''}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
	\subsection{} %b
\section{} %2
\end{document}