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\begin{document}
\author{Tronje Krabbe, Jim Martens, Julian Tobergte}
\title{Hausaufgaben zum 22. Oktober}
\maketitle
\section{} %1
	\subsection{} %a
	\subsection{} %b
		\subsubsection{} %i
		Zu zeigen: für beliebige $b > 1$ gilt: $\log_{b}(n) \in \mathcal{\theta} (\log_{2}n)$\\
		Dies ist durch die Logarithmusgesetze einfach zu zeigen. $\log_{b}(n)$ kann demnach auch als $\frac{\log_{2}(n)}{\log_{2}(b)}$ dargestellt werden. Dabei geht dieser Term asymptotisch gegen $\log_{2}(n)$, da $\log_{2}(b)$ eine Konstante ist und daher nicht beachtet werden muss. Damit ist die Aussage gezeigt, dass $\log_{b}(n)$ für $b > 1$ asymptotisch genau so schnell wächst wie $\log_{2}(n)$.
		\subsubsection{} %ii
		Behauptung: $f \in \mathcal{O}(g) \Rightarrow g \in \omega (f)$\\
		Diese Behauptung gilt nicht. Dies kann mithilfe der Definition der Landau-Symbole erklärt werden. $f \in \mathcal{O}(g)$ besagt, dass $f$ maximal so schnell wie $g$ wächst. Dabei ist auch der Fall enthalten, dass $f$ und $g$ gleich schnell wachsen.
		
		Der zweite Teil der Behauptung erfordert jedoch, dass $g$ in jedem Fall schneller als $f$ wächst. Dies steht aber im Widerspruch zu dem ersten Teil der Behauptung. Damit ist die Behauptung widerlegt. 
		\subsubsection{} %iii
\section{} %2
	\subsection{} %a
	\subsection{} %b
\section{} %3
	\subsection{} %a
	\subsection{} %b
	$X^{64}$ kann geschickter berechnet werden, wenn man die Ergebnisse von vorigen Multiplikationen speichert. Damit lässt sich $X^{64}$ auf diese Weise berechnen:\\
	\begin{alignat*}{3}
	& X &\cdot & X &=& X^{2} \\
	& X^{2} &\cdot & X^{2} &=& X^{4} \\
	& X^{4} &\cdot & X^{4} &=& X^{8} \\
	& X^{8} &\cdot & X^{8} &=& X^{16} \\
	& X^{16} &\cdot & X^{16} &=& X^{32} \\
	& X^{32} &\cdot & X^{32} &=& X^{64}
	\end{alignat*}
	Auf eben gezeigte Weise kann man $X^{64}$ mit nur $6$ Multiplikationen ausrechnen. Interessanterweise gilt $2^{6} = 64$. Müsste man nun eine andere 2-Potenz ausrechnen, dann wäre das Ergebnis ebenso schnell klar. Da im allgemeinen Fall $n$ aber irgendeine Zahl sein kann, ist es sinnvoll sich zum Beispiel $74$ anzusehen. Im Fall von $74$ würde es so weiter gehen:
	\begin{alignat*}{3}
	& X^{64} &\cdot & X^{8} &=& X^{72} \\
	& X^{72} &\cdot & X^{2} &=& X^{74}
	\end{alignat*}
	Demnach würden bei $74$ acht Multiplikationen benötigt.
	
	Daraus kann die allgemeine Formel für die Anzahl der Multiplikationen $F(n)$ gebildet werden:\\
	\begin{alignat*}{2}
	F(n) &=& \begin{cases}
  0,  & \text{wenn } n = 1\\
  \lceil F(\frac{n}{2}) \rceil + 1, & \text{wenn } n > 1
		\end{cases}
	\end{alignat*}
	Diese rekursive Formel könnte auch als Schleife dargestellt werden. Durch die Halbierung von n bei jedem Durchgang hat die Funktion eine logarithmische Laufzeit. Die Addition ist dabei irrelevant, wenn man sich das asymptotische Verhalten ansieht.
	
	Damit ist die Behauptung, dass $\mathcal{O}(\log n)$ Multiplikationen ausreichen um $X^{n}$ zu berechnen, gezeigt.
	\subsection{} %c
\end{document}