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\begin{document}
\author{Benjamin Kuffel, Jim Martens\\Gruppe 6}
\title{Hausaufgaben zum 3. November}
\maketitle

\setcounter{section}{2}
\section{} %3.3
	\subsection{}
		\begin{alignat*}{2}
			L(A_{1}) &=& (a^{*}ba^{*}b)^{*}(a^{*} + a^{*}ba^{*}) \\
			L(A_{2}) &=& a^{*}b(a^{*}ba^{*}b)^{*} \\
			L^{\omega}(A_{1}) &=& (a^{*}ba^{*}b)^{\omega} + ((a^{*}ba^{*}b)^{*}a^{*}ba^{\omega}) \\
			L^{\omega}(A_{2}) &=& (a^{*}ba^{*}b)^{\omega}
		\end{alignat*}
	\subsection{}
		\begin{figure}
			\begin{tikzpicture}[node distance=2cm]
				\node[state,initial] (qs) {\((q, s)\)};
				\node[state] (rt) [right=of qs] {\((r, t)\)};
				\node[state,accepting] (pt) [above=of qs] {\((p, t)\)};
				\path[->] (qs) edge[bend left] node [above] {\(b\)} (rt)
					(qs) edge[loop below] node [below] {\(a\)} (qs)
					(rt) edge[loop right] node [right] {\(a\)} (rt)
					(rt) edge[bend left] node [below] {\(b\)} (qs)
					(qs) edge node [left] {\(b\)} (pt)
					(pt) edge[loop right] node [right] {\(a\)} (pt);
			\end{tikzpicture}
			\caption{initiale Zusammenhangskomponente des Produktautomaten \(A_{3}\)} 
			\label{fig:1}
		\end{figure}
		Siehe \fref{fig:1} für die Konstruktion.
	\subsection{}
		\begin{alignat*}{2}
			L(A_{3}) &=& (a^{*}ba^{*}b)^{*}ba^{*} \\
			L^{\omega}(A_{3}) &=& (a^{*}ba^{*}b)^{*}a^{*}ba^{\omega} \\
			L(A_{1}) \cap L(A_{2}) &=& a^{*}b(a^{*}ba^{*}b)^{*} = (a^{*}ba^{*}b)^{*}a^{*}b \\
			L^\omega(A_{1}) \cap L^{\omega}(A_{2}) &=& (a^{*}ba^{*}b)^{\omega}
		\end{alignat*}
		Es fällt auf, dass \(L(A_{3})\) größtenteils dem Durchschnitt von \(L(A_{1})\) und \(L(A_{2})\) entspricht. Lediglich am Ende unterscheiden sich beide Sprachen. Im Fall von \(L(A_{3})\) werden Wörter mit einem \(a\) am Ende akzeptiert, während der Durchschnitt lediglich Wörter mit einem \(b\) am Ende akzeptiert.
		
		Vergleicht man \(L^{\omega}(A_{3})\) mit dem Durchschnitt der beiden \(\omega \)-Sprachen, so ergibt sich, dass in \(L^{\omega}(A_{3})\) die Schleife maximal endlich oft durchlaufen werden darf und dann beliebig viele \(a\), ein \(b\) und unendlich viele \(a\) folgen müssen. Im Falle des Durchschnitts hingegen, muss die Schleife unendlich oft durchlaufen werden.
	\subsection{}
		\begin{figure}
			\begin{tikzpicture}[node distance=2cm]
				\node[state,initial,accepting] (qs1) {\((q, s, 1)\)};
				\node[state] (qs2) [above=of qs1] {\((q, s, 2)\)};
				\node[state] (rt1) [right=of qs1] {\((r, t, 1)\)};
				\node[state,accepting] (pt1) [below=of qs1] {\((p, t, 1)\)};
				\node[state] (rt2) [above=of rt1] {\((r, t, 2)\)};
				\node[state] (pt2) [right=of pt1] {\((p, t, 2)\)};
				\path[->] (qs1) edge[bend right] node [above left] {\(b\)} (rt2)
					(qs1) edge node [right] {\(a\)} (qs2)
					(qs2) edge node [above] {\(b\)} (rt2)
					(qs2) edge[loop left] node [left] {\(a\)} (qs2)
					(rt2) edge node [below right] {\(a\)} (rt1)
					(rt2) edge[bend right] node [below right] {\(b\)} (qs1)
					(rt1) edge[loop right] node [right] {\(a\)} (rt1)
					(rt1) edge node [below] {\(b\)} (qs1)
					(qs1) edge[bend left] node [above right] {\(b\)} (pt2)
					(pt2) edge[bend left] node [below] {\(a\)} (pt1)
					(pt1) edge[bend left] node [below] {\(a\)} (pt2);
			\end{tikzpicture}
			\caption{initiale Zusammenhangskomponente des Produktautomaten \(A_{4}\)} 
			\label{fig:2}
		\end{figure}
		Siehe \fref{fig:2} für die Konstruktion.
	\subsection{}
		\begin{alignat*}{2}
			L(A_{4}) &=& ((aa^{*}b + b)(b + aa^{*}b))^{*}(((aa^{*}b + b)(b + aa^{*}b)) + ba(aa)^{*}) \\
			L^{\omega}(A_{4}) &=& ((aa^{*}b + b)(b + aa^{*}b))^{\omega}(((aa^{*}b + b)(b + aa^{*}b)) + ba(aa)^{\omega})
		\end{alignat*}
\section{} %3.4	
	\(TS_{1}\) und \(TS_{2}\) sind bisimilar. Die dazugehörige Relation lautet:
	\[
		\mathcal{B}_{1} = \{(P_{0}, Q_{0}), (P_{1}, Q_{1}), (P_{2}, Q_{1}), (P_{3}, Q_{2}), (P_{0}, Q_{3})\}
	\]
	
	\(TS_{3}\) und \(TS_{4}\) sind nicht bisimilar. Dies lässt sich an der theoretisch benötigten Relation sehen.
	\[
		\mathcal{B}_{2} = \{(R_{0}, S_{0}), (R_{0}, S_{1}), (R_{1}, S_{2}), (R_{1}, S_{3}), (R_{2}, S_{2}), (R_{2}, S_{3}), (R_{3}, S_{4}), (R_{4}, S_{4})\}
	\]
	
	Es ist deutlich zu sehen, dass \(R_{1}\) und \(S_{2}\) ein Paar sein müssten. Von \(R_{1}\) gehen zwei Kanten ab, einmal \(b\) und einmal \(c\). Von \(S_{2}\) geht jedoch nur eine Kante ab und zwar eine mit \(b\). Da es keine Kante mit einem \(c\) gibt, sind die beiden Transitionsnetze nicht bisimilar.
\end{document}
