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\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 21. Oktober}
\maketitle
\section{} %1
	\subsection{} %a
		\subsubsection{} %i
		Die Zielfunktion muss in Standardform maximiert werden. Um dies zu erreichen, wird mit $-1$ multipliziert. Die erste Nebenbedingung wird auf gleiche Weise umgeformt. Die dritte Nebenbedingung wird durch zwei Bedingungen ersetzt.
		
		\begin{alignat*}{5}
		\text{maximiere} -& 2x_{1} &-& x_{2} &+& x_{3} &-& 2x_{4} && \\
		\multicolumn{10}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
		& 3x_{1} &+& x_{2} &-& x_{3} && &\leq & -2 \\
		-& 7x_{1} &-& x_{2} && &+& x_{4} &\leq &\, 3 \\
		& && x_{2} &+& x_{3} &-& x_{4} &\leq &\, 7 \\
		& &-& x_{2} &-& x_{3} &+& x_{4} &\leq & -7 \\
		\multicolumn{8}{r}{$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
		\subsubsection{} %ii
		Die erste Nebenbedingung wird mit $-1$ multipliziert. Auch wird die dritte Nebenbedingung durch zwei Bedingungen ersetzt. Da $x_{1}$ in der Nichtnegativitätsbedingung fehlt, werden zwei Variablen $x_{1}^{'}, x_{1}^{''}$ erzeugt, die je den positiven bzw. negativen Teil von $x_{1}$ darstellen.
		\begin{alignat*}{6}
		\text{maximiere}\; & 2x_{1}^{'} &-& 2x_{1}^{''} &+& x_{2} &-& x_{3} &+& 2x_{4} && \\
		\multicolumn{12}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
		& 3x_{1}^{'} &-& 3x_{1}^{''} &+& x_{2} &-& x_{3} && &\leq & -2 \\
		-& 7x_{1}^{'} &+& 7x_{1}^{''} &-& x_{2} && &+& x_{4} &\leq &\, 3 \\
		& && && x_{2} &+& x_{3} &-& x_{4} &\leq &\, 7 \\
		& && &-& x_{2} &-& x_{3} &+& x_{4} &\leq & -7 \\
		& && && && && x_{4} &\leq & 9 \\
		\multicolumn{10}{r}{$x_{1}^{'}, x_{1}^{''}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
	\subsection{} %b
\section{} %2
	\subsection{} %a
	Pauls Diätproblem:\\
	\begin{alignat*}{7}
		\text{maximiere}\; -& 3x_{1} &-& 24x_{2} &-& 13x_{3} &-& 9x_{4} &-& 20x_{5} &-& 19x_{6} && \\
		\multicolumn{14}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
		- & 110x_{1} &-& 205x_{2} &-& 160x_{3} &-& 160x_{4} &-& 420x_{5} &-& 260x_{6} &\leq & -2000 \\
		-& 4x_{1} &-& 32x_{2} &-& 13x_{3} &-& 8x_{4} &-& 4x_{5} &-& 14x_{6} &\leq & -55 \\
		-& 2x_{1} &-& 12x_{2} &-& 54x_{3} &-& 285x_{4} &-& 22x_{5} &-& 80x_{6} &\leq & -800 \\
		& x_{1} && && && && && &\leq &\, 4 \\
		& && x_{2} && && && && &\leq &\, 3 \\
		& && && x_{3} && && && &\leq &\, 2 \\
		& && && && x_{4} && && &\leq &\, 8 \\
		& && && && && x_{5} && &\leq &\, 2 \\
		& && && && && && x_{6} &\leq &\, 2 \\
		\multicolumn{12}{r}{$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
		Problem (1.2) in Standardform:\\
		\begin{alignat*}{7}
		\text{maximiere}\; & 3x_{1}^{'} &-& 3x_{1}^{''} &+& x_{2} && && && \\
		\multicolumn{14}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
		& x_{1}^{'} &-& x_{1}^{''} &-& 6x_{2} &+& x_{3} &-& x_{4}^{'} &+& x_{4}^{''} &\leq &\, 3 \\
		& && && 7x_{2} && &-& 2x_{4}^{'} &+& 2x_{4}^{''} &\leq &\, 5 \\
		& && &-& 7x_{2} && &+& 2x_{4}^{'} &-& 2x_{4}^{''} &\leq & -5 \\
		-& x_{1}^{'} &+& x_{1}^{''} &+& x_{2} &+& x_{3} && && &\leq &\, 1 \\
		& x_{1}^{'} &-& x_{1}^{''} &-& x_{2} &-& x_{3} && && &\leq & -1 \\
		& && && && x_{3} &-& x_{4}^{'} &+& x_{4}^{''} &\leq &\, 2 \\
		\multicolumn{12}{r}{$x_{1}^{'}, x_{1}^{''}, x_{2}, x_{3}, x_{4}^{'}, x_{4}^{''}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
	\subsection{} %b
		\begin{alignat*}{10}
		\text{maximiere}\; & 5a_{1} &+& 13a_{2} &+& 8a_{3} &+& 9b_{1} &+& 15b_{2} &+& 12b_{3} &+& 5c_{1} &+& 14c_{2} &+& 10c_{3} &&  \\
		\multicolumn{20}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
		& a_{1} &+& a_{2} &+& a_{3} && && && && && && &\leq &\, 400 \\
		& && && && b_{1} &+& b_{2} &+& b_{3} && && && &\leq &\, 480 \\
		& && && && && && && c_{1} &+& c_{2} &+& c_{3} &\leq &\, 230 	\\
		& && a_{2} && && &+& b_{2} && && &+& c_{2} && &\leq &\, 420 \\
		& && && a_{3} && && &+& b_{3} && && &+& c_{3} &\leq &\, 250 \\
		\multicolumn{18}{r}{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, c_{1}, c_{2}, c_{3}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
\end{document}