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\begin{document}
\author{Jim Martens (6420323)}
\title{Hausaufgaben zum 11. Juli}
\maketitle
\section{} %1
\begin{alignat*}{2}
\iint\limits_{I} f(x,y)\, d(x,y) &=& \iint\limits_{I} (2x^{2}y)\, d(x,y) \\
\intertext{Version 1}
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( \int\limits_{-1}^{3} (2x^{2}y) \, dy \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \int\limits_{-1}^{3} y \, dy \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{-1}^{3} \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \left[\frac{9}{2} - \frac{1}{2}\right] \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{1}^{2} \left( 2x^{2} \cdot 4 \right)\, dx \\
&=& 8 \int\limits_{1}^{2} x^{2}\, dx \\
&=& 8 \left[\frac{1}{3}x^{3} \right]_{1}^{2} \\
&=& 8 \left[\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right] \\
&=& 8 \cdot \frac{7}{3} = \frac{56}{3} \\
\intertext{Version 2}
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( \int\limits_{1}^{2} (2x^{2}y) \, dx \right) \, dy \\
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y\int\limits_{1}^{2} x^{2} \, dx \right) \, dy \\
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y\left[\frac{1}{3}x^{3} \right]_{1}^{2} \right) \, dy \\
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y\left[\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right] \right) \, dy \\
&=& \int\limits_{-1}^{3} \left( 2y \cdot \frac{7}{3} \right) \, dy \\
&=& \frac{14}{3}\int\limits_{-1}^{3} y  \, dy \\
&=& \frac{14}{3}\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{-1}^{3} \\
&=& \frac{14}{3}\left[\frac{9}{2} - \frac{1}{2}\right] \\
&=& \frac{14}{3} \cdot 4 = \frac{56}{3}
\end{alignat*}
\section{} %2
\subsubsection{} %i
\begin{alignat*}{2}
\iint\limits_{G} f(x,y) \, d(x,y) &=& \iint\limits_{G} (xy^{2}) \, d(x,y) \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(\int\limits_{0}^{3x} xy^{2}\, dy \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x\int\limits_{0}^{3x} y^{2}\, dy \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{1}{3}y^{3} \right]_{0}^{3x} \right) \, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{1}{3} \cdot 27x^{3} \right] \right) \, dx \\
&=&  \int\limits_{0}^{1} \left(x \cdot 9x^{3} \right) \, dx \\
&=&  \int\limits_{0}^{1} \left(9x^{4} \right) \, dx \\
&=& 9\int\limits_{0}^{1} x^{4} \, dx \\
&=& 9\left[\frac{1}{5}x^{5} \right]_{0}^{1} \\
&=& 9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}
\end{alignat*}
\subsubsection{} %ii
\begin{alignat*}{2}
\iint\limits_{G} f(x,y) \, d(x,y) &=& \iint\limits_{G} (xy^{2}) \, d(x,y) \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(\int\limits_{3x}^{3} xy^{2} \, dy \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x\int\limits_{3x}^{3} y^{2} \, dy \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{1}{3}y^{3} \right]_{3x}^{3} \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(x \left[\frac{27}{3} - \frac{27}{3}x^{3} \right] \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(9x - 9x^{4} \right)\, dx \\
&=& \int\limits_{0}^{1} \left(9(x - x^{4}) \right)\, dx \\
&=& 9\int\limits_{0}^{1} x - x^{4}\, dx \\
&=& 9\int\limits_{0}^{1} x \, dx - 9\int\limits_{0}^{1} x^{4}\, dx \\
&=& 9 \left[\frac{1}{2}x^{2} \right]_{0}^{1} - 9\left[\frac{1}{5}x^{5} \right]_{0}^{1} \\
&=& 9  \cdot \frac{1}{2} - 9 \cdot \frac{1}{5} \\
&=& \frac{9}{2} - \frac{9}{5} \\
&=& \frac{45}{10} - \frac{18}{10} = \frac{27}{10}
\end{alignat*}
\section{} %3
\subsection{} %a
Klarerweise gilt $f_{4}(n) = O(f_{5}(n))$. Ebenfalls gilt $f_{3}(n) = O(f_{1}(n))$. Außerdem ist klar, dass $f_{1}(n) = O(f_{4}(n))$ gilt.
Damit ergibt sich die Reihenfolge $f_{3}, f_{1}, f_{4}, f_{5}$.
Es müssen noch $f_{2}$ und $f_{6}$ eingeordnet werden. $f_{2}(n) = O(f_{1}(n))$ gilt ebenso wie $f_{3}(n) = O(f_{2}(n))$. $f_{2}$ kann demnach zwischen $f_{3}$ und $f_{1}$ eingeordnet werden, womit sich die Reihenfolge $f_{3}, f_{2}, f_{1}, f_{4}, f_{5}$ ergibt.

Abschließend muss noch $f_{6}(n)$ eingeordnet werden. $n^{2}$ kommt als Faktor auch in $f_{1}$ vor. Es bleibt daher die Frage, ob $\sqrt{n}$ schneller wächst als $\log_{2}(n)$. Dem ist so, da Wurzelfunktionen allgemein schneller wachsen als Logarithmusfunktionen. Daher gilt $f_{6}(n) = O(f_{1}(n))$. Gleichzeitig gilt, dass $\sqrt{2n}$ langsamer wächst als $f_{6}(n)$, womit auch $f_{2}(n) = O(f_{6}(n))$ gilt. Die fertige Reihenfolge ist daher $f_{3}, f_{2}, f_{6}, f_{1}, f_{4}, f_{5}$.
\subsection{} %b
\section{} %4
\subsection{} %a
\subsection{} %b
\begin{alignat*}{2}
\intertext{Es gilt $n = \lfloor x \rfloor, x \geq 1$ für beide Funktionen:}
f(n) &=& n \\
g(n) &=& n^{1+ \lceil \sin (x) \rceil}
\end{alignat*}
\end{document}