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\begin{document}
\author{Jim Martens}
\title{Hausaufgaben zum 11. April}
\maketitle
\section{} %1
\begin{equation*}
\frac{3}{x+5} \geq 3
\end{equation*}
1. Fall $x > -5$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{3}{x+5} &\geq & 3 \\
\Leftrightarrow && 3 &\geq & 3(x+5) \\
\Leftrightarrow && 3 &\geq & 3x + 15 \\
\Leftrightarrow && -12 &\geq & 3x \\
\Leftrightarrow && -4 &\geq & x
\end{alignat*}
\\
2. Fall $x < -5$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{3}{x+5} &\geq & 3 \\
\Leftrightarrow && 3 &\leq & 3(x+5) \\
\Leftrightarrow && 3 &\leq & 3x + 15 \\
\Leftrightarrow && -12 &\leq & 3x \\
\Leftrightarrow && -4 &\leq & x
\end{alignat*}
\\
$L = [-4]$
\section{} %2
\begin{equation*}
|3x-4| \geq 2
\end{equation*}
1. Fall $x \geq \frac{4}{3}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& |3x-4| &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && 3x-4 &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && 3x &\geq & 6 \\
\Leftrightarrow && x &\geq & 2
\end{alignat*}
\\
2. Fall $x < \frac{4}{3}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& |3x-4| &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && -(3x-4) &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && -3x + 4 &\geq & 2 \\
\Leftrightarrow && -3x &\geq & -2 \\
\Leftrightarrow && x &\leq & \frac{2}{3}
\end{alignat*}
\\
$L = (-\infty,\frac{2}{3}] \cup [2,\infty)$
\section{} %3
\subsection{} %a
\begin{alignat*}{3}
&& |a_{n} - a| &=& |\frac{2n-1}{n+3} - 2| \\
\Leftrightarrow && &=& |\frac{2n-1}{n+3} - \frac{2(n+3)}{n+3}| \\
\Leftrightarrow && &=& |\frac{2n-1 - 2n - 6}{n+3}| \\
\Leftrightarrow && &=& |\frac{-7}{n+3}| \\
\Leftrightarrow && &=& \frac{7}{n+3}
\end{alignat*}
\subsection{} %b
Es sei $\varepsilon > 0$. Aufgrund von a) gilt:\\
\begin{alignat*}{3}
&& |a_{n} - a| &<& \varepsilon \label{eq:1}\tag{1}\\
\Leftrightarrow && |a_{n} - a| = |\frac{-7}{n+3}| = \frac{7}{n+3} &<& \varepsilon \\
\Leftrightarrow && -7 &<& \varepsilon (n+3) \\
\Leftrightarrow && \frac{-7}{\varepsilon} &<& n+3 \\
\Leftrightarrow && \frac{-7}{\varepsilon} - 3 &<& n
\end{alignat*}
\\
Wählt man $N > \frac{-7}{\varepsilon} - 3$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt. Das zeigt $(a_{n}) \rightarrow a = 2$.
\subsection{} %c
Es sei $\varepsilon = \frac{1}{10}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{-7}{\frac{1}{10}} - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -70 - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -73 &<& n
\end{alignat*}
Wählt man $N = -72$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt.\\
\\
Es sei $\varepsilon = \frac{1}{100}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{-7}{\frac{1}{100}} - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -700 - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -703 &<& n
\end{alignat*}
Wählt man $N = -702$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt.\\
\\
Es sei $\varepsilon = \frac{1}{100000}$:\\
\begin{alignat*}{3}
&& \frac{-7}{\frac{1}{100000}} - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -700000 - 3 &<& n \\
\Leftrightarrow && -700003 &<& n
\end{alignat*}
Wählt man $N = -700002$, so ergibt sich aus \eqref{eq:1}, dass $|a_{n} - a| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt.
\section{} %4
\textbf{Behauptung:} Die folgende Aussage gilt für alle $n \in \mathbb{N}$:\\
\begin{equation*}
0 \leq a_{n} < \frac{1}{2} \label{eq:2}\tag{2}
\end{equation*}\\
Die Folge ($a_{n}$) sei rekursiv definiert durch \\
\begin{alignat*}{2}
a_{1} &=& \frac{2}{5} \label{eq:3}\tag{3}\\
a_{n+1} &=& a_{n}^{2} + \frac{1}{4} \label{eq:4}\tag{4}
\end{alignat*} 
\textbf{Beweis:} Durch vollständige Induktion.\\
Mit $A(n)$ sei die Aussage \eqref{eq:2} bezeichnet.\\\\
\underline{Induktionsanfang:} \\
$A(1)$ ist richtig, da die Aussage \eqref{eq:2} für \eqref{eq:3} wie folgt gilt: 
\begin{alignat*}{2}
0 \leq \frac{2}{5} = \frac{4}{10} < \frac{1}{2} = \frac{5}{10} 
\end{alignat*}\\
\underline{Induktionsannahme:}\\
Die Aussage \eqref{eq:2} gilt für ein beliebig fest gewähltes $n \in \mathbb{N}$.\\\\
\underline{Zu zeigen:}\\
$A(n+1)$ gilt, d. h. Folgendes gilt für die Aussage \eqref{eq:4}:\\
\begin{equation*}
0 \leq a_{n+1} < \frac{1}{2} \label{eq:5}\tag{5}
\end{equation*}
\underline{Induktionsschluss:}\\
Aus \eqref{eq:5} folgt für $0 \leq a_{n+1}$ Folgendes:\\
\begin{alignat*}{3}
&& 0 &\leq & a_{n}^{2} + \frac{1}{4}
\end{alignat*}
Diese Aussage gilt, da $\frac{1}{4}$ auf triviale Weise die Aussage erfüllt und $a_{n}^{2}$ immer positiv oder gleich Null sein muss, da eine beliebige Zahl zum Quadrat immer größer gleich Null ist.\\
Für $a_{n+1} < \frac{1}{2}$ ergibt sich Folgendes:\\
\begin{alignat*}{5}
&& a_{n}^{2} + \frac{1}{4} &<& \frac{1}{2} && \;&|& -\frac{1}{4} \\
\Leftrightarrow && a_{n}^{2} &<& \frac{1}{4} && && \\
\Leftrightarrow && a_{n} \cdot a_{n} &<& \frac{1}{4} && &&
\end{alignat*}
Aufgrund der Induktionsannahme gilt $a_{n} < \frac{1}{2}$. Daher ist das Quadrat von $a_{n}$ auf jeden Fall kleiner als $\frac{1}{4}$.\\
Nach dem Induktionsprinzip folgt aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschluss die Behauptung. \hfill $\Box$\\
Es ist zu zeigen, dass $a_{n+1} \geq a_{n}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt. Es ergibt sich Folgendes:\\
\begin{alignat*}{5}
&& a_{n+1} &\geq & a_{n} && && \\
\Leftrightarrow && a_{n}^{2} + \frac{1}{4} &\geq & a_{n} && \;&|& -a_{n} \\
\Leftrightarrow && a_{n}^{2} - a_{n} + \frac{1}{4} &\geq & 0 && \;&|& \text{Binomische Formel erzeugen} \\
\Leftrightarrow && (a_{n} - \frac{1}{2})^{2} &\geq & 0 && &&
\end{alignat*}
Diese Aussage gilt, da ein Quadrat einer beliebigen Zahl immer größer gleich Null ist.
\end{document}