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\begin{document}
\author{Jan Branitz (6326955), Jim Martens (6420323),\\
Stephan Niendorf (6242417)}
\title{Hausaufgaben zum 16. Dezember}
\maketitle
\section{} %1
	\subsection{} %a
		\begin{alignat*}{3}
			\text{maximiere}\; & 2x_{1} \,&+&\, 3x_{2} && \\
			\multicolumn{6}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
			\;& x_{1} \,&-&\, 4x_{2} \,&\leq & 2 \\
			\;& x_{1} \,&&\, \,&\leq & 5 \\
			\;& \,&&\, x_{2} \,&\leq & 8 \\			
			\multicolumn{4}{r}{$x_{1}, x_{2}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
		
		\underline{Eingangsdaten}:
		\begin{alignat*}{2}
			A &=& \begin{pmatrix}
				x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} \\
				1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\
				1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
				0 & 1 & 0 & 0 & 1
			\end{pmatrix} \\
			c^{T} &=& \begin{pmatrix}
				x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} \\
				2 & 3 & 0 & 0 & 0
			\end{pmatrix} \\
			b &=& \begin{pmatrix}
				2 \\
				5 \\
				8
			\end{pmatrix}
		\end{alignat*}

		\underline{Initialisierung}:
		\begin{alignat*}{2}
			x_{B}^{*} &=& \begin{pmatrix}
				x_{3}^{*} \\
				x_{4}^{*} \\
				x_{5}^{*}
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
				2 \\
				5 \\
				8
			\end{pmatrix} \\
			B &=& \begin{pmatrix}
				x_{3} & x_{4} & x_{5} \\
				1 & 0 & 0 \\
				0 & 1 & 0 \\
				0 & 0 & 1
			\end{pmatrix}
		\end{alignat*}
		
		\underline{1. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			y_{1} & & &=& 0 \\
			& y_{2} & &=& 0 \\
			& & y_{3} &=& 0
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ 1 & -4 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix}$. Also kommt jede Spalte von $A_{N}$ als Eingangsspalte a infrage, wir wählen $a = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$; die Eingangsvariable ist $x_{2}$.
		
		\textbf{3. Schritt} (Lösung von $Bd = a$):\\
		Das Gleichungssystem $Bd = a$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			d_{1} & & &=& -4 \\
			& d_{2} & &=& 0 \\
			& & d_{3} &=& 1
		\end{alignat*}
		Es folgt $d = \begin{pmatrix}-4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{4. Schritt} (Bestimmung der Ausgangsvariablen):\\
		Die Ungleichung $x_{B}^{*} - td \geq 0$ lautet $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}-4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Das größte t, das dies erfüllt, ist $t = 8$; für $t = 8$ gilt $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}-4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$, Ausgangsvariable ist $x_{5}$.
		
		\textbf{5. Schritt} (Update von $x_{B}^{*}$ und $B$):\\
		$x_{B}^{*} = \begin{pmatrix} x_{3}^{*} \\ x_{4}^{*} \\ x_{2}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} x_{3} & x_{4} & x_{2} \\ 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
		
		\underline{2. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{4}
			y_{1} && &-& 4y_{3} &=& 34 \\
			&& y_{2} && &=& 5 \\
			&& && y_{3} &=& 8
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 66 & 5 & 8 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{5} \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 71 & 8 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \end{pmatrix}$. Also kommt nur die erste Spalte von $A_{N}$ als Eingangsspalte a infrage, wir wählen $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$; die Eingangsvariable ist $x_{1}$.
		
		\textbf{3. Schritt} (Lösung von $Bd = a$):\\
		Das Gleichungssystem $Bd = a$ lautet
		\begin{alignat*}{4}
			d_{1} && &-& 4d_{3} &=& 1 \\
			&& d_{2} && &=& 1 \\
			&& && d_{3} &=& 0
		\end{alignat*}
		Es folgt $d = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{4. Schritt} (Bestimmung der Ausgangsvariablen):\\
		Die Ungleichung $x_{B}^{*} - td \geq 0$ lautet $\begin{pmatrix} 34 \\ 5 \\ 8\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Das größte t, das dies erfüllt, ist $t = 5$; für $t = 5$ gilt $\begin{pmatrix} 34 \\ 5 \\ 8\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}$, Ausgangsvariable ist $x_{4}$.
		
		\textbf{5. Schritt} (Update von $x_{B}^{*}$ und $B$):\\
		$x_{B}^{*} = \begin{pmatrix} x_{3}^{*} \\ x_{1}^{*} \\ x_{2}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} x_{3} & x_{1} & x_{2} \\ 1 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
		
		\underline{3. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{4}
			y_{1} && && &=& 0 \\
			y_{1} &+& y_{2} && &=& 2 \\
			-4y_{1} && &+& y_{3} &=& 3
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{4} & x_{5} \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}$. Wegen $2 \geq 0, 3 \geq 0$ ist die aktuelle Lösung optimal. Die optimale Lösung lautet $x_{1}^{*} = 5, x_{2}^{*} = 8$ mit $z^{*} = 2x_{1}^{*} + 3x_{2}^{*} = 34$.
	\subsection{} %b
		\begin{alignat*}{4}
			\text{maximiere}\; & 3x_{1} \,&+&\, 2x_{2} \,&+&\, 2x_{3} && \\
			\multicolumn{8}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
			\;& x_{1} \,&&\, \,&+&\, x_{3} \,&\leq & 8 \\
			\;& x_{1} \,&+&\, x_{2} \,&&\, \,&\leq & 7 \\
			\;& x_{1} \,&+&\, 2x_{2} \,&&\, \,&\leq & 12 \\			
			\multicolumn{6}{r}{$x_{1}, x_{2}, x_{3}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
		
		\underline{Eingangsdaten}:
		\begin{alignat*}{2}
			A &=& \begin{pmatrix}
				x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & x_{6} \\
				1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
				1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
				1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1
			\end{pmatrix} \\
			c^{T} &=& \begin{pmatrix}
				x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & x_{6} \\
				3 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0
			\end{pmatrix} \\
			b &=& \begin{pmatrix}
				8 \\
				7 \\
				12
			\end{pmatrix}
		\end{alignat*}

		\underline{Initialisierung}:
		\begin{alignat*}{2}
			x_{B}^{*} &=& \begin{pmatrix}
				x_{4}^{*} \\
				x_{5}^{*} \\
				x_{6}^{*}
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
				8 \\
				7 \\
				12
			\end{pmatrix} \\
			B &=& \begin{pmatrix}
				x_{4} & x_{5} & x_{6} \\
				1 & 0 & 0 \\
				0 & 1 & 0 \\
				0 & 0 & 1
			\end{pmatrix}
		\end{alignat*}
		
		\underline{1. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			y_{1} & & &=& 0 \\
			& y_{2} & &=& 0 \\
			& & y_{3} &=& 0
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$. Also kommt jede Spalte von $A_{N}$ als Eingangsspalte a infrage, wir wählen $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$; die Eingangsvariable ist $x_{1}$.
		
		\textbf{3. Schritt} (Lösung von $Bd = a$):\\
		Das Gleichungssystem $Bd = a$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			d_{1} & & &=& 1 \\
			& d_{2} & &=& 1 \\
			& & d_{3} &=& 1
		\end{alignat*}
		Es folgt $d = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{4. Schritt} (Bestimmung der Ausgangsvariablen):\\
		Die Ungleichung $x_{B}^{*} - td \geq 0$ lautet $\begin{pmatrix} 8 \\ 7 \\ 12\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Das größte t, das dies erfüllt, ist $t = 7$; für $t = 7$ gilt $\begin{pmatrix} 8 \\ 7 \\ 12\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$, Ausgangsvariable ist $x_{5}$.
		
		\textbf{5. Schritt} (Update von $x_{B}^{*}$ und $B$):\\
		$x_{B}^{*} = \begin{pmatrix} x_{4}^{*} \\ x_{1}^{*} \\ x_{6}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} x_{4} & x_{1} & x_{6} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
		
		\underline{2. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{4}
			y_{1} && && &=& 0 \\
			y_{1} &+& y_{2} &+& y_{3} &=& 3 \\
			&& && y_{3} &=& 0
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{5} & x_{2} & x_{3} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$. Also kommt nur die dritte Spalte von $A_{N}$ als Eingangsspalte a infrage, wir wählen $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$; die Eingangsvariable ist $x_{3}$.
		
		\textbf{3. Schritt} (Lösung von $Bd = a$):\\
		Das Gleichungssystem $Bd = a$ lautet
		\begin{alignat*}{4}
			d_{1} &+& d_{2} && &=& 1 \\
			&& d_{2} && &=& 0 \\
			&& d_{2} &+& d_{3} &=& 0
		\end{alignat*}
		Es folgt $d = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{4. Schritt} (Bestimmung der Ausgangsvariablen):\\
		Die Ungleichung $x_{B}^{*} - td \geq 0$ lautet $\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 5\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Das größte t, das dies erfüllt, ist $t = 1$; für $t = 1$ gilt $\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 5\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}$, Ausgangsvariable ist $x_{4}$.
		
		\textbf{5. Schritt} (Update von $x_{B}^{*}$ und $B$):\\
		$x_{B}^{*} = \begin{pmatrix} x_{3}^{*} \\ x_{1}^{*} \\ x_{6}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} x_{3} & x_{1} & x_{6} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
		
		\underline{3. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{4}
			y_{1} && && &=& 2 \\
			y_{1} &+& y_{2} &+& y_{3} &=& 3 \\
			&& && y_{3} &=& 0
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{5} & x_{2} & x_{4} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\end{pmatrix}$. Also kommen nur die ersten beiden Spalten von $A_{N}$ als Eingangsspalte a infrage, wir wählen $a = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$; die Eingangsvariable ist $x_{2}$.
		
		\textbf{3. Schritt} (Lösung von $Bd = a$):\\
		Das Gleichungssystem $Bd = a$ lautet
		\begin{alignat*}{4}
			d_{1} &+& d_{2} && &=& 0\\
			&& d_{2} && &=& 1 \\
			&& d_{2} &+& d_{3} &=& 2
		\end{alignat*}
		Es folgt $d = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{4. Schritt} (Bestimmung der Ausgangsvariablen):\\
		Die Ungleichung $x_{B}^{*} - td \geq 0$ lautet $\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 5\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Das größte t, das dies erfüllt, ist $t = 5$; für $t = 5$ gilt $\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 5\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, Ausgangsvariable ist $x_{6}$.
		
		\textbf{5. Schritt} (Update von $x_{B}^{*}$ und $B$):\\
		$x_{B}^{*} = \begin{pmatrix} x_{3}^{*} \\ x_{1}^{*} \\ x_{2}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} x_{3} & x_{1} & x_{2} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.
		
		\underline{4. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{4}
			y_{1} && && &=& 2 \\
			y_{1} &+& y_{2} &+& y_{3} &=& 3 \\
			&& y_{2} &+& 2y_{3} &=& 2
		\end{alignat*}
		Es ergibt sich dieses LGS:
		\begin{alignat*}{3}
			I & y_{2} &+& y_{3} &=& 1 \\
			II & y_{2} &+& 2y_{3} &=& 2 \\
			II - I & && y_{3} &=& 1
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{5} & x_{6} & x_{4} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$. Wegen $0 \geq 0, 1 \geq 0, 2 \geq 0$ ist die aktuelle Lösung optimal. Die optimale Lösung lautet $x_{1}^{*} = 2, x_{2}^{*} = 5, x_{3}^{*} = 6$ mit $z^{*} = 3x_{1}^{*} + 2x_{2}^{*} + 2x_{3}^{*} = 28$.
\section{} %2
		\begin{alignat*}{5}
			\text{maximiere}\; & 5x_{1} \,&+&\, 6x_{2} \,&+&\, 9x_{3} \,&+&\, 8x_{4} && \\
			\multicolumn{10}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
			\;& x_{1} \,&+&\, 2x_{2} \,&+&\, 3x_{3} \,&+&\, x_{4} \,&\leq & 5 \\
			\;& x_{1} \,&+&\, x_{2} \,&+&\, 2x_{3} \,&+&\, 3x_{4} \,&\leq & 3 \\		
			\multicolumn{8}{r}{$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
		
		\underline{Eingangsdaten}:
		\begin{alignat*}{2}
			A &=& \begin{pmatrix}
				x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & x_{6} \\
				1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 \\
				1 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1\\
			\end{pmatrix} \\
			c^{T} &=& \begin{pmatrix}
				x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & x_{6} \\
				5 & 6 & 9 & 8 & 0 & 0
			\end{pmatrix} \\
			b &=& \begin{pmatrix}
				5 \\
				3
			\end{pmatrix}
		\end{alignat*}

		\underline{Initialisierung}:
		\begin{alignat*}{2}
			x_{B}^{*} &=& \begin{pmatrix}
				x_{5}^{*} \\
				x_{6}^{*}
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
				5 \\
				3
			\end{pmatrix} \\
			B &=& \begin{pmatrix}
				x_{5} & x_{6} \\
				1 & 0 \\
				0 & 1
			\end{pmatrix}
		\end{alignat*}
		
		\underline{1. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{2}
			y_{1} & &=& 0 \\
			& y_{2} &=& 0
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 9 & 8 \end{pmatrix}$. Also kommt jede Spalte von $A_{N}$ als Eingangsspalte a infrage, wir wählen $a = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$; die Eingangsvariable ist $x_{3}$.
		
		\textbf{3. Schritt} (Lösung von $Bd = a$):\\
		Das Gleichungssystem $Bd = a$ lautet
		\begin{alignat*}{2}
			d_{1} & &=& 3 \\
			& d_{2} &=& 2
		\end{alignat*}
		Es folgt $d = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{4. Schritt} (Bestimmung der Ausgangsvariablen):\\
		Die Ungleichung $x_{B}^{*} - td \geq 0$ lautet $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Das größte t, das dies erfüllt, ist $t = \frac{3}{2}$; für $t = \frac{3}{2}$ gilt $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$, Ausgangsvariable ist $x_{6}$.
		
		\textbf{5. Schritt} (Update von $x_{B}^{*}$ und $B$):\\
		$x_{B}^{*} = \begin{pmatrix} x_{5}^{*} \\ x_{3}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} x_{5} & x_{3} \\ 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
		
		\underline{2. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 9 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			y_{1} && &=& 0 \\
			3y_{1} &+& 2y_{2} &=& 9
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{9}{2} \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{6} & x_{4} \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} \frac{9}{2} & \frac{9}{2} & \frac{9}{2} & \frac{27}{2} \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 0 & 8 \end{pmatrix}$. Also kommen nur die ersten drei Spalten von $A_{N}$ als Eingangsspalte a infrage, wir wählen $a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$; die Eingangsvariable ist $x_{2}$.
		
		\textbf{3. Schritt} (Lösung von $Bd = a$):\\
		Das Gleichungssystem $Bd = a$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			d_{1} &+& 3d_{2} &=& 2 \\
			&& 2d_{2} &=& 1
		\end{alignat*}
		Es folgt $d = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}$.
		
		\textbf{4. Schritt} (Bestimmung der Ausgangsvariablen):\\
		Die Ungleichung $x_{B}^{*} - td \geq 0$ lautet $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Das größte t, das dies erfüllt, ist $t = 1$; für $t = 1$ gilt $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, Ausgangsvariable ist $x_{5}$.
		
		\textbf{5. Schritt} (Update von $x_{B}^{*}$ und $B$):\\
		$x_{B}^{*} = \begin{pmatrix} x_{2}^{*} \\ x_{3}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} x_{2} & x_{3} \\ 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
		
		\underline{3. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 6 & 9 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			2y_{1} &+& y_{2} &=& 6 \\
			3y_{1} &+& 2y_{2} &=& 9
		\end{alignat*}
		Daraus ergibt sich dieses LGS:
		\begin{alignat*}{3}
			I & 2y_{1} &+& y_{2} &=& 6 \\
			II & 3y_{1} &+& 2y_{2} &=& 9 \\
			II - I & y_{1} &+& y_{2} &=& 3 \\
			\Leftrightarrow & y_{1} && &=& 3 - y_{2} \\
			\intertext{Einsetzen in I}
			\Rightarrow & 2(3 - y_{2}) &+& y_{2} &=& 6 \\
			\Leftrightarrow & 6 - 2y_{2} &+& y_{2} &=& 6 \\
			\Leftrightarrow & &-& y_{2} &=& 0 \\
			\intertext{Einsetzen in I}
			\Rightarrow & 2y_{1} && &=& 6 \\
			\Leftrightarrow & y_{1} && &=& 3 \\
			\intertext{Einsetzen in II}
			\Rightarrow & 3 \cdot 3 && &=& 9 \\
			\Leftrightarrow & 9 && &=& 9
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{6} & x_{5} & x_{4} \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 8\end{pmatrix}$. Also kommen nur die erste und die letzte Spalte von $A_{N}$ als Eingangsspalte a infrage, wir wählen $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$; die Eingangsvariable ist $x_{4}$.
		
		\textbf{3. Schritt} (Lösung von $Bd = a$):\\
		Das Gleichungssystem $Bd = a$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			2d_{1} &+& 3d_{2} &=& 1\\
			d_{1} &+& 2d_{2} &=& 3
		\end{alignat*}
		Daraus ergibt sich dieses LGS:
		\begin{alignat*}{3}
			I & 2d_{1} &+& 3d_{2} &=& 1 \\
			II & d_{1} &+& 2d_{2} &=& 3 \\
			I - II & d_{1} &+& d_{2} &=& -2 \\
			\Leftrightarrow & d_{1} && &=& -2 - d_{2} \\
			\intertext{Einsetzen in II}
			\Rightarrow & -2 - d_{2} &+& 2d_{2} &=& 3 \\
			\Leftrightarrow & && d_{2} &=& 5 \\
			\intertext{Einsetzen in I}
			\Rightarrow & 2d_{1} &+& 3 \cdot 5 &=& 1 \\
			\Leftrightarrow & 2d_{1} && &=& - 14 \\
			\Leftrightarrow & d_{1} && &=& -7 \\
			\intertext{Einsetzen in II}
			\Rightarrow & -7 &+& 2 \cdot 5 &=& 3 \\
			\Leftrightarrow & -7 &+& 10 &=& 3 \\
			\Leftrightarrow & && 3 &=& 3
		\end{alignat*}
		Es folgt $d = \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{4. Schritt} (Bestimmung der Ausgangsvariablen):\\
		Die Ungleichung $x_{B}^{*} - td \geq 0$ lautet $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}-7 \\ 5 \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} 0 \\ 0  \end{pmatrix}$. Das größte t, das dies erfüllt, ist $t = \frac{1}{5}$; für $t = \frac{1}{5}$ gilt $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{12}{5} \\ 0 \end{pmatrix}$, Ausgangsvariable ist $x_{3}$.
		
		\textbf{5. Schritt} (Update von $x_{B}^{*}$ und $B$):\\
		$x_{B}^{*} = \begin{pmatrix} x_{2}^{*} \\ x_{4}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{12}{5} \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} x_{2} & x_{4} \\ 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.
		
		\underline{4. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			2y_{1} &+& y_{2} &=& 6 \\
			y_{1} &+& 3y_{2} &=& 8
		\end{alignat*}
		Es ergibt sich dieses LGS:
		\begin{alignat*}{3}
			I & 2y_{1} &+& y_{2} &=& 6 \\
			II & y_{1} &+& 3y_{2} &=& 8 \\
			II & y_{1} && &=& 8 - 3y_{2} \\
			\intertext{Einsetzen in I}
			\Rightarrow & 2(8 - 3y_{2}) &+& y_{2} &=& 6 \\
			\Leftrightarrow & 16 - 6y_{2} &+& y_{2} &=& 6 \\
			\Leftrightarrow & &-& 5y_{2} &=& -10 \\
			\Leftrightarrow & && y_{2} &=& 2 \\
			\intertext{Einsetzen in II}
			\Rightarrow & y_{1} &+& 3 \cdot 2 &=& 8 \\
			\Leftrightarrow & y_{1} && &=& 2
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{5} & x_{6} & x_{3} \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 & 10 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 8\end{pmatrix}$. Also kommt nur die erste Spalte von $A_{N}$ als Eingangsspalte a infrage, wir wählen $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$; die Eingangsvariable ist $x_{1}$.
		
		\textbf{3. Schritt} (Lösung von $Bd = a$):\\
		Das Gleichungssystem $Bd = a$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			2d_{1} &+& d_{2} &=& 1\\
			d_{1} &+& 3d_{2} &=& 1
		\end{alignat*}
		Daraus ergibt sich dieses LGS:
		\begin{alignat*}{3}
			I & 2d_{1} &+& d_{2} &=& 1 \\
			II & d_{1} &+& 3d_{2} &=& 1 \\
			II & d_{1} && &=& 1 - 3d_{2} \\
			\intertext{Einsetzen in I}
			\Rightarrow & 2(1 - 3d_{2}) &+& d_{2} &=& 1 \\
			\Leftrightarrow & 2 - 6d_{2} &+& d_{2} &=& 1 \\
			\Leftrightarrow & &-& 5d_{2} &=& -1 \\
			\Leftrightarrow & && d_{2} &=& \frac{1}{5} \\
			\intertext{Einsetzen in II}
			\Rightarrow & d_{1} &+& 3 \cdot \frac{1}{5} &=& 1 \\
			\Leftrightarrow & d_{1} && &=& \frac{2}{5} \\
			\intertext{Einsetzen in I}
			\Rightarrow & 2 \cdot \frac{2}{5} &+& \frac{1}{5} &=& 1 \\
			\Leftrightarrow & \frac{4}{5} &+& \frac{1}{5} &=& 1 \\
			\Leftrightarrow & && 1 &=& 1
		\end{alignat*}
		Es folgt $d = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{4. Schritt} (Bestimmung der Ausgangsvariablen):\\
		Die Ungleichung $x_{B}^{*} - td \geq 0$ lautet $\begin{pmatrix} \frac{12}{5} \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix} - t \begin{pmatrix} \frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} 0 \\ 0  \end{pmatrix}$. Das größte t, das dies erfüllt, ist $t = 1$; für $t = 1$ gilt $\begin{pmatrix} \frac{12}{5} \\ \frac{1}{5}\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix} \frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, Ausgangsvariable ist $x_{4}$.
		
		\textbf{5. Schritt} (Update von $x_{B}^{*}$ und $B$):\\
		$x_{B}^{*} = \begin{pmatrix} x_{2}^{*} \\ x_{1}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} x_{2} & x_{1} \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
		
		\underline{5. Iteration}
		
		\textbf{1. Schritt} (Lösung von $y^{T}B = c_{B}^{T}$):\\
		Es gilt $c_{B}^{T} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \end{pmatrix}$. Das Gleichungssystem $y^{T}B = c_{B}^{T}$ lautet
		\begin{alignat*}{3}
			2y_{1} &+& y_{2} &=& 6 \\
			y_{1} &+& y_{2} &=& 5
		\end{alignat*}
		Es ergibt sich dieses LGS:
		\begin{alignat*}{3}
			I & 2y_{1} &+& y_{2} &=& 6 \\
			II & y_{1} &+& y_{2} &=& 5 \\
			I - II & y_{1} && &=& 1 \\
			\intertext{Einsetzen in II}
			\Rightarrow & 1 &+& y_{2} &=& 5 \\
			\Leftrightarrow & && y_{2} &=& 4 \\
			\intertext{Einsetzen in I}
			\Rightarrow & 2 \cdot 1 &+& 4 &=& 6 \\
			\Leftrightarrow & && 6 &=& 6
		\end{alignat*}
		Also gilt $y^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix}$.
		
		\textbf{2. Schritt} (Bestimmung der Eingangsspalte a und gleichzeitig der Eingangsvariablen):\\
		Es gilt $A_{N} = \begin{pmatrix} x_{4} & x_{5} & x_{6} & x_{3} \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},\; y^{T}A_{N} = \begin{pmatrix} 13 & 1 & 4 & 11 \end{pmatrix}$ und $c_{N}^{T} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$.  Wegen $13 \geq 8, 1 \geq 0, 4 \geq 0, 11 \geq 9$ ist die aktuelle Lösung optimal. Die optimale Lösung lautet $x_{1}^{*} = 1, x_{2}^{*} = 2, x_{3}^{*} = 0, x_{4}^{*} = 0$ mit $z^{*} = 5x_{1}^{*} + 6x_{2}^{*} + 9x_{3}^{*} + 8x_{4}^{*} = 17$.

\end{document}
