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\begin{document}
\author{Jan Branitz (6326955), Jim Martens (6420323),\\
Stephan Niendorf (6242417)}
\title{Hausaufgaben zum 18. November}
\maketitle
\section{} %1
	\subsection{} %a
		\begin{alignat*}{15}
			\text{maximiere}\; & 2v_{01} \,&+&\, 3v_{02} \,&+&\, v_{03} \,&+&\, 7v_{04} && && && && && && && && && && && \\
			\multicolumn{30}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
			\;&\, v_{01} \,&& && && && && && && && && && && && && \,&\leq &\, 2 \\
			\;& &&\, v_{02} \,&& && && && && && && && && && && && \,&\leq &\, 3 \\
			\;& && &&\, v_{03} \,&& && && && && && && && && && && \,&\leq &\, 1 \\
			\;& && && &&\, v_{04} \,&& && && && && && && && && && \,&\leq &\, 7 \\
			\;& && && && &&\, v_{16} \,&& && && && && && && && && \,&\leq &\, 5 \\
			\;& && && && && &&\, v_{21} \,&& && && && && && && && \,&\leq &\, 4 \\
			\;& && && && && && &&\, v_{25} \,&& && && && && && && \,&\leq &\, 4 \\
			\;& && && && && && && &&\, v_{34} \,&& && && && && && \,&\leq &\, 4 \\
			\;& && && && && && && && &&\, v_{35} \,&& && && && && \,&\leq &\, 3 \\
			\;& && && && && && && && && &&\, v_{37} \,&& && && && \,&\leq &\, 2 \\
			\;& && && && && && && && && && &&\, v_{47} \,&& && && \,&\leq &\, 3 \\
			\;& && && && && && && && && && && &&\, v_{56} \,&& && \,&\leq &\, 2 \\
			\;& && && && && && && && && && && && &&\, v_{57} \,&& \,&\leq &\, 8 \\
			\;& && && && && && && && && && && && && &&\, v_{67} \,&\leq &\, 3 \\
			\;&\, v_{01} && && && &-&\, v_{16} \,&+&\, v_{21} \,&& && && && && && && && \,&=&\, 0 \\
			\;& &&\, v_{02} \,&& && && &-&\, v_{21} \,&-&\, v_{25} \,&& && && && && && && \,&=&\, 0 \\
			\;& && &&\, v_{03} \,&& && && && &-&\, v_{34} \,&-&\, v_{35} \,&-&\, v_{37} \,&& && && && \,&=&\, 0 \\
			\;& && && &&\, v_{04} \,&& && && &+&\, v_{34} \,&& && &-&\, v_{47} \,&& && && \,&=&\, 0 \\
			\;& && && && && && &&\, v_{25} \,&& &+&\, v_{35} \,&& && &-&\, v_{56} \,&-&\, v_{57} \,&& \,&=&\, 0 \\
			\;& && && && &&\, v_{16} \,&& && && && && && &+&\, v_{56} \,&& &-&\, v_{67} \,&=&\, 0 \\
			\multicolumn{28}{r}{$v_{01}, v_{02}, v_{03}, v_{04}, v_{16}, v_{21}, v_{25}, v_{34}, v_{35}, v_{37}, v_{47}, v_{56}, v_{57}, v_{67}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
	\subsection{} %b
		\begin{alignat*}{12}
			\text{minimiere}\; & 5v_{01} \,&+&\, 4v_{02} \,&+&\, 3v_{03} \,&+&\, 3v_{16} \,&+&\, 6v_{21} \,&+&\, v_{23} \,&+&\, 5v_{24} \,&+&\, 5v_{35} \,&+&\, 3v_{45} \,&+&\, 4v_{46} \,&+&\, 2v_{56} \,&& \\
			\multicolumn{24}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\
			\;&\, v_{01} \,&+&\, v_{02} \,&+&\, v_{03} \,&& && && && && && && && \,&=&\, 6 \\
			\;&\, v_{01} \,&& && && && && && && && && && \,&\leq &\, 3 \\
			\;& &&\, v_{02} \,&& && && && && && && && && \,&\leq &\, 4 \\
			\;& && &&\, v_{03} \,&& && && && && && && && \,&\leq &\, 5 \\
			\;& && && &&\, v_{16} \,&& && && && && && && \,&\leq &\, 1 \\
			\;& && && && &&\, v_{21} \,&& && && && && && \,&\leq &\, 6 \\
			\;& && && && && &&\, v_{23} \,&& && && && && \,&\leq &\, 7 \\
			\;& && && && && && &&\, v_{24} \,&& && && && \,&\leq &\, 4 \\
			\;& && && && && && && &&\, v_{35} \,&& && && \,&\leq &\, 2 \\
			\;& && && && && && && && &&\, v_{45} \,&& && \,&\leq &\, 4 \\
			\;& && && && && && && && && &&\, v_{46} \,&& \,&\leq &\, 7 \\
			\;& && && && && && && && && && &&\, v_{56} \,&\leq &\, 4 \\
			\;&\, v_{01} && && &-&\, v_{16} \,&+&\, v_{21} \,&& && && && && && \,&=&\, 0 \\
			\;& &&\, v_{02} \,&& && &-&\, v_{21} \,&-&\, v_{23} \,&-&\, v_{24} \,&& && && && \,&=&\, 0 \\
			\;& && &&\, v_{03} \,&& && &+&\, v_{23} \,&& &-&\, v_{35} \,&& && && \,&=&\, 0 \\
			\;& && && && && && &&\, v_{24} \,&& &-&\, v_{45} \,&-&\, v_{46} \,&& \,&=&\, 0 \\
			\;& && && && && && && &&\, v_{35} \,&+&\, v_{45} \,&& &-&\, v_{56} \,&=&\, 0 \\
			\multicolumn{22}{r}{$v_{01}, v_{02}, v_{03}, v_{16}, v_{21}, v_{23}, v_{24}, v_{35}, v_{45}, v_{46}, v_{56}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
	\subsection{} %c
		\begin{alignat*}{5}
			\text{minimiere}\; & c_{11}x_{11} \,&+&\, ... \,&+&\, c_{35}x_{35} \,&& && \\
			\multicolumn{10}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} \\
			\; & x_{11} \,&+&\, ... \,&+&\, x_{35} \,&=&\, 3 && \\
			\; & x_{11} \,&+&\, ... \,&+&\, x_{15} \,&=&\, 1 && \\
			\; & x_{21} \,&+&\, ... \,&+&\, x_{25} \,&=&\, 1 && \\
			\; & x_{31} \,&+&\, ... \,&+&\, x_{35} \,&=&\, 1 && \\
			\multicolumn{6}{r}{$x_{ij}$} \,&\in &\, \{0,1\} &\;  (i = 1, 2, 3) &\; (j = 1, 2, 3, 4, 5)
		\end{alignat*}
\section{} %2
		\textbf{Aufgabe:} Lösen Sie das folgende LP-Hilfsproblem mit dem Simplexverfahren:
		\begin{alignat*}{4}
			\text{maximiere}\; & && &-&\, x_{0} \,&& \\
			\multicolumn{8}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} \\
			\;-&\, 2x_{1} \,&-&\, x_{2} \,&-&\, x_{0} \,&\leq &\, -3 \\
			\;-&\, 2x_{1} \,&-&\, 2x_{2} \,&-&\, x_{0} \,&\leq &\, -5 \\
			\;-&\, x_{1} \,&-&\, 4x_{2} \,&-&\, x_{0} \,&\leq &\, -4 \\
			\multicolumn{6}{r}{$x_{0}, x_{1}, x_{2}$} \,&\geq &\, 0
		\end{alignat*}
		
		\textbf{Lösung.}
		
		\underline{Starttableau}:
		\begin{alignat*}{5}
			x_{3} \,&=&\, -3 \,&+&\, 2x_{1} \,&+&\, x_{2} \,&+&\, x_{0} \\
			x_{4} \,&=&\, -5 \,&+&\, 2x_{1} \,&+&\, 2x_{2} \,&+&\, x_{0} \\
			x_{5} \,&=&\, -4 \,&+&\, x_{1} \,&+&\, 4x_{2} \,&+&\, x_{0} \\ \cline{1 - 9}
			w &=& && && \,&-&\, x_{0}
		\end{alignat*}
		
		Umwandeln in ein zulässiges Tableau:
				
		Eingangsvariable: $x_{0}$\\
		Ausgangsvariable: $x_{4}$
		
		Es folgt
		\begin{alignat*}{2}
			-x_{0} \,&=&&\, -5 + 2x_{1} + 2x_{2} - x_{4} \\
			x_{0} \,&=&&\, 5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4} \\			
			x_{3} \,&=&&\, -3 + 2x_{1} + x_{2} + \left(5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4}\right) \\			
			&=&&\, -3 + 2x_{1} + x_{2} + 5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4} \\
			&=&&\, 2 - x_{2} + x_{4} \\
			x_{5} \,&=&&\, -4 + x_{1} + 4x_{2} + \left(5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4}\right) \\
			&=&&\, -4 + x_{1} + 4x_{2} + 5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4} \\
			&=&&\, 1 - x_{1} + 2x_{2} + x_{4} \\
			w \,&=&&\, -\left(5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4}\right) \\
			&=&&\, -5 + 2x_{1} + 2x_{2} - x_{4} \\
		\end{alignat*}
		
		\underline{Ergebnis des Umwandelns}:
		\begin{alignat*}{5}
			x_{0} \,&=&\, 5 \,&-&\, 2x_{1} \,&-&\, 2x_{2} \,&+&\, x_{4} \\
			x_{3} \,&=&\, 2 \,&& &-&\, x_{2} \,&+&\, x_{4} \\
			x_{5} \,&=&\, 1 \,&-&\, x_{1} \,&+&\, 2x_{2} \,&+&\, x_{4} \\ \cline{1 - 9}
			w &=& -5 \,&+&\, 2x_{1} \,&+&\, 2x_{2} \,&-&\, x_{4}
		\end{alignat*}
		
		\underline{1. Iteration}:
		
		Eingangsvariable: $x_{1}$ \\
		Ausgangsvariable: $x_{5}$
		
		Es folgt
		\begin{alignat*}{2}
			x_{1} \,&=&&\, 1 + 2x_{2} + x_{4} - x_{5} \\
			x_{0} \,&=&&\, 5 - 2\left(1 + 2x_{2} + x_{4} - x_{5}\right) - 2x_{2} + x_{4} \\
			&=&&\, 5 - 2 - 4x_{2} - 2x_{4} + 2x_{5} - 2x_{2} + x_{4} \\
			&=&&\, 3 - 6x_{2} - x_{4} + 2x_{5} \\
			x_{3} \,&=&&\, 2 - x_{2} + x_{4} \\			
			w \,&=&&\, -5 + 2\left(1 + 2x_{2} + x_{4} - x_{5}\right) + 2x_{2} - x_{4} \\
			&=&&\, -5 + 2 + 4x_{2} + 2x_{4} - 2x_{5} + 2x_{2} - x_{4} \\
			&=&&\, -3 + 6x_{2} + x_{4} - 2x_{5}
		\end{alignat*}
		
		\underline{Ergebnis der 1. Iteration}:
		\begin{alignat*}{5}
			x_{1} \,&=&\, 1 \,&+&\, 2x_{2} \,&+&\, x_{4} \,&-&\, x_{5}  \\
			x_{0} \,&=&\, 3 \,&-&\, 6x_{2} \,&-&\, x_{4} \,&+&\, 2x_{5} \\
			x_{3} \,&=&\, 2 \,&-&\, x_{2} \,&+&\, x_{4} \,&& \\ \cline{1 - 9}
			w &=&\, -3 \,&+&\, 6x_{2} \,&+&\, x_{4} \,&-&\, 2x_{5}
		\end{alignat*}
		
		\underline{2. Iteration}:
		
		Eingangsvariable: $x_{2}$ \\
		Ausgangsvariable: $x_{0}$
		
		Es folgt
		\begin{alignat*}{2}
			6x_{2} \,&=&&\, 3 - x_{4} + 2x_{5} - x_{0} \\
			x_{2} \,&=&&\, \frac{1}{2} - \frac{1}{6}x_{4} + \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{6}x_{0} \\
			x_{1} \,&=&&\, 1 + 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}x_{4} + \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{6}x_{0}\right) + x_{4} - x_{5} \\
			&=&&\, 1 + 1 - \frac{1}{3}x_{4} + \frac{2}{3}x_{5} - \frac{1}{3}x_{0} + x_{4} - x_{5} \\
			&=&&\, 2 + \frac{2}{3}x_{4} - \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{3}x_{0} \\
			x_{3} \,&=&&\, 2 - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}x_{4} + \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{6}x_{0}\right) + x_{4} \\		
			&=&&\, 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6}x_{4} - \frac{1}{3}x_{5} + \frac{1}{6}x_{0} + x_{4} \\
			&=&&\, \frac{3}{2} + \frac{7}{6}x_{4} - \frac{1}{3}x_{5} + \frac{1}{6}x_{0} \\
			w \,&=&&\, -3 + 6\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}x_{4} + \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{6}x_{0}\right) + x_{4} - 2x_{5} \\
			&=&&\, -3 + 3 - x_{4} + 2x_{5} - x_{0} + x_{4} - 2x_{5} \\
			&=&&\, 0 - x_{0}
		\end{alignat*}
		
		\underline{Ergebnis der 2. Iteration}:
		\begin{alignat*}{5}
			x_{2} \,&=&\, \frac{1}{2} \,&-&\, \frac{1}{6}x_{4} \,&+&\, \frac{1}{3}x_{5} \,&-&\, \frac{1}{6}x_{0}  \\
			x_{1} \,&=&\, 2 \,&+&\, \frac{2}{3}x_{4} \,&-&\,\frac{1}{3}x_{5} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{0} \\
			x_{3} \,&=&\, \frac{3}{2} \,&+&\, \frac{7}{6}x_{4} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{5} \,&+&\, \frac{1}{6}x_{0} \\ \cline{1 - 9}
			w &=& && && &-&\, x_{0}
		\end{alignat*}
		
		Das Tableau ist optimal. Als optimale Lösung des Hilfsproblem erhält man:
		\[
			x_{0} = 0, x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}
		\]
		
		Als zulässige Lösung für das ursprüngliche Problem ergibt sich:
		\[
			x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}
		\]
		
		Die ursprüngliche Zielfunktion lautet $z = -3x_{1} - 5x_{2}$. Setzt man für $x_{1}$ und $x_{2}$ die rechten Seiten der Gleichungen im obigen Tableau ein, erhält man:
		
		\[
			z = -\frac{17}{2} - \frac{7}{6}x_{4} - \frac{2}{3}x_{5}
		\]
		
		Daraus ergibt sich dieses Starttableau:
		
		\begin{alignat*}{4}
			x_{2} \,&=&\, \frac{1}{2} \,&-&\, \frac{1}{6}x_{4} \,&+&\, \frac{1}{3}x_{5} \\
			x_{1} \,&=&\, 2 \,&+&\, \frac{2}{3}x_{4} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{5} \\
			x_{3} \,&=&\, \frac{3}{2} \,&+&\, \frac{7}{6}x_{4} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{5} \\ \cline{1 - 7}
			z \,&=&\, -\frac{17}{2} \,&-&\, \frac{7}{6}x_{4} \,&-&\, \frac{2}{3}x_{5}
		\end{alignat*}
		
		Es lässt sich leicht erkennen, dass das Starttableau zugleich auch die optimale Lösung enthält. Die optimale Lösung für das Ölraffinerieproblem lautet demnach wie folgt:
		\[
			x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}
		\]
		
		Daraus ergibt sich durch Einsetzen in die Zielfunktion des ursprünglichen Minimierungsproblems, dass die geringsten Kosten unter Beachtung der Nebenbedingungen bei $8.5$ Euro liegen.
\end{document}