From f36ff887dfc7702a4bf37a28b99cde8e6079ea27 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jim Martens Date: Wed, 23 Oct 2013 18:40:42 +0200 Subject: [PATCH] MATH2-Inf-2: 1a geloest. --- optimierung/Uebungsblatt2.tex | 92 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 92 insertions(+) diff --git a/optimierung/Uebungsblatt2.tex b/optimierung/Uebungsblatt2.tex index 77f1589..add820b 100644 --- a/optimierung/Uebungsblatt2.tex +++ b/optimierung/Uebungsblatt2.tex @@ -15,9 +15,14 @@ \polyset{style=C, div=:,vars=x} \pgfplotsset{compat=1.8} \pagenumbering{arabic} +% ensures that paragraphs are separated by empty lines +\parskip 12pt plus 1pt minus 1pt +\parindent 0pt +% define how the sections are rendered \def\thesection{\arabic{section})} \def\thesubsection{\alph{subsection})} \def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})} +% some matrix magic \makeatletter \renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{% \hskip -\arraycolsep @@ -32,6 +37,93 @@ Stephan Niendorf (6242417)} \maketitle \section{} %1 \subsection{} %a + \textbf{Aufgabe:} Lösen Sie das folgende LP-Problem mit dem Simplexverfahren: + \begin{alignat*}{4} + \text{maximiere}\; & x_{1} &+& 6x_{2} &-& 4x_{3} && \\ + \multicolumn{8}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\ + \;& 2x_{1} && &+& x_{3} &\leq & 5 \\ + \;-& x_{1} &+& 3x_{2} &-& 2x_{3} &\leq &\, 2 \\ + \;& && x_{2} &-& x_{3} &\leq &\, 2 \\ + \multicolumn{6}{r}{$x_{1}, x_{2}, x_{3}$} \,&\geq &\, 0 + \end{alignat*} + + \textbf{Lösung.} + + \underline{Starttableau}: + \begin{alignat*}{5} + x_{4} \,&=&\, 5 \,&-&\, 2x_{1} && &-&\, x_{3} \\ + x_{5} \,&=&\, 2 \,&+&\, x_{1} \,&-&\, 3x_{2} \,&+&\, 2x_{3} \\ + x_{6} \,&=&\, 2 && &-&\, x_{2} \,&+&\, x_{3} \\ \cline{1 - 9} + z &=& && x_{1} \,&+&\, 6x_{2} \,&-&\, 4x_{3} + \end{alignat*} + + \underline{1. Iteration}: + + Eingangsvariable: $x_{2}$\\ + Ausgangsvariable: $x_{5}$ + + Es folgt + \begin{alignat*}{2} + 3x_{2} \,&=&&\, 2 + x_{1} + 2x_{3} - x_{5} \\ + x_{2} \,&=&&\, \frac{2}{3} + \frac{1}{3}x_{1} + \frac{2}{3}x_{3} - \frac{1}{3}x_{5} \\ + x_{4} \,&=&&\, 5 - 2x_{1} - x_{3} \\ + x_{6} \,&=&&\, 2 - \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}x_{1} + \frac{2}{3}x_{3} - \frac{1}{3}x_{5}\right) + x_{3} \\ + &=&&\, 2 - \frac{2}{3} - \frac{1}{3}x_{1} - \frac{2}{3}x_{3} + \frac{1}{3}x_{5} + x_{3} \\ + &=&&\, \frac{4}{3} - \frac{1}{3}x_{1} + \frac{1}{3}x_{3} + \frac{1}{3}x_{5} \\ + z \,&=&&\, x_{1} + 6\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}x_{1} + \frac{2}{3}x_{3} - \frac{1}{3}x_{5}\right) - 4x_{3} \\ + &=&&\, x_{1} + 4 + 2x_{1} + 4x_{3} - 2x_{5} - 4x_{3} \\ + &=&&\, 4 + 3x_{1} - 2x_{5} + \end{alignat*} + + \underline{Ergebnis der 1. Iteration}: + \begin{alignat*}{5} + x_{2} \,&=&\, \frac{2}{3} \,&+&\, \frac{1}{3}x_{1} \,&+&\, \frac{2}{3}x_{3} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{5} \\ + x_{4} \,&=&\, 5 \,&-&\, 2x_{1} \,&-&\, x_{3} && \\ + x_{6} \,&=&\, \frac{4}{3} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{1} \,&+&\, \frac{1}{3}x_{3} \,&+&\, \frac{1}{3}x_{5} \\ \cline{1 - 9} + z &=& 4 \,&+&\, 3x_{1} && &-& 2x_{5} + \end{alignat*} + + \underline{2. Iteration}: + + Eingangsvariable: $x_{1}$ \\ + Ausgangsvariable: $x_{4}$ + + Es folgt + \begin{alignat*}{2} + 2x_{1} &=&& 5 - x_{3} - x_{4} \\ + x_{1} &=&& \frac{5}{2} - \frac{1}{2}x_{3} - \frac{1}{2}x_{4} \\ + x_{2} &=&& \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\left(\frac{5}{2} - \frac{1}{2}x_{3} - \frac{1}{2}x_{4}\right) + \frac{2}{3}x_{3} - \frac{1}{3}x_{5} \\ + &=&& \frac{3}{2} - \frac{1}{6}x_{3} - \frac{1}{6}x_{4} + \frac{2}{3}x_{3} - \frac{1}{3}x_{5} \\ + &=&& \frac{3}{2} + \frac{1}{2}x_{3} - \frac{1}{6}x_{4} - \frac{1}{3}x_{5} \\ + x_{6} &=&& \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\left(\frac{5}{2} - \frac{1}{2}x_{3} - \frac{1}{2}x_{4}\right) + \frac{1}{3}x_{3} + \frac{1}{3}x_{5} \\ + &=&& \frac{1}{2} + \frac{1}{6}x_{3} + \frac{1}{6}x_{4} + \frac{1}{3}x_{3} + \frac{1}{3}x_{5} \\ + &=&& \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_{3} + \frac{1}{6}x_{4} + + \frac{1}{3}x_{5} \\ + z &=&& 4 + 3\left(\frac{5}{2} - \frac{1}{2}x_{3} - \frac{1}{2}x_{4}\right) - 2x_{5} \\ + &=&& \frac{23}{2} - \frac{3}{2}x_{3} - \frac{3}{2}x_{4} - 2x_{5} \\ + &=&& \frac{23}{2} - \frac{3}{2}x_{3} - \frac{3}{2}x_{4} - 2x_{5} + \end{alignat*} + + \underline{Ergebnis der 2. Iteration}: + \begin{alignat*}{5} + x_{1} \,&=&\, \frac{5}{2} \,&-&\, \frac{1}{2}x_{3} \,&-&\, \frac{1}{2}x_{4} && \\ + x_{2} \,&=&\, \frac{3}{2} \,&+&\, \frac{1}{2}x_{3} \,&-&\, \frac{1}{6}x_{4} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{5} \\ + x_{6} \,&=&\, \frac{1}{2} \,&+&\, \frac{1}{2}x_{3} \,&+&\, \frac{1}{6}x_{4} \,&+&\, \frac{1}{3}x_{5} \\ \cline{1 - 9} + z &=& \frac{23}{2} \,&-&\, \frac{3}{2}x_{3} \,&-&\, \frac{3}{2}x_{4} \,&-&\, 2x_{5} + \end{alignat*} + Dieses Tableau liefert die optimale Lösung $x_{1} = \frac{5}{2}, x_{2} = \frac{3}{2}, x_{3} = 0$ mit $z = \frac{23}{2}$. + + \underline{Startlösung ("`zulässige Basislösung am Anfang"')}: + \[ + x_{1} = 0, x_{2} = 0, x_{3} = 0, x_{4} = 5, x_{5} = 2, x_{6} = 2 \text{ mit } z = 0 + \] + \underline{Zulässige Basislösung nach der 1. Iteration}: + \[ + x_{1} = 0, x_{2} = \frac{2}{3}, x_{3} = 0, x_{4} = 5, x_{5} = 0, x_{6} = \frac{4}{3} \text{ mit } z = 4 + \] + \underline{Zulässige Basislösung nach der 2. Iteration}: + \[ + x_{1} = \frac{5}{2}, x_{2} = \frac{3}{2}, x_{3} = 0, x_{4} = 0, x_{5} = 0, x_{6} = \frac{1}{2} \text{ mit } z = \frac{23}{2} + \] \subsection{} %b \section{} %2 \end{document}