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AD-2: Aufgabe 3 komplett gelöst.

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Jim Martens 2013-11-02 18:42:10 +01:00
parent 99da603ffe
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8
ad/AD-Gruppe_8_Koehler_Krabbe_Martens_Blatt2.tex
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@ -106,7 +106,7 @@ Jim Martens (6420323)}
\end{alignat*}
Das Ergebnis der letzten Gleichung ist somit das Minima von $f$. Als weitere Absicherung kann das asymptotische Wachstum betrachtet werden. Für einen kleineren Wert als $e$, ist $\ln(x)$ kleiner als $1$. Das Teilen von $x$ durch diesen Wert geringer als $1$ sorgt dafür, dass das Ergebnis größer als $x$ ist. Lässt man $x$ gegen $1$ laufen, läuft der Bruch gegen unendlich. Auf der anderen Seite kann man $x$ gegen unendlich gehen lassen, dann läuft der Bruch auch gegen unendlich, da eine lineare Funktion schneller wächst, als eine logarithmische. Der konstante Faktor am Ende kann dabei außer Acht gelassen werden.
\subsection{} %b
Die beste Wahl für $k^{*}$ ist $e$. Es werden im worst-case bei der Heap-Größe $n=10^{l}$ mit $l \in \{1,...,9\}$ diese Anzahl an Schritten benötigt.
Die beste Wahl für $k^{*}$ ist $3$. Es werden im worst-case bei der Heap-Größe $n=10^{l}$ mit $l \in \{1,...,9\}$ diese Anzahl an Schritten benötigt.
\begin{tabular}{c|c|c}
$l$ & $k = 3$ & $k = 2$ \\
@ -122,9 +122,15 @@ Jim Martens (6420323)}
9 & 57 & 60
\end{tabular}
\subsection{} %c
Ein binärer Heap (dementsprechend $k=2$) ist deutlich übersichtlicher als ein ternärer Heap. Außerdem ist ein binärer Heap leichter zu be- bzw. verarbeiten und der Unterschied des Laufzeitaufwandes zwischen einem binären und einem ternären Heap ist nicht sonderlich groß.
\subsection{} %d
Pro Vertauschen werden $k+1$ Schritte benötigt. Ein Schritt wird benötigt, um das Maximum herauszufinden und $k$ Schritte, um den Max-Heap des aktuellen Knoten nach dem Vertauschen wieder zu einem solchen zu machen. Damit werden zwar viele Schritte zum Finden eines Maximums der Kinder eingespart, allerdings an anderer Stelle wieder durch das Aufrufen von Heapify auf den zusätzlichen Max-Heap ausgegeben. Im Endeffekt ergibt sich damit eine Gesamtlaufzeit von $\lceil (k+1)\log_{k}(n) \rceil$.
\subsection{} %e
Anwenden von \textsc{Decrease}$(9 \mapsto 1)$ auf Ergebnis von 3d: 2 Vertauschungen \\
Anwenden von \textsc{Decrease}$(9 \mapsto 1)$ auf Ergebnis von 3f: eine Vertauschung
\subsection{} %f
Ein ternärer Heap hat bei gleicher Anzahl an Knoten maximal gleich viele Level, wodurch dieselbe \textsc{Decrease}-Operation bei einem ternären Heap immer maximal gleich viele Vertauschungen wie bei einem binären Heap erfordert.
\section{} %4
\subsection{} %a
merge (2 2 5 7 9, 1 2 4 8) \\