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FGI2: Aufgaben 2.3.3, 2.4.1 und 2.4.2 bearbeitet

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Jim Martens
2014-10-21 19:47:54 +02:00
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21
fgi2/Blatt2/Aufgabenblatt2.tex
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@ -74,20 +74,33 @@
\caption{Büchi-Automat \(A'_{2.3}\), der \((L(A_{2.3}))^{\omega}\) akzeptiert.}
\label{fig:1}
\end{figure}
Es sind zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen. Die erste Richtung besagt \(L^{\omega}(A'_{2.3}) \subseteq (L(A_{2.3}))^{\omega}\) und die zweite \((L(A_{2.3}))^{\omega} \subseteq L^{\omega}(A'_{2.3})\). Es gelte \(A'_{2.3} = (Q, \Sigma, \delta, Q^{0}, F)\).
Es sind zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen. Die erste Richtung besagt \(L^{\omega}(A'_{2.3}) \subseteq (L(A_{2.3}))^{\omega}\) und die zweite \((L(A_{2.3}))^{\omega} \subseteq L^{\omega}(A'_{2.3})\). Es gelte \(A'_{2.3} = (Q', \Sigma ', \delta ', Q'^{0}, F')\). Desweiteren gelte \(A_{2.3} = (Q, \Sigma, \delta, Q^{0}, F)\). Für die Konstruktion von \(A'_{2.3}\) siehe \fref{fig:1}.
Zunächst wird die erstgenannte Richtung gezeigt.
Zunächst wird \(L^{\omega}(A'_{2.3}) \subseteq (L(A_{2.3}))^{\omega}\) gezeigt.
\begin{alignat*}{2}
w \in L^{\omega}(A'_{2.3}) &\Rightarrow & A'_{2.3} \text{ akzeptiert }w \\
&\Rightarrow & \exists \text{ Erfolgsrechnung von \(A'_{2.3}\) auf }w \\
&\Rightarrow & \exists p = z_{0}z_{1}z_{2}... | z_{0} \in Q^{0} \wedge F \cap inf(p) \neq \emptyset \\
&\Rightarrow &
&\Rightarrow & \exists p = z_{0}z_{1}z_{2}... | z_{0} \in Q'^{0} \wedge F' \cap inf(p) \neq \emptyset \\
&\Rightarrow & \exists z_{i} \text{ in } p | i \in \mathbb{N} : z_{i} \in F'
\end{alignat*}
\section{} %2.4
\subsection{} % 1.
\begin{enumerate}
\item Voraussetzen, dass \(W\) regulär und \(U\) \(\omega\)-regulär ist
\item Zeigen, dass jedes Wort aus \(W \cdot U\) mit einem Wort aus \(U\) endet
\item Zeigen, dass jedes Wort aus \(W \cdot U\) mindestens einen Endzustand unendlich durchläuft
\end{enumerate}
\subsection{} % 2.
\begin{enumerate}
\item endlichen Automaten zu \(W\) konstruieren
\item Büchi-Automaten zu \(U\) konstruieren
\item Kantenbeziehungen von jedem Endzustand des endlichen Automaten (folgend: \(A_{W}\)) zu den Folgezuständen des Startzustands des Büchi-Automaten (folgend: \(A_{U}\) ergänzen
\item Startzustand von \(A_{U}\) zu normalem Status degradieren
\item Endzustände von \(A_{W}\) zu normalen Stati degradieren
\end{enumerate}
\subsection{} % 3.
\subsection{} % 4.
\end{document}