diff --git a/optimierung/Uebungsblatt8.tex b/optimierung/Uebungsblatt8.tex new file mode 100644 index 0000000..19273c5 --- /dev/null +++ b/optimierung/Uebungsblatt8.tex @@ -0,0 +1,285 @@ +\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{paralist} +\usepackage{gauss} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings} +\usepackage{polynom} +\polyset{style=C, div=:,vars=x} +\pgfplotsset{compat=1.8} +\pagenumbering{arabic} +% ensures that paragraphs are separated by empty lines +\parskip 12pt plus 1pt minus 1pt +\parindent 0pt +% define how the sections are rendered +\def\thesection{\arabic{section})} +\def\thesubsection{\alph{subsection})} +\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})} +% some matrix magic +\makeatletter +\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{% + \hskip -\arraycolsep + \let\@ifnextchar\new@ifnextchar + \array{#1}} +\makeatother + +\begin{document} +\author{Jan Branitz (6326955), Jim Martens (6420323),\\ +Stephan Niendorf (6242417)} +\title{Hausaufgaben zum 9. Dezember} +\maketitle +\section{} %1 + \subsection{} %a + \begin{alignat*}{4} + \text{minimiere}\; & y_{1} \,&+&\, 2y_{2} \,&+&\, 3y_{3} && \\ + \multicolumn{8}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\ + \;& 2y_{1} \,&+&\, 3y_{2} \,&+&\, y_{3} \,&\geq & 5 \\ + \;& 3y_{1} \,&+&\, y_{2} \,&+&\, y_{3} \,&\geq & -7 \\ + \;-& y_{1} \,&+&\, 4y_{2} \,&-&\, 2y_{3} \,&\geq & 3 \\ + \;& y_{1} \,&-&\, 2y_{2} \,&-&\, y_{3} \,&=& 1 \\ + \multicolumn{6}{r}{$y_{2}, y_{3}$} \,&\geq &\, 0 + \end{alignat*} + \subsection{} %b + \begin{alignat*}{9} + \text{maximiere}\; -& y_{1} &+& 16y_{2} &+& 5y_{3} &+& 8y_{4} &+& y_{5} &-& 4y_{6} &-& 10y_{7} &+& 9y_{8} && \\ + \multicolumn{18}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\ + & 2y_{1} &+& y_{2} &+& y_{3} &+& 2y_{4} &+& y_{5} &+& 4y_{6} &-& 4y_{7} &+& y_{8} &\leq &\, -2 \\ + -& 4y_{1} &+& 5y_{2} && &+& 4y_{4} &-& 3y_{5} &-& 3y_{6} &+& 3y_{7} &+& 2y_{8} &=&\, 3 \\ + & y_{1} &+& y_{2} &+& y_{3} &-& y_{4} &+& y_{5} && &-& 5y_{7} &+& y_{8} &=&\, 22 \\ + \multicolumn{16}{r}{$y_{4}, y_{5}, y_{6}, y_{7}$} \,&\geq &\, 0 + \end{alignat*} +\section{} %2 + \subsection{} %a + Das LP-Problem: + \begin{alignat*}{3} + \text{maximiere}\; & 40x_{1} \,&+&\, 70x_{2} && \\ + \multicolumn{6}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\ + \;& x_{1} \,&+&\, x_{2} \,&\leq & 100 \\ + \;& 10x_{1} \,&+&\, 50x_{2} \,&\leq & 4000 \\ + \multicolumn{4}{r}{$x_{1}, x_{2}$} \,&\geq &\, 0 + \end{alignat*} + + Das duale Problem: + \begin{alignat*}{3} + \text{minimiere}\; & 100y_{1} \,&+&\, 4000y_{2} && \\ + \multicolumn{6}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\ + \;& y_{1} \,&+&\, 10y_{2} \,&\geq & 40 \\ + \;& y_{1} \,&+&\, 50y_{2} \,&\geq & 70 \\ + \multicolumn{4}{r}{$y_{1}, y_{2}$} \,&\geq &\, 0 + \end{alignat*} + + \subsubsection{} %i + \underline{Starttableau}: + \begin{alignat*}{4} + x_{3} \,&=&\, 100 \,&-&\, x_{1} \,&-&\, x_{2} \\ + x_{4} \,&=&\, 4000 \,&-&\, 10x_{1} \,&-&\, 50x_{2} \\ \cline{1 - 7} + z &=& &&\, 40x_{1} \,&+&\, 70x_{2} + \end{alignat*} + + \underline{1. Iteration}: + + Eingangsvariable: $x_{2}$\\ + Ausgangsvariable: $x_{4}$ + + Es folgt + \begin{alignat*}{2} + 50x_{2} \,&=&&\, 4000 - 10x_{1} - x_{4} \\ + x_{2} \,&=&&\, 80 - \frac{1}{5}x_{1} - \frac{1}{50}x_{4} \\ + x_{3} \,&=&&\, 100 - x_{1} - \left(80 - \frac{1}{5}x_{1} - \frac{1}{50}x_{4}\right) \\ + &=&&\, 100 - x_{1} - 80 + \frac{1}{5}x_{1} + \frac{1}{50}x_{4} \\ + &=&&\, 20 - \frac{4}{5}x_{1} + \frac{1}{50}x_{4} \\ + z \,&=&&\, 40x_{1} + 70\left(80 - \frac{1}{5}x_{1} - \frac{1}{50}x_{4}\right) \\ + &=&&\, 40x_{1} + 5600 - 14x_{1} - \frac{7}{5}x_{4} \\ + &=&&\, 5600 + 26x_{1} - \frac{7}{5}x_{4} + \end{alignat*} + + \underline{Ergebnis der 1. Iteration}: + \begin{alignat*}{4} + x_{2} \,&=&\, 80 \,&-&\, \frac{1}{5}x_{1} \,&-&\, \frac{1}{50}x_{4} \\ + x_{3} \,&=&\, 20 \,&-&\, \frac{4}{5}x_{1} \,&+&\, \frac{1}{50}x_{4} \\ \cline{1 - 7} + z &=& 5600 \,&+&\, 26x_{1} \,&-&\, \frac{7}{5}x_{4} + \end{alignat*} + + \underline{2. Iteration}: + + Eingangsvariable: $x_{1}$\\ + Ausgangsvariable: $x_{3}$ + + Es folgt + \begin{alignat*}{2} + \frac{4}{5}x_{1} \,&=&&\, 20 + \frac{1}{50}x_{4} - x_{3} \\ + x_{1} \,&=&&\, 25 + \frac{1}{40}x_{4} - \frac{5}{4}x_{3} \\ + x_{2} \,&=&&\, 80 - \frac{1}{5}\left(25 + \frac{1}{40}x_{4} - \frac{5}{4}x_{3}\right) - \frac{1}{50}x_{4} \\ + &=&&\, 80 - 5 + \frac{1}{200}x_{4} - \frac{1}{4}x_{3} - \frac{1}{50}x_{4} \\ + &=&&\, 75 - \frac{3}{200}x_{4} - \frac{1}{4}x_{3} \\ + z \,&=&&\, 5600 + 26\left(25 + \frac{1}{40}x_{4} - \frac{5}{4}x_{3}\right) - \frac{7}{5}x_{4} \\ + &=&&\, 5600 + 650 + \frac{13}{20}x_{4} - \frac{65}{2}x_{3} - \frac{7}{5}x_{4} \\ + &=&&\, 6250 - \frac{3}{4}x_{4} - \frac{65}{2}x_{3} + \end{alignat*} + + \underline{Ergebnis der 2. Iteration}: + \begin{alignat*}{4} + x_{1} \,&=&\, 25 \,&-&\, \frac{1}{40}x_{4} \,&-&\, \frac{5}{4}x_{3} \\ + x_{2} \,&=&\, 75 \,&-&\, \frac{3}{200}x_{4} \,&-&\, \frac{1}{4}x_{3} \\ \cline{1 - 7} + z &=& 6250 \,&-&\, \frac{3}{4}x_{4} \,&-&\, \frac{65}{2}x_{3} + \end{alignat*} + + Wie hier deutlich wird, ist $x_{1}^{*} = 25, x_{2}^{*} = 75$ eine optimale Lösung des primalen Problems. + + \underline{Startlösung ("`zulässige Basislösung am Anfang"')}: + \[ + x_{1} = 0, x_{2} = 0, x_{3} = 100, x_{4} = 4000 \text{ mit } z = 0 + \] + \underline{Zulässige Basislösung nach der 1. Iteration}: + \[ + x_{1} = 0, x_{2} = 80, x_{3} = 20, x_{4} = 0 \text{ mit } z = 5600 + \] + \underline{Zulässige Basislösung nach der 2. Iteration}: + \[ + x_{1} = 25, x_{2} = 75, x_{3} = 0, x_{4} = 0 \text{ mit } z = 6250 + \] + + Durch Einsetzen von $y_{1}^{*} = 32.5$ und $y_{2}^{*} = 0.75$ in die Zielfunktion des dualen Problems ergibt sich folgendes: + \[ + 100 \cdot \frac{65}{2} + 4000 \cdot \frac{3}{4} = 3250 + 3000 = 6250 + \] + + Die beiden Zielfunktionswerte stimmen überein. Nach dem Dualitätssatz folgt daraus, dass $y_{1}^{*} = 32.5, y_{2}^{*} = 0.75$ tatsächlich eine optimale Lösung für das duale Problem darstellt. + \subsubsection{} %ii + Zum Überprüfen der vorgeschlagenen Lösung werden die Werte zunächst in die Ungleichungen des LP-Problems eingesetzt. + + Erste Ungleichung: + \begin{alignat*}{2} + 25 + 75 &\leq & 100 \\ + 100 &\leq & 100 + \end{alignat*} + + Zweite Ungleichung: + \begin{alignat*}{2} + 10 \cdot 25 + 50 \cdot 75 &\leq & 4000 \\ + 4000 &\leq & 4000 + \end{alignat*} + + Da beide Ungleichungen mit Gleichheit erfüllt sind, lassen sich keine Rückschlüsse auf $y$-Werte ziehen. Da beide $x$-Werte größer als $0$ sind, müssen beide Ungleichungen im dualen Problem mit Gleichheit erfüllt sein. + + \begin{alignat*}{2} + I \;& y_{1} + 10y_{2} &=& 40 \\ + II \;& y_{1} + 50y_{2} &=& 70 \\ + II - I \;& 40y_{2} &=& 30 \\ + \;& y_{2} &=& \frac{3}{4} \\ + \intertext{Einsetzen von $y_{2}$ in $I$} + I \;& y_{1} + 10 \cdot \frac{3}{4} &=& 40 \\ + \;& y_{1} + \frac{15}{2} &=& 40 \\ + \;& y_{1} &=& \frac{65}{2} + \end{alignat*} + + Es ergeben sich somit die eindeutig bestimmten Zahlen $y_{1}^{*} = \frac{65}{2}, y_{2}^{*} = \frac{3}{4}$. Diese Zahlen erfüllen zusammen mit der vorgeschlagenen Lösung die komplementären Schlupfbedingungen. + Schließlich muss noch geprüft werden, ob diese Zahlen auch eine zulässige Lösung des dualen Problems sind. Dafür werden diese eingesetzt: + + Erste Ungleichung: + \begin{alignat*}{2} + 1 \cdot \frac{65}{2} + 10 \cdot \frac{3}{4} &\geq & 40 \\ + 40 &\geq & 40 + \end{alignat*} + + Zweite Ungleichung: + \begin{alignat*}{2} + 1 \cdot \frac{65}{2} + 50 \cdot \frac{3}{4} &\geq & 70 \\ + 70 &\geq & 70 + \end{alignat*} + + Da alle zwei Ungleichungen mit den herausgefundenen Zahlen gültig sind, stellen die gefundenen Zahlen eine zulässige Lösung des dualen Problems dar. + \subsection{} %b + \underline{Starttableau}: + \begin{alignat*}{4} + x_{3} \,&=&\, 100 \,&-&\, x_{1} \,&-&\, x_{2} \\ + x_{4} \,&=&\, 4000 + t \,&-&\, 10x_{1} \,&-&\, 50x_{2} \\ \cline{1 - 7} + z &=& &&\, 40x_{1} \,&+&\, 70x_{2} + \end{alignat*} + + \underline{1. Iteration}: + + \textbf{Es wird vorausgesetzt, dass $0 \leq t \leq 1000$ gilt.} Für $t=0$ gilt im Folgenden genau das Gleiche wie in 2a i). Für $t=1000$ kann eine der Ausgangsvariablen nach Belieben gewählt werden, da beide potentiellen Ausgangsvariablen $x_{2}$ gleichermaßen beschränken. Da in den meisten Fällen jedoch $t$ kleiner als $1000$ ist, wird $x_{4}$ als Ausgangsvariable gewählt. + + Eingangsvariable: $x_{2}$\\ + Ausgangsvariable: $x_{4}$ + + Es folgt + \begin{alignat*}{2} + 50x_{2} \,&=&&\, 4000 + t - 10x_{1} - x_{4} \\ + x_{2} \,&=&&\, 80 + \frac{1}{50}t - \frac{1}{5}x_{1} - \frac{1}{50}x_{4} \\ + x_{3} \,&=&&\, 100 - x_{1} - \left(80 + \frac{1}{50}t - \frac{1}{5}x_{1} - \frac{1}{50}x_{4}\right) \\ + &=&&\, 100 - x_{1} - 80 - \frac{1}{50}t + \frac{1}{5}x_{1} + \frac{1}{50}x_{4} \\ + &=&&\, 20 - \frac{1}{50}t - \frac{4}{5}x_{1} + \frac{1}{50}x_{4} \\ + z \,&=&&\, 40x_{1} + 70\left(80 + \frac{1}{50}t - \frac{1}{5}x_{1} - \frac{1}{50}x_{4}\right) \\ + &=&&\, 40x_{1} + 5600 + \frac{7}{5}t - 14x_{1} - \frac{7}{5}x_{4} \\ + &=&&\, 5600 + \frac{7}{5}t + 26x_{1} - \frac{7}{5}x_{4} + \end{alignat*} + + \underline{Ergebnis der 1. Iteration}: + \begin{alignat*}{4} + x_{2} \,&=&\, 80 + \frac{1}{50}t \,&-&\, \frac{1}{5}x_{1} \,&-&\, \frac{1}{50}x_{4} \\ + x_{3} \,&=&\, 20 - \frac{1}{50}t \,&-&\, \frac{4}{5}x_{1} \,&+&\, \frac{1}{50}x_{4} \\ \cline{1 - 7} + z &=& 5600 + \frac{7}{5}t \,&+&\, 26x_{1} \,&-&\, \frac{7}{5}x_{4} + \end{alignat*} + + \underline{2. Iteration}: + + \textbf{Es wird vorausgesetzt, dass $t \leq 1000$ gilt.} Könnte $t$ größer sein, dann würde die Möglichkeit bestehen, dass $x_{3}$ in der Basislösung nach der ersten Iteration einen negativen Wert hat. + + Eingangsvariable: $x_{1}$\\ + Ausgangsvariable: $x_{3}$ + + Es folgt + \begin{alignat*}{2} + \frac{4}{5}x_{1} \,&=&&\, 20 - \frac{1}{50}t + \frac{1}{50}x_{4} - x_{3} \\ + x_{1} \,&=&&\, 25 - \frac{1}{40}t + \frac{1}{40}x_{4} - \frac{5}{4}x_{3} \\ + x_{2} \,&=&&\, 80 + \frac{1}{50}t - \frac{1}{5}\left(25 - \frac{1}{40}t + \frac{1}{40}x_{4} - \frac{5}{4}x_{3}\right) - \frac{1}{50}x_{4} \\ + &=&&\, 80 + \frac{1}{50}t - 5 + \frac{1}{200}t - \frac{1}{200}x_{4} - \frac{1}{4}x_{3} - \frac{1}{50}x_{4} \\ + &=&&\, 75 + \frac{1}{40}t - \frac{1}{40}x_{4} - \frac{1}{4}x_{3} \\ + z \,&=&&\, 5600 + \frac{7}{5}t + 26\left(25 - \frac{1}{40}t + \frac{1}{40}x_{4} - \frac{5}{4}x_{3}\right) - \frac{7}{5}x_{4} \\ + &=&&\, 5600 + \frac{7}{5}t + 650 - \frac{13}{20}t + \frac{13}{20}x_{4} - \frac{65}{2}x_{3} - \frac{7}{5}x_{4} \\ + &=&&\, 6250 + \frac{3}{4}t - \frac{3}{4}x_{4} - \frac{65}{2}x_{3} + \end{alignat*} + + \underline{Ergebnis der 2. Iteration}: + \begin{alignat*}{4} + x_{1} \,&=&\, 25 - \frac{1}{40}t \,&-&\, \frac{1}{40}x_{4} \,&-&\, \frac{5}{4}x_{3} \\ + x_{2} \,&=&\, 75 + \frac{1}{40}t \,&-&\, \frac{1}{40}x_{4} \,&-&\, \frac{1}{4}x_{3} \\ \cline{1 - 7} + z &=& 6250 + \frac{3}{4}t \,&-&\, \frac{3}{4}x_{4} \,&-&\, \frac{65}{2}x_{3} + \end{alignat*} + + Wie hier deutlich wird, ist $x_{1}^{*} = 25, x_{2}^{*} = 75$ eine optimale Lösung des primalen Problems. + + \underline{Startlösung ("`zulässige Basislösung am Anfang"')}: + \[ + x_{1} = 0, x_{2} = 0, x_{3} = 100, x_{4} = 4000 + t \text{ mit } z = 0 + \] + \underline{Zulässige Basislösung nach der 1. Iteration}: + \[ + x_{1} = 0, x_{2} = 80 + \frac{1}{50}t, x_{3} = 20 - \frac{1}{50}t, x_{4} = 0 \text{ mit } z = 5600 + \frac{7}{5}t + \] + \underline{Zulässige Basislösung nach der 2. Iteration}: + \[ + x_{1} = 25 - \frac{1}{40}t, x_{2} = 75 + \frac{1}{40}t, x_{3} = 0, x_{4} = 0 \text{ mit } z = 6250 + \frac{3}{4}t + \] + + Wie im Folgenden zu sehen ist, entsprechen die Werte der optimalen Lösung den in (7.24) auf Skriptseite 67 angenommenen Werten. + \[ + x_{1} = 25 - \frac{1}{40}t = 25 - \frac{25}{1000}t = 25 - 0.025t + \] + \[ + x_{2} = 75 + \frac{1}{40}t = 75 + \frac{25}{1000}t = 75 + 0.025t + \] + Im Folgenden ist zu sehen, dass tatsächlich ein zusätzlicher Gewinn von $0.75t$ erzielt wird. + \[ + z = 6250 + \frac{3}{4}t = 6250 + \frac{75}{100}t = 6250 + 0.75t + \] +\end{document}