FGI2: 9.4 fertiggestellt

fgi2/Blatt9/Aufgabenblatt9.tex

@@ -86,6 +86,83 @@ Um die Monotonie abschließend zu zeigen, wählen wir das \(m\) so, dass \(m'_0
 Die Menge enthält alle Markierungen, mit denen entweder der Zyklus p1 - a -> p2 - b -> p1 oder p4 - c -> p4 lebendig gemacht wird. Da jede der Markierungen nur Marken auf einer der Stellen enthält, sind die Markierungen nicht vergleichbar zueinander und damit gibt es auch keine kleinere Markierung. Das Netz ist bei allen der in der Menge enthaltenen Markierungen unbeschränkt, da durch die Lebendigkeit eines der beiden Zyklen beliebig viele Marken in p3 landen können.
 \section{} %9.4
 \subsection{}
+Wirkungsmatrix \(\Delta_{N_{9.4a}}\):
 
-\section{} %9.5
+\begin{tabular}{c|cccccc}
+	 & a & b & c & d & e & f \\
+	\hline
+	p1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+	p2 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
+	p3 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
+	p4 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
+	p5 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0
+\end{tabular}
+
+\subsection{}
+Die transponierte Wirkungsmatrix:
+
+\begin{tabular}{c|ccccc}
+	 & p1 & p2 & p3 & p4 & p5 \\
+	\hline
+	a & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+	b & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
+	c & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
+	d & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
+	e & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\
+	f & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
+\end{tabular}
+
+Menge der S-Invariantenvektoren:
+\[
+	S_{inv} = \{(0,n,n,0,0 )^{tr}| n \in \mathbb{N} \wedge n > 0 \}
+\]
+
+\subsection{}
+\(N_{9.4}\) ist nicht strukturell beschränkt, da es keine positive, überdeckende S-Invariante für das Netz gibt.
+
+\subsection{}
+Wirkungsmatrix \(\Delta_{N_{9.4b}}\):
+
+\begin{tabular}{c|cccccc}
+	 & a & b & c & d & e & f \\
+	\hline
+	p1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+	p2 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
+	p3 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
+	p4 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
+	p5 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
+	p6 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+	p7 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
+	p8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1
+\end{tabular}
+
+Transponierte Wirkungsmatrix:
+
+\begin{tabular}{c|cccccccc}
+	 & p1 & p2 & p3 & p4 & p5 & p6 & p7 & p8 \\
+	\hline
+	a & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
+	b & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0\\
+	c & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+	d & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+	e & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1\\
+	f & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1
+\end{tabular}
+
+Menge der S-Invariantenvektoren:
+\[
+	S_{inv} = \{(a,b,b,c,c,a,c,c)| a,b,c \in \mathbb{N}^{+}\}
+\]
+
+Das Netz ist strukturell beschränkt, da es eine überdeckende, positive S-Invariante gibt.
+
+\subsection{}
+Das Ursprungsnetz sah keine Beschränkung des Lagers, der Annahme oder der wartenden Kunden vor. Der Informatiker hat die Änderung vorgenommen, um der Realität Rechnung zu tragen, in der es eine begrenzte Lagerkapazität, begrenzte Annahmestellen und begrenzten Warteraum gibt. Die Diskrepanz kann ferner zustande kommen, da ein P/T-Netz keine zeitliche Abfolge darstellen kann, wenn die betreffenden Transitionen nebenläufig sind. Die dem Netz zugrundeliegende Beschreibung der Arbeitsabläufe könnte jedoch durchaus eine solche zeitliche Komponente beinhalten und voraussetzen, dass ein Kunde bedient wird, sobald einer anwesend ist. Ein solcher Schaltzwang existiert in Netzen jedoch erst einmal nicht.
+
+\subsection{}
+\begin{alignat*}{2}
+&& 2 \cdot \textbf{m}(p_1) + 1 \cdot \textbf{m}(p_2) + 1 \cdot \textbf{m}(p_3) + 3 \cdot \textbf{m}(p_4) + 3 \cdot \textbf{m}(p_5) + 2 \cdot \textbf{m}(p_6) + 3 \cdot \textbf{m}(p_7) + 3 \cdot \textbf{m}(p_8) \\
+&=& 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 10 + 3 \cdot 8 \\
+&=& 70
+\end{alignat*}
 \end{document}