From 7873e5e913f2d69fb34852833d5718ddeaf68278 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jim Martens Date: Wed, 13 Nov 2013 17:47:18 +0100 Subject: [PATCH] MATH2-Inf-5: Aufgabenblatt 5 bearbeitet. --- optimierung/Uebungsblatt5.tex | 230 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 230 insertions(+) create mode 100644 optimierung/Uebungsblatt5.tex diff --git a/optimierung/Uebungsblatt5.tex b/optimierung/Uebungsblatt5.tex new file mode 100644 index 0000000..51ad9ff --- /dev/null +++ b/optimierung/Uebungsblatt5.tex @@ -0,0 +1,230 @@ +\documentclass[10pt,a4paper,oneside,ngerman,numbers=noenddot]{scrartcl} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{paralist} +\usepackage{gauss} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage[locale=DE,exponent-product=\cdot,detect-all]{siunitx} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,fadings,calc,positioning,decorations.pathreplacing,arrows,decorations.markings} +\usepackage{polynom} +\polyset{style=C, div=:,vars=x} +\pgfplotsset{compat=1.8} +\pagenumbering{arabic} +% ensures that paragraphs are separated by empty lines +\parskip 12pt plus 1pt minus 1pt +\parindent 0pt +% define how the sections are rendered +\def\thesection{\arabic{section})} +\def\thesubsection{\alph{subsection})} +\def\thesubsubsection{(\roman{subsubsection})} +% some matrix magic +\makeatletter +\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{% + \hskip -\arraycolsep + \let\@ifnextchar\new@ifnextchar + \array{#1}} +\makeatother + +\begin{document} +\author{Jan Branitz (6326955), Jim Martens (6420323),\\ +Stephan Niendorf (6242417)} +\title{Hausaufgaben zum 18. November} +\maketitle +\section{} %1 + \subsection{} %a + \begin{alignat*}{15} + \text{maximiere}\; & 2v_{01} \,&+&\, 3v_{02} \,&+&\, v_{03} \,&+&\, 7v_{04} && && && && && && && && && && && \\ + \multicolumn{30}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\ + \;&\, v_{01} \,&& && && && && && && && && && && && && \,&\leq &\, 2 \\ + \;& &&\, v_{02} \,&& && && && && && && && && && && && \,&\leq &\, 3 \\ + \;& && &&\, v_{03} \,&& && && && && && && && && && && \,&\leq &\, 1 \\ + \;& && && &&\, v_{04} \,&& && && && && && && && && && \,&\leq &\, 7 \\ + \;& && && && &&\, v_{16} \,&& && && && && && && && && \,&\leq &\, 5 \\ + \;& && && && && &&\, v_{21} \,&& && && && && && && && \,&\leq &\, 4 \\ + \;& && && && && && &&\, v_{25} \,&& && && && && && && \,&\leq &\, 4 \\ + \;& && && && && && && &&\, v_{34} \,&& && && && && && \,&\leq &\, 4 \\ + \;& && && && && && && && &&\, v_{35} \,&& && && && && \,&\leq &\, 3 \\ + \;& && && && && && && && && &&\, v_{37} \,&& && && && \,&\leq &\, 2 \\ + \;& && && && && && && && && && &&\, v_{47} \,&& && && \,&\leq &\, 3 \\ + \;& && && && && && && && && && && &&\, v_{56} \,&& && \,&\leq &\, 2 \\ + \;& && && && && && && && && && && && &&\, v_{57} \,&& \,&\leq &\, 8 \\ + \;& && && && && && && && && && && && && &&\, v_{67} \,&\leq &\, 3 \\ + \;&\, v_{01} && && && &-&\, v_{16} \,&+&\, v_{21} \,&& && && && && && && && \,&=&\, 0 \\ + \;& &&\, v_{02} \,&& && && &-&\, v_{21} \,&-&\, v_{25} \,&& && && && && && && \,&=&\, 0 \\ + \;& && &&\, v_{03} \,&& && && && &-&\, v_{34} \,&-&\, v_{35} \,&-&\, v_{37} \,&& && && && \,&=&\, 0 \\ + \;& && && &&\, v_{04} \,&& && && &+&\, v_{34} \,&& && &-&\, v_{47} \,&& && && \,&=&\, 0 \\ + \;& && && && && && &&\, v_{25} \,&& &+&\, v_{35} \,&& && &-&\, v_{56} \,&-&\, v_{57} \,&& \,&=&\, 0 \\ + \;& && && && &&\, v_{16} \,&& && && && && && &+&\, v_{56} \,&& &-&\, v_{67} \,&=&\, 0 \\ + \multicolumn{28}{r}{$v_{01}, v_{02}, v_{03}, v_{04}, v_{16}, v_{21}, v_{25}, v_{34}, v_{35}, v_{37}, v_{47}, v_{56}, v_{57}, v_{67}$} \,&\geq &\, 0 + \end{alignat*} + \subsection{} %b + \begin{alignat*}{12} + \text{minimiere}\; & 5v_{01} \,&+&\, 4v_{02} \,&+&\, 3v_{03} \,&+&\, 3v_{16} \,&+&\, 6v_{21} \,&+&\, v_{23} \,&+&\, 5v_{24} \,&+&\, 5v_{35} \,&+&\, 3v_{45} \,&+&\, 4v_{46} \,&+&\, 2v_{56} \,&& \\ + \multicolumn{24}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} && \\ + \;&\, v_{01} \,&+&\, v_{02} \,&+&\, v_{03} \,&& && && && && && && && \,&=&\, 6 \\ + \;&\, v_{01} \,&& && && && && && && && && && \,&\leq &\, 3 \\ + \;& &&\, v_{02} \,&& && && && && && && && && \,&\leq &\, 4 \\ + \;& && &&\, v_{03} \,&& && && && && && && && \,&\leq &\, 5 \\ + \;& && && &&\, v_{16} \,&& && && && && && && \,&\leq &\, 1 \\ + \;& && && && &&\, v_{21} \,&& && && && && && \,&\leq &\, 6 \\ + \;& && && && && &&\, v_{23} \,&& && && && && \,&\leq &\, 7 \\ + \;& && && && && && &&\, v_{24} \,&& && && && \,&\leq &\, 4 \\ + \;& && && && && && && &&\, v_{35} \,&& && && \,&\leq &\, 2 \\ + \;& && && && && && && && &&\, v_{45} \,&& && \,&\leq &\, 4 \\ + \;& && && && && && && && && &&\, v_{46} \,&& \,&\leq &\, 7 \\ + \;& && && && && && && && && && &&\, v_{56} \,&\leq &\, 4 \\ + \;&\, v_{01} && && &-&\, v_{16} \,&+&\, v_{21} \,&& && && && && && \,&=&\, 0 \\ + \;& &&\, v_{02} \,&& && &-&\, v_{21} \,&-&\, v_{23} \,&-&\, v_{24} \,&& && && && \,&=&\, 0 \\ + \;& && &&\, v_{03} \,&& && &+&\, v_{23} \,&& &-&\, v_{35} \,&& && && \,&=&\, 0 \\ + \;& && && && && && &&\, v_{24} \,&& &-&\, v_{45} \,&-&\, v_{46} \,&& \,&=&\, 0 \\ + \;& && && && && && && &&\, v_{35} \,&+&\, v_{45} \,&& &-&\, v_{56} \,&=&\, 0 \\ + \multicolumn{22}{r}{$v_{01}, v_{02}, v_{03}, v_{16}, v_{21}, v_{23}, v_{24}, v_{35}, v_{45}, v_{46}, v_{56}$} \,&\geq &\, 0 + \end{alignat*} + \subsection{} %c + \begin{alignat*}{5} + \text{minimiere}\; & c_{11}x_{11} \,&+&\, ... \,&+&\, c_{35}x_{35} \,&& && \\ + \multicolumn{10}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} \\ + \; & x_{11} \,&+&\, ... \,&+&\, x_{35} \,&=&\, 3 && \\ + \; & x_{11} \,&+&\, ... \,&+&\, x_{15} \,&=&\, 1 && \\ + \; & x_{21} \,&+&\, ... \,&+&\, x_{25} \,&=&\, 1 && \\ + \; & x_{31} \,&+&\, ... \,&+&\, x_{35} \,&=&\, 1 && \\ + \multicolumn{6}{r}{$x_{ij}$} \,&\in &\, \{0,1\} &\; (i = 1, 2, 3) &\; (j = 1, 2, 3, 4, 5) + \end{alignat*} +\section{} %2 + \textbf{Aufgabe:} Lösen Sie das folgende LP-Hilfsproblem mit dem Simplexverfahren: + \begin{alignat*}{4} + \text{maximiere}\; & && &-&\, x_{0} \,&& \\ + \multicolumn{8}{l}{\text{unter den Nebenbedingungen}} \\ + \;-&\, 2x_{1} \,&-&\, x_{2} \,&-&\, x_{0} \,&\leq &\, -3 \\ + \;-&\, 2x_{1} \,&-&\, 2x_{2} \,&-&\, x_{0} \,&\leq &\, -5 \\ + \;-&\, x_{1} \,&-&\, 4x_{2} \,&-&\, x_{0} \,&\leq &\, -4 \\ + \multicolumn{6}{r}{$x_{0}, x_{1}, x_{2}$} \,&\geq &\, 0 + \end{alignat*} + + \textbf{Lösung.} + + \underline{Starttableau}: + \begin{alignat*}{5} + x_{3} \,&=&\, -3 \,&+&\, 2x_{1} \,&+&\, x_{2} \,&+&\, x_{0} \\ + x_{4} \,&=&\, -5 \,&+&\, 2x_{1} \,&+&\, 2x_{2} \,&+&\, x_{0} \\ + x_{5} \,&=&\, -4 \,&+&\, x_{1} \,&+&\, 4x_{2} \,&+&\, x_{0} \\ \cline{1 - 9} + w &=& && && \,&-&\, x_{0} + \end{alignat*} + + Umwandeln in ein zulässiges Tableau: + + Eingangsvariable: $x_{0}$\\ + Ausgangsvariable: $x_{4}$ + + Es folgt + \begin{alignat*}{2} + -x_{0} \,&=&&\, -5 + 2x_{1} + 2x_{2} - x_{4} \\ + x_{0} \,&=&&\, 5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4} \\ + x_{3} \,&=&&\, -3 + 2x_{1} + x_{2} + \left(5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4}\right) \\ + &=&&\, -3 + 2x_{1} + x_{2} + 5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4} \\ + &=&&\, 2 - x_{2} + x_{4} \\ + x_{5} \,&=&&\, -4 + x_{1} + 4x_{2} + \left(5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4}\right) \\ + &=&&\, -4 + x_{1} + 4x_{2} + 5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4} \\ + &=&&\, 1 - x_{1} + 2x_{2} + x_{4} \\ + w \,&=&&\, -\left(5 - 2x_{1} - 2x_{2} + x_{4}\right) \\ + &=&&\, -5 + 2x_{1} + 2x_{2} - x_{4} \\ + \end{alignat*} + + \underline{Ergebnis des Umwandelns}: + \begin{alignat*}{5} + x_{0} \,&=&\, 5 \,&-&\, 2x_{1} \,&-&\, 2x_{2} \,&+&\, x_{4} \\ + x_{3} \,&=&\, 2 \,&& &-&\, x_{2} \,&+&\, x_{4} \\ + x_{5} \,&=&\, 1 \,&-&\, x_{1} \,&+&\, 2x_{2} \,&+&\, x_{4} \\ \cline{1 - 9} + w &=& -5 \,&+&\, 2x_{1} \,&+&\, 2x_{2} \,&-&\, x_{4} + \end{alignat*} + + \underline{1. Iteration}: + + Eingangsvariable: $x_{1}$ \\ + Ausgangsvariable: $x_{5}$ + + Es folgt + \begin{alignat*}{2} + x_{1} \,&=&&\, 1 + 2x_{2} + x_{4} - x_{5} \\ + x_{0} \,&=&&\, 5 - 2\left(1 + 2x_{2} + x_{4} - x_{5}\right) - 2x_{2} + x_{4} \\ + &=&&\, 5 - 2 - 4x_{2} - 2x_{4} + 2x_{5} - 2x_{2} + x_{4} \\ + &=&&\, 3 - 6x_{2} - x_{4} + 2x_{5} \\ + x_{3} \,&=&&\, 2 - x_{2} + x_{4} \\ + w \,&=&&\, -5 + 2\left(1 + 2x_{2} + x_{4} - x_{5}\right) + 2x_{2} - x_{4} \\ + &=&&\, -5 + 2 + 4x_{2} + 2x_{4} - 2x_{5} + 2x_{2} - x_{4} \\ + &=&&\, -3 + 6x_{2} + x_{4} - 2x_{5} + \end{alignat*} + + \underline{Ergebnis der 1. Iteration}: + \begin{alignat*}{5} + x_{1} \,&=&\, 1 \,&+&\, 2x_{2} \,&+&\, x_{4} \,&-&\, x_{5} \\ + x_{0} \,&=&\, 3 \,&-&\, 6x_{2} \,&-&\, x_{4} \,&+&\, 2x_{5} \\ + x_{3} \,&=&\, 2 \,&-&\, x_{2} \,&+&\, x_{4} \,&& \\ \cline{1 - 9} + w &=&\, -3 \,&+&\, 6x_{2} \,&+&\, x_{4} \,&-&\, 2x_{5} + \end{alignat*} + + \underline{2. Iteration}: + + Eingangsvariable: $x_{2}$ \\ + Ausgangsvariable: $x_{0}$ + + Es folgt + \begin{alignat*}{2} + 6x_{2} \,&=&&\, 3 - x_{4} + 2x_{5} - x_{0} \\ + x_{2} \,&=&&\, \frac{1}{2} - \frac{1}{6}x_{4} + \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{6}x_{0} \\ + x_{1} \,&=&&\, 1 + 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}x_{4} + \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{6}x_{0}\right) + x_{4} - x_{5} \\ + &=&&\, 1 + 1 - \frac{1}{3}x_{4} + \frac{2}{3}x_{5} - \frac{1}{3}x_{0} + x_{4} - x_{5} \\ + &=&&\, 2 + \frac{2}{3}x_{4} - \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{3}x_{0} \\ + x_{3} \,&=&&\, 2 - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}x_{4} + \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{6}x_{0}\right) + x_{4} \\ + &=&&\, 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6}x_{4} - \frac{1}{3}x_{5} + \frac{1}{6}x_{0} + x_{4} \\ + &=&&\, \frac{3}{2} + \frac{7}{6}x_{4} - \frac{1}{3}x_{5} + \frac{1}{6}x_{0} \\ + w \,&=&&\, -3 + 6\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}x_{4} + \frac{1}{3}x_{5} - \frac{1}{6}x_{0}\right) + x_{4} - 2x_{5} \\ + &=&&\, -3 + 3 - x_{4} + 2x_{5} - x_{0} + x_{4} - 2x_{5} \\ + &=&&\, 0 - x_{0} + \end{alignat*} + + \underline{Ergebnis der 2. Iteration}: + \begin{alignat*}{5} + x_{2} \,&=&\, \frac{1}{2} \,&-&\, \frac{1}{6}x_{4} \,&+&\, \frac{1}{3}x_{5} \,&-&\, \frac{1}{6}x_{0} \\ + x_{1} \,&=&\, 2 \,&+&\, \frac{2}{3}x_{4} \,&-&\,\frac{1}{3}x_{5} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{0} \\ + x_{3} \,&=&\, \frac{3}{2} \,&+&\, \frac{7}{6}x_{4} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{5} \,&+&\, \frac{1}{6}x_{0} \\ \cline{1 - 9} + w &=& && && &-&\, x_{0} + \end{alignat*} + + Das Tableau ist optimal. Als optimale Lösung des Hilfsproblem erhält man: + \[ + x_{0} = 0, x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2} + \] + + Als zulässige Lösung für das ursprüngliche Problem ergibt sich: + \[ + x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2} + \] + + Die ursprüngliche Zielfunktion lautet $z = -3x_{1} - 5x_{2}$. Setzt man für $x_{1}$ und $x_{2}$ die rechten Seiten der Gleichungen im obigen Tableau ein, erhält man: + + \[ + z = -\frac{17}{2} - \frac{7}{6}x_{4} - \frac{2}{3}x_{5} + \] + + Daraus ergibt sich dieses Starttableau: + + \begin{alignat*}{4} + x_{2} \,&=&\, \frac{1}{2} \,&-&\, \frac{1}{6}x_{4} \,&+&\, \frac{1}{3}x_{5} \\ + x_{1} \,&=&\, 2 \,&+&\, \frac{2}{3}x_{4} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{5} \\ + x_{3} \,&=&\, \frac{3}{2} \,&+&\, \frac{7}{6}x_{4} \,&-&\, \frac{1}{3}x_{5} \\ \cline{1 - 7} + z \,&=&\, -\frac{17}{2} \,&-&\, \frac{7}{6}x_{4} \,&-&\, \frac{2}{3}x_{5} + \end{alignat*} + + Es lässt sich leicht erkennen, dass das Starttableau zugleich auch die optimale Lösung enthält. Die optimale Lösung für das Ölraffinerieproblem lautet demnach wie folgt: + \[ + x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2} + \] + + Daraus ergibt sich durch Einsetzen in die Zielfunktion des ursprünglichen Minimierungsproblems, dass die geringsten Kosten unter Beachtung der Nebenbedingungen bei $8.5$ Euro liegen. +\end{document}