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ad/AD-Gruppe_8_Krabbe_Martens_Blatt1.tex
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@ -34,29 +34,29 @@
\section{} %1 \section{} %1
\subsection{} %a \subsection{} %a
$\frac{1}{n} \prec 1$, da man immer eine Konstante $c$ finden kann, für die ab einem $n$ alle weiteren Funktionswerte von $\frac{1}{n}$ unter $c \cdot \mathcal{O}(1)$ liegen. $\frac{1}{n} \prec 1$, da man immer eine Konstante $c$ finden kann, für die ab einem $n$ alle weiteren Funktionswerte von $\frac{1}{n}$ unter $c \cdot \mathcal{O}(1)$ liegen.
$1 \prec \log\log n$, da der Logarithmus schneller wächst als eine konstante Funktion und jeder Logarithmus langsamer wächst als eine polynomielle Funktion. Der doppelte Logarithmus wächst noch langsamer als der einfache Logarithmus. $1 \prec \log\log n$, da der Logarithmus schneller wächst als eine konstante Funktion und jeder Logarithmus langsamer wächst als eine polynomielle Funktion. Der doppelte Logarithmus wächst noch langsamer als der einfache Logarithmus.
$\log\log n \prec \log n$, da der einfache Logarithmus schneller wächst als der doppelte Logarithmus. $\log\log n \prec \log n$, da der einfache Logarithmus schneller wächst als der doppelte Logarithmus.
$\log n \asymp \log(n^{3})$, da sich die beiden nur um einen konstanten Faktor $3$ unterscheiden. $\log n \asymp \log(n^{3})$, da sich die beiden nur um einen konstanten Faktor $3$ unterscheiden.
$\log(n^{3}) \prec \log(n^{\log n})$, da $\frac{\log n \cdot \log n}{3 \cdot \log n}$ gegen unendlich geht. $\log(n^{3}) \prec \log(n^{\log n})$, da $\frac{\log n \cdot \log n}{3 \cdot \log n}$ gegen unendlich geht.
$\log(n^{\log n}) \prec n^{0.01}$, da jeder Logarithmus langsamer wächst als eine polynomielle Funktion. $\log(n^{\log n}) \prec n^{0.01}$, da jeder Logarithmus langsamer wächst als eine polynomielle Funktion.
$n^{0.01} \prec \sqrt{n}$, da $\frac{n^{0.5}}{n^{0.01}}$ nach dem Kürzen gegen unendlich geht. $n^{0.01} \prec \sqrt{n}$, da $\frac{n^{0.5}}{n^{0.01}}$ nach dem Kürzen gegen unendlich geht.
$\sqrt{n} \prec n \cdot \log n$, da $\frac{n \cdot \log n}{n^{0.5}}$ nach dem Kürzen gegen unendlich geht. $\sqrt{n} \prec n \cdot \log n$, da $\frac{n \cdot \log n}{n^{0.5}}$ nach dem Kürzen gegen unendlich geht.
$n \cdot \log n \prec n^{8}$, da $\frac{n^{8}}{n \cdot \log n}$ nach dem Kürzen gegen unendlich geht, weil jeder Logarithmus langsamer wächst als jede polynomielle Funktion. $n \cdot \log n \prec n^{8}$, da $\frac{n^{8}}{n \cdot \log n}$ nach dem Kürzen gegen unendlich geht, weil jeder Logarithmus langsamer wächst als jede polynomielle Funktion.
$n^{8} \prec 2^{n}$, da jede Exponentialfunktion schneller wächst als jede polynomielle Funktion. $n^{8} \prec 2^{n}$, da jede Exponentialfunktion schneller wächst als jede polynomielle Funktion.
$2^{n} \prec 8^{n}$, da $8 > 2$, womit $8^{n}$ klar ersichtlich schneller wächst als $2^{n}$. $2^{n} \prec 8^{n}$, da $8 > 2$, womit $8^{n}$ klar ersichtlich schneller wächst als $2^{n}$.
$8^{n} \prec n!$, da $\frac{n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{8 \cdot 8 \cdot ... \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8}$ ganz offensichtlich gegen unendlich geht. $8^{n} \prec n!$, da $\frac{n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{8 \cdot 8 \cdot ... \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8}$ ganz offensichtlich gegen unendlich geht.
$n! \prec n^{n}$, da $\frac{n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n \cdot n}{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}$ ebenfalls gegen unendlich geht. $n! \prec n^{n}$, da $\frac{n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n \cdot n}{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}$ ebenfalls gegen unendlich geht.
\subsection{} %b \subsection{} %b
\subsubsection{} %i \subsubsection{} %i
@ -65,8 +65,8 @@
\subsubsection{} %ii \subsubsection{} %ii
Behauptung: $f \in \mathcal{O}(g) \Rightarrow g \in \omega (f)$\\ Behauptung: $f \in \mathcal{O}(g) \Rightarrow g \in \omega (f)$\\
Diese Behauptung gilt nicht. Dies kann mithilfe der Definition der Landau-Symbole erklärt werden. $f \in \mathcal{O}(g)$ besagt, dass $f$ maximal so schnell wie $g$ wächst. Dabei ist auch der Fall enthalten, dass $f$ und $g$ gleich schnell wachsen. Diese Behauptung gilt nicht. Dies kann mithilfe der Definition der Landau-Symbole erklärt werden. $f \in \mathcal{O}(g)$ besagt, dass $f$ maximal so schnell wie $g$ wächst. Dabei ist auch der Fall enthalten, dass $f$ und $g$ gleich schnell wachsen.
Der zweite Teil der Behauptung erfordert jedoch, dass $g$ in jedem Fall schneller als $f$ wächst. Dies steht aber im Widerspruch zu dem ersten Teil der Behauptung. Damit ist die Behauptung widerlegt. Der zweite Teil der Behauptung erfordert jedoch, dass $g$ in jedem Fall schneller als $f$ wächst. Dies steht aber im Widerspruch zu dem ersten Teil der Behauptung. Damit ist die Behauptung widerlegt.
\subsubsection{} %iii \subsubsection{} %iii
Behauptung: $f_{c}(n) \in \theta(n) \Leftrightarrow c = 1$.\\ Behauptung: $f_{c}(n) \in \theta(n) \Leftrightarrow c = 1$.\\
Dies ist einfach zu zeigen:\\ Dies ist einfach zu zeigen:\\
@ -74,7 +74,7 @@
\sum\limits_{i=0}^{n} 1^{i} &=& 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n + 1 \sum\limits_{i=0}^{n} 1^{i} &=& 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n + 1
\end{alignat*} \end{alignat*}
Denn für $c=1$ werden einfach $n+1$ Einsen aufsummiert. Die Summe $n+1$ wächst asymptotisch genau so schnell wie $n$, da die Konstante $1$ vernachlässigt werden kann. Denn für $c=1$ werden einfach $n+1$ Einsen aufsummiert. Die Summe $n+1$ wächst asymptotisch genau so schnell wie $n$, da die Konstante $1$ vernachlässigt werden kann.
\section{} %2 \section{} %2
\subsection{} %a \subsection{} %a
\underline{Behauptung:} $F_{n} \geq 2^{0.5n} : \forall n \geq 6$\\ \underline{Behauptung:} $F_{n} \geq 2^{0.5n} : \forall n \geq 6$\\
@ -103,7 +103,7 @@
\end{alignat*} \end{alignat*}
Damit ist die Behauptung sowohl für den Induktionsanfang als auch für ein beliebiges $n$ gezeigt. Damit ist die Behauptung sowohl für den Induktionsanfang als auch für ein beliebiges $n$ gezeigt.
\subsection{} %b \subsection{} %b
\section{} %3 \section{} %3
\subsection{} %a \subsection{} %a
\underline{Behauptung:} Die Formel \underline{Behauptung:} Die Formel
@ -117,7 +117,7 @@
\end{pmatrix}^{n} \cdot \begin{pmatrix} \end{pmatrix}^{n} \cdot \begin{pmatrix}
F_{0} \\ F_{0} \\
F_{1} F_{1}
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\end{alignat*} \end{alignat*}
gilt für $n \geq 0$.\\ gilt für $n \geq 0$.\\
\underline{Induktionsanfang:}\\ \underline{Induktionsanfang:}\\
@ -145,7 +145,7 @@
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\end{alignat*}\\ \end{alignat*}\\
\underline{Induktionsannahme:} Die Behauptung gilt für ein beliebig fest gewähltes $n$.\\ \underline{Induktionsannahme:} Die Behauptung gilt für ein beliebig fest gewähltes $n$.\\
\underline{Zu zeigen:} \underline{Zu zeigen:}
\begin{alignat*}{2} \begin{alignat*}{2}
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
F_{n+1} \\ F_{n+1} \\
@ -156,7 +156,7 @@
\end{pmatrix}^{n+1} \cdot \begin{pmatrix} \end{pmatrix}^{n+1} \cdot \begin{pmatrix}
F_{0} \\ F_{0} \\
F_{1} F_{1}
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\end{alignat*} \end{alignat*}
\underline{Induktionsschritt:} \underline{Induktionsschritt:}
\begin{alignat*}{2} \begin{alignat*}{2}
@ -189,7 +189,7 @@
F_{1} F_{1}
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\end{alignat*} \end{alignat*}
Nach dem Induktionsprinzip folgt aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt die Behauptung. Nach dem Induktionsprinzip folgt aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt die Behauptung.
\subsection{} %b \subsection{} %b
$X^{64}$ kann geschickter berechnet werden, wenn man die Ergebnisse von vorigen Multiplikationen speichert. Damit lässt sich $X^{64}$ auf diese Weise berechnen:\\ $X^{64}$ kann geschickter berechnet werden, wenn man die Ergebnisse von vorigen Multiplikationen speichert. Damit lässt sich $X^{64}$ auf diese Weise berechnen:\\
\begin{alignat*}{3} \begin{alignat*}{3}
@ -206,7 +206,7 @@
& X^{72} &\cdot & X^{2} &=& X^{74} & X^{72} &\cdot & X^{2} &=& X^{74}
\end{alignat*} \end{alignat*}
Demnach würden bei $74$ acht Multiplikationen benötigt. Demnach würden bei $74$ acht Multiplikationen benötigt.
Daraus kann die allgemeine Formel für die Anzahl der Multiplikationen $F(n)$ gebildet werden:\\ Daraus kann die allgemeine Formel für die Anzahl der Multiplikationen $F(n)$ gebildet werden:\\
\begin{alignat*}{2} \begin{alignat*}{2}
F(n) &=& \begin{cases} F(n) &=& \begin{cases}
@ -215,9 +215,9 @@
\end{cases} \end{cases}
\end{alignat*} \end{alignat*}
Diese rekursive Formel könnte auch als Schleife dargestellt werden. Durch die Halbierung von n bei jedem Durchgang hat die Funktion eine logarithmische Laufzeit. Die Addition ist dabei irrelevant, wenn man sich das asymptotische Verhalten ansieht. Diese rekursive Formel könnte auch als Schleife dargestellt werden. Durch die Halbierung von n bei jedem Durchgang hat die Funktion eine logarithmische Laufzeit. Die Addition ist dabei irrelevant, wenn man sich das asymptotische Verhalten ansieht.
Damit ist die Behauptung, dass $\mathcal{O}(\log n)$ Multiplikationen ausreichen um $X^{n}$ zu berechnen, gezeigt. Damit ist die Behauptung, dass $\mathcal{O}(\log n)$ Multiplikationen ausreichen um $X^{n}$ zu berechnen, gezeigt.
\subsection{} %c \subsection{} %c
In 3b haben wir gezeigt, dass sich $X^{n}$ in $\mathcal{O}(\log n)$ Multiplikationen ausgerechnen lässt. Daraus lässt sich schließen, dass sich auch die 2x2 Matrix in $\star$ in logarithmischer Zeit errechnen lässt. Eine weitere Multiplikation macht dann auch keinen Unterschied mehr. Daher lässt sich $\star$ in logarithmischer Zeit lösen. Da jeder Logarithmus langsamer wächst und damit schneller ist als eine Potenzfunktion, ist das Matrizen-Verfahren damit echt schneller als das in der Vorlesung vorgestellte Verfahren. In 3b haben wir gezeigt, dass sich $X^{n}$ in $\mathcal{O}(\log n)$ Multiplikationen ausgerechnen lässt. Daraus lässt sich schließen, dass sich auch die 2x2 Matrix in $\star$ in logarithmischer Zeit errechnen lässt. Eine weitere Multiplikation macht dann auch keinen Unterschied mehr. Daher lässt sich $\star$ in logarithmischer Zeit lösen. Da jeder Logarithmus langsamer wächst und damit schneller ist als eine Potenzfunktion, ist das Matrizen-Verfahren damit echt schneller als das in der Vorlesung vorgestellte Verfahren.
\end{document} \end{document}