2013-10-30 17:58:14 +01:00
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% ensures that paragraphs are separated by empty lines
\parskip 12pt plus 1pt minus 1pt
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% define how the sections are rendered
\def \thesection { \arabic { section} )}
\def \thesubsection { \alph { subsection} )}
\def \thesubsubsection { (\roman { subsubsection} )}
% some matrix magic
\makeatletter
\renewcommand * \env @matrix[1][*\c @MaxMatrixCols c]{ %
\hskip -\arraycolsep
\let \@ ifnextchar\new @ifnextchar
\array { #1} }
\makeatother
\begin { document}
\author { Jan Branitz (6326955), Jim Martens (6420323),\\
Stephan Niendorf (6242417)}
\title { Hausaufgaben zum 4. November}
\maketitle
\section { } %1
\subsection { } %a
\textbf { Aufgabe:} Lösen Sie das folgende LP-Problem mit dem Simplexverfahren:
\begin { alignat*} { 3}
\text { maximiere} \; & x_ { 1} & +& 2x_ { 2} & & \\
\multicolumn { 6} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
\; -& 4x_ { 1} & +& x_ { 2} & \leq & 1 \\
\; -& x_ { 1} & +& x_ { 2} & \leq & 2 \\
\; & \frac { 1} { 2} x_ { 1} & -& x_ { 2} & \leq & 1 \\
\multicolumn { 4} { r} { $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
\textbf { Lösung.}
\underline { Starttableau} :
\begin { alignat*} { 4}
x_ { 3} \, & =& \, 1 \, & +& \, 4x_ { 1} \, & -& \, x_ { 2} \\
x_ { 4} \, & =& \, 2 \, & +& \, x_ { 1} \, & -& \, x_ { 2} \\
x_ { 5} \, & =& \, 1 \, & -& \, \frac { 1} { 2} x_ { 1} \, & +& \, x_ { 2} \\ \cline { 1 - 9}
z & =& & & x_ { 1} \, & +& \, 2x_ { 2}
\end { alignat*}
\underline { 1. Iteration} :
Eingangsvariable: $ x _ { 2 } $ \\
Ausgangsvariable: $ x _ { 3 } $
Es folgt
\begin { alignat*} { 2}
x_ { 2} \, & =& & \, 1 + 4x_ { 1} - x_ { 3} \\
x_ { 4} \, & =& & \, 2 + x_ { 1} - \left (1 + 4x_ { 1} - x_ { 3} \right ) \\
& =& & \, 2 + x_ { 1} - 1 - 4x_ { 1} + x_ { 3} \\
& =& & \, 1 - 3x_ { 1} + x_ { 3} \\
x_ { 5} \, & =& & \, 1 - \frac { 1} { 2} x_ { 1} + \left (1 + 4x_ { 1} - x_ { 3} \right ) \\
& =& & \, 1 - \frac { 1} { 2} x_ { 1} + 1 + 4x_ { 1} - x_ { 3} \\
& =& & \, 2 + \frac { 7} { 2} x_ { 1} - x_ { 3} \\
z \, & =& & \, x_ { 1} + 2\left (1 + 4x_ { 1} - x_ { 3} \right ) \\
& =& & \, x_ { 1} + 2 + 8x_ { 1} - 2x_ { 3} \\
& =& & \, 2 + 9x_ { 1} - 2x_ { 3}
\end { alignat*}
\underline { Ergebnis der 1. Iteration} :
\begin { alignat*} { 4}
x_ { 2} \, & =& \, 1 \, & +& \, 4x_ { 1} \, & -& \, x_ { 3} \\
x_ { 4} \, & =& \, 1 \, & -& \, 3x_ { 1} \, & +& \, x_ { 3} \\
x_ { 5} \, & =& \, 2 \, & +& \, \frac { 7} { 2} x_ { 1} \, & -& \, x_ { 3} \\ \cline { 1 - 9}
z & =& 2 \, & +& \, 9x_ { 1} & -& 2x_ { 3}
\end { alignat*}
\underline { 2. Iteration} :
Eingangsvariable: $ x _ { 1 } $ \\
Ausgangsvariable: $ x _ { 4 } $
Es folgt
\begin { alignat*} { 2}
3x_ { 1} & =& & 1 + x_ { 3} - x_ { 4} \\
x_ { 1} & =& & \frac { 1} { 3} + \frac { 1} { 3} x_ { 3} - \frac { 1} { 3} x_ { 4} \\
x_ { 2} & =& & 1 + 4\left (\frac { 1} { 3} + \frac { 1} { 3} x_ { 3} - \frac { 1} { 3} x_ { 4} \right ) - x_ { 3} \\
& =& & 1 + \frac { 4} { 3} + \frac { 4} { 3} x_ { 3} - \frac { 4} { 3} x_ { 4} \\
& =& & \frac { 7} { 3} + \frac { 4} { 3} x_ { 3} - \frac { 4} { 3} x_ { 4} \\
x_ { 5} & =& & 3 + \frac { 7} { 2} \left (\frac { 1} { 3} + \frac { 1} { 3} x_ { 3} - \frac { 1} { 3} x_ { 4} \right ) - x_ { 3} \\
& =& & 3 + \frac { 7} { 6} + \frac { 7} { 6} x_ { 3} - \frac { 7} { 6} x_ { 4} - x_ { 3} \\
& =& & \frac { 13} { 6} + \frac { 1} { 6} x_ { 3} - \frac { 7} { 6} x_ { 4} \\
z & =& & 2 + 9\left (\frac { 1} { 3} + \frac { 1} { 3} x_ { 3} - \frac { 1} { 3} x_ { 4} \right ) - 2x_ { 3} \\
& =& & 2 + 3 + 3x_ { 3} - 3x_ { 4} - 2x_ { 3} \\
& =& & 5 + x_ { 3} - 3x_ { 4}
\end { alignat*}
\underline { Ergebnis der 2. Iteration} :
\begin { alignat*} { 4}
x_ { 1} \, & =& \, \frac { 1} { 3} \, & +& \, \frac { 1} { 3} x_ { 3} \, & -& \, \frac { 1} { 3} x_ { 4} \\
x_ { 2} \, & =& \, \frac { 7} { 3} \, & +& \, \frac { 4} { 3} x_ { 3} \, & -& \, \frac { 4} { 3} x_ { 4} \\
x_ { 5} \, & =& \, \frac { 13} { 6} \, & +& \, \frac { 1} { 6} x_ { 3} \, & -& \, \frac { 7} { 6} x_ { 4} \\ \cline { 1 - 7}
z & =& 5 \, & +& \, x_ { 3} \, & -& \, 3x_ { 4}
\end { alignat*}
\underline { 3. Iteration} :
Eingangsvariable: $ x _ { 3 } $ \\
Ausgangsvariable: keine vorhanden
Es gibt keine optimale Lösung, da es keine Basisvariable gibt, die $ x _ { 3 } $ beschränkt. Damit ist dieses Problem unbeschränkt.
\underline { Startlösung ("`zulässige Basislösung am Anfang"')} :
\[
x_ { 1} = 0, x_ { 2} = 0, x_ { 3} = 1, x_ { 4} = 2, x_ { 5} = 1 \text { mit } z = 0
\]
\underline { Zulässige Basislösung nach der 1. Iteration} :
\[
x_ { 1} = 0, x_ { 2} = 1, x_ { 3} = 0, x_ { 4} = 1, x_ { 5} = 2 \text { mit } z = 2
\]
\underline { Zulässige Basislösung nach der 2. Iteration} :
\[
x_ { 1} = \frac { 1} { 3} , x_ { 2} = \frac { 7} { 3} , x_ { 3} = 0, x_ { 4} = 0, x_ { 5} = \frac { 13} { 6} \text { mit } z = 5
\]
Ermittlung einer Halbgeraden des $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ :
\begin { alignat*} { 2}
x_ { 3} & =& t \\
x_ { 4} & =& 0 \\
x_ { 1} & =& \frac { 1} { 3} + \frac { 1} { 3} t \\
x_ { 2} & =& \frac { 7} { 3} + \frac { 4} { 3} t \\
x_ { 5} & =& \frac { 13} { 6} + \frac { 1} { 6} t \\
z & =& 5 + t \\
t & \geq & 0
\end { alignat*}
Daraus ergibt sich in Parameterform:
\begin { alignat*} { 2}
(x_ { 1} , x_ { 2} ) & =& \left (\frac { 1} { 3} + \frac { 1} { 3} t, \frac { 7} { 3} + \frac { 4} { 3} t\right ) \\
& =& \left (\frac { 1} { 3} , \frac { 7} { 3} \right ) + t\left (\frac { 1} { 3} , \frac { 4} { 3} \right )
\end { alignat*}
2013-11-04 13:04:08 +01:00
%\begin{alignat*}{2}
% (x_{3}, x_{2}) &=& \left(t, \frac{7}{3} + \frac{4}{3}t\right) \\
% &=& \left(0, \frac{7}{3}\right) + t\left(1, \frac{4}{3}\right)
%\end{alignat*}
2013-10-30 17:58:14 +01:00
Da in diesem Fall $ x _ { 1 } $ eine Basisvariable ist und somit nicht gleich $ t $ ist, stellt $ t $ eine beliebige positive Konstante dar. Daher verändert sich auch die Gerade je nach Wahl von $ t $ . Deswegen ist es nicht möglich genau eine Halbgerade zu finden, auf der die Zielfunktion beliebig große Werte annimmt.
\subsection { } %b
Durch Umstellen der Nebenbedingungen des Problems aus a nach $ x _ { 2 } $ ergibt sich:
\begin { alignat*} { 3}
x_ { 2} & \leq & 4x_ { 1} & +& 1 \\
x_ { 2} & \leq & x_ { 1} & +& 2 \\
x_ { 2} & \geq & \frac { 1} { 2} x_ { 1} & -& 1
\end { alignat*}
Daraus lässt sich die Fläche aller gültigen Werte zeichnen.
\begin { tikzpicture} [>=stealth]
\begin { axis} [
ymin=0,ymax=7,
x=1cm,
y=1cm,
axis x line=middle,
axis y line=middle,
axis line style=->,
xlabel={ $ x _ { 1 } $ } ,
ylabel={ $ x _ { 2 } $ } ,
xmin=0,xmax=7
]
\addplot [no marks, black, -] expression[domain=0:6,samples=100]{ 4*x + 1} node[pos=0.65,anchor=north]{ } ;
\addplot [no marks, black, -] expression[domain=0:6,samples=100]{ 1*x + 2} node[pos=0.65,anchor=north]{ } ;
\addplot [no marks, black, -] expression[domain=0:6,samples=100]{ 0.5*x - 1} node[pos=0.65,anchor=north]{ } ;
2013-11-04 13:04:08 +01:00
%\addplot[no marks, black, -] expression[domain=0:6,samples=100]{1.333333333333333*x + 2.33333333333333333} node[pos=0.65,anchor=north]{};
2013-10-30 17:58:14 +01:00
%\node at (axis cs: 2.5,4.5) {(2.25,3.75)};
%\node at (axis cs: 6,2) {z};
%\draw[>=stealth] (axis cs:1,0) -- (axis cs:1,-6) node [pos=0.65,anchor=north]{};
\end { axis}
\end { tikzpicture} \\
\section { } %2
\subsection { } %a
\textbf { Aufgabe:} Lösen Sie das folgende LP-Hilfsproblem mit dem Simplexverfahren:
\begin { alignat*} { 5}
\text { maximiere} \; -& x_ { 0} & & & & & & & & \\
\multicolumn { 10} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
\; & & -& x_ { 1} & -& x_ { 2} & -& x_ { 0} & \leq & -4 \\
\; & & & x_ { 1} & +& 2x_ { 2} & -& x_ { 0} & \leq & 2 \\
2013-11-04 14:53:17 +01:00
\; & & -& x_ { 1} & +& x_ { 2} & -& x_ { 0} & \leq & -1 \\
2013-10-30 17:58:14 +01:00
\multicolumn { 8} { r} { $ x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
\textbf { Lösung.}
\underline { Starttableau} :
\begin { alignat*} { 5}
2013-11-12 10:53:12 +01:00
x_ { 3} \, & =& \, -4 \, & +& \, x_ { 1} \, & +& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 0} \\
2013-10-30 17:58:14 +01:00
x_ { 4} \, & =& \, 2 \, & -& \, x_ { 1} \, & -& \, 2x_ { 2} \, & +& \, x_ { 0} \\
2013-11-04 14:53:17 +01:00
x_ { 5} \, & =& \, -1 \, & +& \, x_ { 1} \, & -& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 0} \\ \cline { 1 - 9}
2013-10-30 17:58:14 +01:00
w & =& & & & & \, & -& \, x_ { 0}
\end { alignat*}
Umwandeln in ein zulässiges Tableau:
Eingangsvariable: $ x _ { 0 } $ \\
Ausgangsvariable: $ x _ { 3 } $
Es folgt
\begin { alignat*} { 2}
2013-11-12 10:53:12 +01:00
-x_ { 0} \, & =& & \, -4 + x_ { 1} + x_ { 2} - x_ { 3} \\
x_ { 0} \, & =& & \, 4 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 3} \\
x_ { 4} \, & =& & \, 2 - x_ { 1} - 2x_ { 2} + \left (4 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 3} \right ) \\
& =& & \, 2 - x_ { 1} - 2x_ { 2} + 4 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 3} \\
& =& & \, 6 - 2x_ { 1} - 3x_ { 2} + x_ { 3} \\
x_ { 5} \, & =& & \, -1 + x_ { 1} - x_ { 2} + \left (4 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 3} \right ) \\
& =& & \, -1 + x_ { 1} - x_ { 2} + 4 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 3} \\
& =& & \, 3 - 2x_ { 2} + x_ { 3} \\
w \, & =& & \, -\left (4 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 3} \right ) \\
& =& & \, -4 + x_ { 1} + x_ { 2} - x_ { 3} \\
2013-10-30 17:58:14 +01:00
\end { alignat*}
\underline { Ergebnis des Umwandelns} :
\begin { alignat*} { 5}
2013-11-12 10:53:12 +01:00
x_ { 0} \, & =& \, 4 \, & -& \, x_ { 1} \, & -& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 3} \\
x_ { 4} \, & =& \, 6 \, & -& \, 2x_ { 1} \, & -& \, 3x_ { 2} \, & +& \, x_ { 3} \\
x_ { 5} \, & =& \, 3 \, & & & -& \, 2x_ { 2} \, & +& \, x_ { 3} \\ \cline { 1 - 9}
w & =& -4 \, & +& \, x_ { 1} \, & +& \, x_ { 2} \, & -& \, x_ { 3}
2013-10-30 17:58:14 +01:00
\end { alignat*}
\underline { 1. Iteration} :
2013-11-12 10:53:12 +01:00
Eingangsvariable: $ x _ { 1 } $ \\
Ausgangsvariable: $ x _ { 0 } $
2013-10-30 17:58:14 +01:00
Es folgt
\begin { alignat*} { 2}
2013-11-12 10:53:12 +01:00
x_ { 1} \, & =& & \, 4 - x_ { 2} + x_ { 3} - x_ { 0} \\
x_ { 4} \, & =& & \, 6 - 2\left (4 - x_ { 2} + x_ { 3} - x_ { 0} \right ) - 3x_ { 2} + x_ { 3} \\
& =& & \, 6 - 8 + 2x_ { 2} - 2x_ { 3} + 2x_ { 0} - 3x_ { 2} + x_ { 3} \\
& =& & \, -2 - x_ { 2} - x_ { 3} + 2x_ { 0} \\
x_ { 5} \, & =& & \, 3 - 2x_ { 2} + x_ { 3} \\
w \, & =& & \, -4 + \left (4 - x_ { 2} + x_ { 3} - x_ { 0} \right ) + x_ { 2} - x_ { 3} \\
& =& & \, -4 + 4 - x_ { 2} + x_ { 3} - x_ { 0} + x_ { 2} - x_ { 3} \\
& =& & \, 0 - x_ { 0}
2013-10-30 17:58:14 +01:00
\end { alignat*}
\underline { Ergebnis der 1. Iteration} :
\begin { alignat*} { 5}
2013-11-12 10:53:12 +01:00
x_ { 1} \, & =& \, 4 \, & -& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 3} \, & -& \, x_ { 0} \\
x_ { 4} \, & =& \, -2 \, & -& \, x_ { 2} \, & -& \, x_ { 3} \, & +& \, 2x_ { 0} \\
x_ { 5} \, & =& \, 3 \, & -& \, 2x_ { 2} \, & +& \, x_ { 3} \, & & \\ \cline { 1 - 9}
w & =& & & & & & -& \, x_ { 0}
2013-10-30 17:58:14 +01:00
\end { alignat*}
2013-11-12 10:53:12 +01:00
Das Tableau ist optimal. Als optimale Lösung des Hilfsproblem erhält man:
\[
x_ { 0} = 0, x_ { 1} = 4, x_ { 2} = 0
\]
Als zulässige Lösung für das ursprüngliche Problem ergibt sich:
\[
x_ { 1} = 4, x_ { 2} = 0
\]
Die ursprüngliche Zielfunktion lautet $ z = x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } $ . Setzt man für $ x _ { 1 } $ die rechte Seite der Gleichung im obigen Tableau ein, erhält man:
\[
z = 4 - x_ { 2} + x_ { 3} + 3x_ { 2}
\]
Daraus ergibt sich dieses Starttableau:
\begin { alignat*} { 4}
x_ { 1} \, & =& \, 4 \, & -& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 3} \\
x_ { 4} \, & =& \, -2 \, & -& \, x_ { 2} \, & -& \, x_ { 3} \\
x_ { 5} \, & =& \, 3 \, & -& \, 2x_ { 2} \, & +& \, x_ { 3} \\ \cline { 1 - 7}
z \, & =& \, 4 \, & +& \, 2x_ { 2} \, & +& \, x_ { 3}
\end { alignat*}
2013-10-30 17:58:14 +01:00
\subsection { } %b
\textbf { Aufgabe:} Lösen Sie das folgende LP-Hilfsproblem mit dem Simplexverfahren:
\begin { alignat*} { 5}
\text { maximiere} \; -& x_ { 0} & & & & & & & & \\
\multicolumn { 10} { l} { \text { unter den Nebenbedingungen} } & & \\
\; & & & x_ { 1} & -& x_ { 2} & -& x_ { 0} & \leq & 8 \\
\; & & -& x_ { 1} & -& x_ { 2} & -& x_ { 0} & \leq & -3 \\
\; & & -& x_ { 1} & +& 4x_ { 2} & -& x_ { 0} & \leq & 2 \\
\multicolumn { 8} { r} { $ x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } $ } \, & \geq & \, 0
\end { alignat*}
\textbf { Lösung.}
\underline { Starttableau} :
\begin { alignat*} { 5}
x_ { 3} \, & =& \, 9 \, & -& \, x_ { 1} \, & +& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 0} \\
x_ { 4} \, & =& \, -3 \, & +& \, x_ { 1} \, & +& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 0} \\
x_ { 5} \, & =& \, 2 \, & +& \, x_ { 1} \, & -& \, 4x_ { 2} \, & +& \, x_ { 0} \\ \cline { 1 - 9}
w & =& & & & & \, & -& \, x_ { 0}
\end { alignat*}
Umwandeln in ein zulässiges Tableau:
Eingangsvariable: $ x _ { 0 } $ \\
Ausgangsvariable: $ x _ { 4 } $
Es folgt
\begin { alignat*} { 2}
-x_ { 0} \, & =& & \, -3 + x_ { 1} + x_ { 2} - x_ { 4} \\
x_ { 0} \, & =& & \, 3 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 4} \\
x_ { 3} \, & =& & \, 9 - x_ { 1} + x_ { 2} + \left (3 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 4} \right ) \\
& =& & \, 9 - x_ { 1} + x_ { 2} + 3 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 4} \\
& =& & \, 12 - 2x_ { 1} + x_ { 4} \\
x_ { 5} \, & =& & \, 2 + x_ { 1} - 4x_ { 2} + \left (3 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 4} \right ) \\
& =& & \, 2 + x_ { 1} - 4x_ { 2} + 3 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 4} \\
& =& & \, 5 - 5x_ { 2} + x_ { 4} \\
w \, & =& & \, -\left (3 - x_ { 1} - x_ { 2} + x_ { 4} \right ) \\
& =& & \, -3 + x_ { 1} + x_ { 2} - x_ { 4} \\
\end { alignat*}
\underline { Ergebnis des Umwandelns} :
\begin { alignat*} { 5}
x_ { 0} \, & =& \, 3 \, & -& \, x_ { 1} \, & -& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 4} \\
x_ { 3} \, & =& \, 12 \, & -& \, 2x_ { 1} \, & & & +& \, x_ { 4} \\
x_ { 5} \, & =& \, 5 \, & & & -& \, 5x_ { 2} \, & +& \, x_ { 4} \\ \cline { 1 - 9}
w & =& -3 \, & +& \, x_ { 1} \, & +& \, x_ { 2} \, & -& \, x_ { 4}
\end { alignat*}
\underline { 1. Iteration} :
Eingangsvariable: $ x _ { 1 } $ \\
Ausgangsvariable: $ x _ { 0 } $
Es folgt
\begin { alignat*} { 2}
x_ { 1} & =& & 3 - x_ { 2} + x_ { 4} - x_ { 0} \\
x_ { 3} & =& & 12 - 2\left (3 - x_ { 2} + x_ { 4} - x_ { 0} \right ) + x_ { 4} \\
& =& & 12 - 6 + 2x_ { 2} - 2x_ { 4} + 2x_ { 0} + x_ { 4} \\
& =& & 6 + 2x_ { 2} - x_ { 4} + 2x_ { 0} \\
x_ { 5} & =& & 5 - 5x_ { 2} + x_ { 4} \\
w & =& & -3 + \left (3 - x_ { 2} + x_ { 4} - x_ { 0} \right ) + x_ { 2} - x_ { 4} \\
& =& & -3 + 3 - x_ { 2} + x_ { 4} - x_ { 0} + x_ { 2} - x_ { 4} \\
& =& & - x_ { 0}
\end { alignat*}
\underline { Ergebnis der 1. Iteration} :
\begin { alignat*} { 5}
x_ { 1} \, & =& \, 3 \, & -& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 4} \, & -& \, x_ { 0} \\
x_ { 3} \, & =& \, 6 \, & +& \, 2x_ { 2} \, & -& \, x_ { 4} \, & +& \, 2x_ { 0} \\
x_ { 5} \, & =& \, 5 \, & -& \, 5x_ { 2} \, & -& \, x_ { 4} \, & & \\ \cline { 1 - 9}
w & =& & & & & & -& x_ { 0}
\end { alignat*}
Das Tableau ist optimal. Als optimale Lösung des Hilfsproblem erhält man:
\[
x_ { 0} =0, x_ { 1} = 3, x_ { 2} = 0
\]
Als zulässige Lösung für das ursprüngliche Problem ergibt sich:
\[
x_ { 1} = 3, x_ { 2} = 0
\]
Die ursprüngliche Zielfunktion lautet $ z = x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } $ . Setzt man für $ x _ { 1 } $ die rechte Seite der Gleichung im obigen Tableau ein, erhält man:
\[
z = 3 - x_ { 2} + x_ { 4} + 3x_ { 2} = 3 + 2x_ { 2} + x_ { 4}
\]
Daraus ergibt sich dieses Starttableau:
\begin { alignat*} { 4}
x_ { 1} \, & =& \, 3 \, & -& \, x_ { 2} \, & +& \, x_ { 4} \\
x_ { 3} \, & =& \, 6 \, & +& \, 2x_ { 2} \, & -& \, x_ { 4} \\
x_ { 5} \, & =& \, 5 \, & -& \, 5x_ { 2} \, & -& \, x_ { 4} \\ \cline { 1 - 7}
z \, & =& \, 3 \, & +& \, 2x_ { 2} \, & +& \, x_ { 4}
\end { alignat*}
\end { document}
